Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đạo hàm cấp hai (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{2}{3}{t}^3-4t^2+10t$. Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=2t^2-8t+10=2(t-2{)}^2+2\ge 2$, nhỏ nhất bằng $2$ khi $t=2$ (s). Vận tốc tại thời điểm đó: $v(2)=\frac{2}{3}\cdot 8-4\cdot 4+20=\frac{16}{3}-16+20=\frac{16}{3}$ (m/s). Vậy $a=16,b=3$, $T=2a-3b=32-9=23$.

(AI giải đề cho tôi)
Gia tốc là $a(t)=v^{\prime }(t)=0,003906t^2-0,18058t+23,61$ trên $[0;126]$.

a) Xét $a^{\prime }(t)=0,007812t-0,18058$; $a^{\prime }(t)=0\iff t\approx 23,11$. Với $t<23,11$ thì $a^{\prime }(t)<0$, tức gia tốc giảm từ lúc cất cánh đến $t=23$ (s). Vậy ý a) SAI.

b) Trên $[21,5;23,11]$ ta vẫn có $a^{\prime }(t)<0$ nên gia tốc giảm, không tăng trên toàn khoảng $[21,5;126]$. Vậy ý b) SAI.

c) $a(t)$ là parabol bậc hai hướng lên với đỉnh $t\approx 23,11$ (điểm nhỏ nhất), nên gia tốc lớn nhất đạt tại một đầu mút: $a(0)=23,61$; $a(126)=0,003906\cdot 126^2-0,18058\cdot 126+23,61\approx 62,011-22,753+23,61\approx 62,87feet/s^2$. Vậy ý c) ĐÚNG.

d) $v^{\prime }(t)=a(t)$ có giá trị nhỏ nhất $a(23,11)\approx 0,003906\cdot (23,11{)}^2-0,18058\cdot 23,11+23,61\approx 21,52>0$ trên $[0;126]$, nên $v(t)$ luôn đồng biến (vận tốc luôn tăng). Vậy ý d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a^{\prime }(t)=0,007812t-0,18058<0$ khi $t<23,11$, nên gia tốc giảm từ lúc cất cánh đến $t=23$ (s).
b) (AI giải đề cho tôi)
Gia tốc chỉ tăng khi $t>23,11$; trên $[21,5;23,11]$ gia tốc còn giảm nên không tăng trên toàn khoảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)$ là parabol hướng lên, GTLN tại đầu mút: $a(126)\approx 62,87feet/s^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=v^{\prime }(t)\ge a(23,11)\approx 21,52>0$ trên $[0;126]$ nên vận tốc luôn tăng.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)$ thỏa $v^{\prime }(t)=a(t)$. Trên đoạn $[2;3]$ đồ thị $a(t)$ nằm dưới trục hoành ($a(t)<0$) nên $v$ giảm dần; từ $t=3$ đến $t=4$ đồ thị nằm trên trục hoành ($a(t)>0$) nên $v$ tăng dần. Do đó $v$ đạt giá trị nhỏ nhất tại thời điểm $a(t)$ đổi dấu từ âm sang dương, tức là $t=3$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=5x^4-12x^3+1$, nên $y^{\prime \prime }=20x^3-36x^2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\ln x$ $(x>0)$, ta có $y^{\prime }=\frac{1}{x}=x^{-1}$. Do đó $y^{\prime \prime }=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=2^x$, ta có $y^{\prime }=2^x\ln 2$. Đạo hàm cấp hai: $y^{\prime \prime }=(2^x\ln 2{)}^{\prime }=2^x\ln 2\cdot \ln 2=2^x{\ln }^{2}2$. Lưu ý $\ln 4=2\ln 2\ne (\ln 2{)}^2$, nên đáp án B sai. Đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=-3\cos x$ ta có $y^{\prime }=3\sin x$ và $y^{\prime \prime }=3\cos x$. Tại $x_0=\frac{\pi }{2}$: $y^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=3\cos \frac{\pi }{2}=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=5(3x-7{)}^4\cdot 3=15(3x-7{)}^4$. Sau đó $f^{\prime \prime }(x)=15\cdot 4(3x-7{)}^3\cdot 3=180(3x-7{)}^3$. Tại $x=2$: $f^{\prime \prime }(2)=180(6-7{)}^3=180\cdot (-1)=-180$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sqrt{2x-x^2}$, ta có $y^2=2x-x^2$. Tính $y^{\prime }=\frac{1-x}{y}$. Sau đó $y^{\prime \prime }=\frac{-y-(1-x)y^{\prime }}{y^2}=\frac{-y^2-(1-x{)}^2}{y^3}=\frac{-(2x-x^2)-(1-2x+x^2)}{y^3}=\frac{-1}{y^3}$. Vậy $A=y^3\cdot y^{\prime \prime }=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{3x+1}{x+2}=3-\frac{5}{x+2}$ với $x\ne -2$. Suy ra $y^{\prime }=\frac{5}{(x+2{)}^2}$ và $y^{\prime \prime }=-\frac{10}{(x+2{)}^3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x+1$, $y^{\prime \prime }=6x-6$. Cho $y^{\prime \prime }=0\Rightarrow x=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2+8t$. Giải $3t^2+8t=11$ với $t>0$: $3t^2+8t-11=0\Rightarrow (t-1)(3t+11)=0\Rightarrow t=1$ (nhận, vì $t>0$). Gia tốc $a(t)=s^{\prime \prime }(t)=6t+8$, nên $a(1)=6+8=14m/s^2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{1}{3x+2}$. a) Sai: điều kiện $3x+2\ne 0\Rightarrow x\ne -\frac{2}{3}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{2}{3}\right\}$, không phải $\left(\frac{2}{3};+\infty \right)$. b) Đúng: $f^{\prime }(x)=-\frac{(3x+2{)}^{\prime }}{(3x+2{)}^2}=\frac{-3}{(3x+2{)}^2}$. c) Sai: $f^{\prime \prime }(x)=-3\cdot {\left[(3x+2{)}^{-2}\right]}^{\prime }=-3\cdot (-2)(3x+2{)}^{-3}\cdot 3=\frac{18}{(3x+2{)}^3}$, không phải $\frac{-27}{(3x+2{)}^3}$. d) Sai: $f^{\prime \prime }\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{18}{(3\cdot (-1/3)+2{)}^3}=\frac{18}{1^3}=18\ne 27$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $3x+2\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2/3\}$, không phải $(2/3;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{-3}{(3x+2{)}^2}$ đúng theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=\frac{18}{(3x+2{)}^3}$, không phải $\frac{-27}{(3x+2{)}^3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(-1/3)=\frac{18}{1^3}=18\ne 27$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $v(t)=s^{\prime }(t)=t^3-3t^2+4t+2$ và $a(t)=v^{\prime }(t)=3t^2-6t+4$. a) $a(2)=12-12+4=4$ m/s² → đúng. b) $v(t)=34\Rightarrow t^3-3t^2+4t-32=0$, thử $t=4$: $64-48+16-32=0$ ✓, khi đó $a(4)=48-24+4=28\ne 24$ → sai. c) $a(t)=13\Rightarrow 3t^2-6t-9=0\Rightarrow t=3$ (nhận $t>0$), $v(3)=27-27+12+2=14\ne 12$ → sai. d) Trên $[0;5]$, $a(t)=3(t-1{)}^2+1$ đạt giá trị nhỏ nhất $a=1$ tại $t=1$; khi đó $v(1)=1-3+4+2=4\ne 1$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=t^3-3t^2+4t+2$, $a(t)=3t^2-6t+4$; $a(2)=12-12+4=4$ m/s².
b) (AI giải đề cho tôi)
$v=34$ tại $t=4$; $a(4)=28$ m/s², không phải 24.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a=13$ tại $t=3$; $v(3)=14$ m/s, không phải 12.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=3(t-1{)}^2+1$ nhỏ nhất bằng 1 tại $t=1$; $v(1)=4$ m/s, không phải 1.

(AI giải đề cho tôi)
Với $s(t)=4\cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)$:

a) $s^{\prime }(t)=4\cdot \left[-\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)\right]\cdot 2\pi =-8\pi \sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)$ → đúng.

b) $s^{\prime \prime }(t)=-8\pi \cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)\cdot 2\pi =-16{\pi }^2\cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)$, không phải $+16{\pi }^2$ → sai.

c) Tại $t=5$: $2\pi \cdot 5-\frac{\pi }{12}=\frac{119\pi }{12}=9\pi +\frac{11\pi }{12}$, nên $\sin \left(\frac{119\pi }{12}\right)=-\sin \frac{11\pi }{12}=-\sin \frac{\pi }{12}\approx -0,258819$. Vận tốc $v=s^{\prime }(5)=-8\pi \cdot (-0,258819)\approx 6,505$ (m/s) → đúng.

d) $\cos \left(\frac{119\pi }{12}\right)=-\cos \frac{11\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{12}\approx 0,965926$. Gia tốc $a=s^{\prime \prime }(5)=-16{\pi }^2\cdot 0,965926\approx -152,533$ (m/s²), giá trị âm chứ không dương → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime }(t)=-8\pi \sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)$ theo quy tắc chuỗi.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime \prime }(t)=-16{\pi }^2\cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)$, dấu âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime }(5)=-8\pi \sin \frac{119\pi }{12}=8\pi \sin \frac{\pi }{12}\approx 6,505$ m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime \prime }(5)=-16{\pi }^2\cos \frac{\pi }{12}\approx -152,533$ m/s², không phải $\approx 152,533$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=6\cos 2t-4\sin 2t$. Gia tốc là $a(t)=s^{\prime \prime }(t)=-12\sin 2t-8\cos 2t$. Tại $t=\frac{\pi }{4}$: $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\cos \frac{\pi }{2}=0$, nên $a\left(\frac{\pi }{4}\right)=-12\cdot 1-8\cdot 0=-12$ (m/s${}^2$).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6 (trang 24): Tính đạo hàm cấp hai.

a) $y=\frac{-2x^2+3x}{1-x}$, xác định với $x\ne 1$.

Theo quy tắc thương:
$$y^{\prime }=\frac{(-4x+3)(1-x)-(-2x^2+3x)(-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{(4x^2-7x+3)+(-2x^2+3x)}{(1-x{)}^2}=\frac{2x^2-4x+3}{(1-x{)}^2}.$$

Tiếp tục lấy đạo hàm:
$$y^{\prime \prime }=\frac{(4x-4)(1-x{)}^2-(2x^2-4x+3)\cdot 2(1-x)\cdot (-1)}{(1-x{)}^4}=\frac{(4x-4)(1-x)+2(2x^2-4x+3)}{(1-x{)}^3}.$$

Tử số: $(4x-4)(1-x)=-4x^2+8x-4$; cộng $4x^2-8x+6$ được $2$.

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}$ với $x\ne 1$.

b) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$, xác định với mọi $x$ vì $x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2>0$.

$$y^{\prime }=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}.$$

Đặt $u=x^2+2x+3$, khi đó $y^{\prime }=(x+1)u^{-1/2}$:
$$y^{\prime \prime }=u^{-1/2}+(x+1)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)u^{-3/2}\cdot (2x+2)=\frac{1}{\sqrt{u}}-\frac{(x+1{)}^2}{u\sqrt{u}}=\frac{u-(x+1{)}^2}{u\sqrt{u}}.$$

Tử số: $x^2+2x+3-(x^2+2x+1)=2$.

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{{\left(x^2+2x+3\right)}^{3/2}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: Cho hàm số $y=\sin 2x$, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Bước 1: Tính đạo hàm cấp nhất:
$$y^{\prime }=(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x.$$

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai:
$$y^{\prime \prime }=(2\cos 2x{)}^{\prime }=2\cdot (-2\sin 2x)=-4\sin 2x=-4y.$$

Bước 3: Suy ra:
$$4y+y^{\prime \prime }=4y-4y=0.$$

Vậy $4y+y^{\prime \prime }=0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Tính đạo hàm cấp hai.

a) $y=\frac{-2x^2+3x}{1-x}$, xác định với $x\ne 1$.

Ta biến đổi: $-2x^2+3x=(1-x)(2x-1)+1$, nên
$$y=\frac{(1-x)(2x-1)+1}{1-x}=2x-1+\frac{1}{1-x}.$$

Đạo hàm cấp nhất:
$$y^{\prime }=2+\frac{(1-x{)}^{\prime }}{(1-x{)}^2}=2+\frac{1}{(1-x{)}^2}$$
(vì ${\left(\frac{1}{1-x}\right)}^{\prime }=\frac{-(-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$).

Đạo hàm cấp hai:
$$y^{\prime \prime }={\left((1-x{)}^{-2}\right)}^{\prime }=-2(1-x{)}^{-3}\cdot (1-x{)}^{\prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}.$$

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}$ với $x\ne 1$.

b) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì $x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2>0$.

Đạo hàm cấp nhất:
$$y^{\prime }=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{x+1}{\sqrt{u}},u=x^2+2x+3.$$

Đạo hàm cấp hai (dùng quy tắc thương với $u^{\prime }=2x+2=2(x+1)$):
$$y^{\prime \prime }=\frac{\sqrt{u}-(x+1)\cdot \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}}{u}=\frac{u-(x+1{)}^2}{u\sqrt{u}}=\frac{(x^2+2x+3)-(x+1{)}^2}{(x^2+2x+3{)}^{3/2}}.$$

Tính tử số: $x^2+2x+3-(x^2+2x+1)=2$.

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{{\left(x^2+2x+3\right)}^{3/2}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Kiểm tra lại: với a) thử $x=0$: $y=0$, $y^{\prime }=3$, $y^{\prime \prime }=2$ — đúng theo công thức $2/(1-0{)}^3=2$. Với b) thử $x=0$: $y^{\prime }=1/\sqrt{3}$, $y^{\prime \prime }=2/(3\sqrt{3})$ — nhất quán với công thức.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: Cho $y=\sin 2x$. Ta có $y^{\prime }=2\cos 2x$ (đạo hàm hàm hợp: $(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$ với $u=2x$). Đạo hàm lần hai: $y^{\prime \prime }=-4\sin 2x$ (vì $(\cos 2x{)}^{\prime }=-2\sin 2x$). Do đó $4y+y^{\prime \prime }=4\sin 2x-4\sin 2x=0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy $4y+y^{\prime \prime }=0$ (đpcm).