Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $a{x}^2+bx+c$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol có bề lõm hướng xuống và không cắt trục hoành, tức là $\Delta <0$ và $a<0$. Đáp án D, trùng với đáp án mã đề 103 (câu 11: D).

$f(x)=-x^2-x+2=0\iff x=1,x=-2$ (0,25 điểm)

Bảng xét dấu: hàng $x$: $-\infty$, $-2$, $1$, $+\infty$; hàng $f(x)=-x^2+x+2$: $-$, $0$, $+$, $0$, $-$ (0,25 điểm)

KL: $+$) $f(x)<0\forall x\in (-\infty ;-2)\cup (1;+\infty )$; $+$) $f(x)>0\forall x\in (-2;1)$ (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)\ge 0$ khi và chỉ khi $x\in [-8;3]$ (hai đầu $x=-8$ và $x=3$ có $f(x)=0$ nên được lấy vào tập nghiệm). Vậy $S=[-8;3]$, trùng với đáp án C và đáp án của đề (mã 103, câu 3: C).

$f(x)=-x^2+x+2=0\iff x=-1,x=2$ (0,25 điểm)

Bảng xét dấu: hàng $x$: $-\infty$, $-1$, $2$, $+\infty$; hàng $f(x)=-x^2+x+2$: $-$, $0$, $+$, $0$, $-$ (0,25 điểm)

KL: $+$) $f(x)<0\forall x\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )$

$+$) $f(x)>0\forall x\in (-1;2)$ (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)\le 0$ khi $x\le -8$ hoặc $x\ge 3$ (kể cả hai nghiệm $x=-8$, $x=3$ vì dấu bằng được phép). Vậy $S=(-\infty ;-8]\cup [3;+\infty )$, trùng với đáp án A và đáp án đề (mã 101, câu 2: A).

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: f(x) đổi dấu + → − → + qua hai nghiệm x=-2 và x=1/2, nên parabol hướng lên, tức a>0 và Δ>0 (hai nghiệm phân biệt).
a) Sai: vì a>0 chứ không phải a<0 (Δ>0 đúng nhưng mệnh đề yêu cầu cả a<0).
b) Sai: f(x)<0 chỉ khi -2<x<1/2; ví dụ x=-3<0 thì f(x)>0.
c) Đúng: f(x)≥0 khi x≤-2 hoặc x≥1/2, tập nghiệm (-∞;-2]∪[1/2;+∞).
d) Đúng: f(x) có hai nghiệm -2 và 1/2 nên f(x)=a(x+2)(x-1/2).
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy f(x) dương ngoài hai nghiệm và âm giữa hai nghiệm nên a>0; do đó mệnh đề a<0 là sai (Δ>0 đúng).
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x)<0 khi và chỉ khi -2<x<1/2, không phải khi mọi x<0 (ví dụ x=-3 thì f(x)>0).
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)≥0 tại x=-2, x=1/2 và ngoài khoảng (-2;1/2), tập nghiệm là (-∞;-2]∪[1/2;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm của f(x) là -2 và 1/2 nên f(x)=a(x+2)(x-1/2).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ với $\Delta =b^2-4ac$:
- Nếu $\Delta <0$: phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm, $f(x)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ và luôn cùng dấu với hệ số $a$. Vậy khẳng định B đúng.
- Nếu $\Delta >0$: $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2$; khi đó $f(x)$ trái dấu với $a$ chỉ trên khoảng $(x_1;x_2)$, còn cùng dấu với $a$ ngoài khoảng đó, nên A sai.
- Nếu $\Delta =0$: $f(x)=0$ có nghiệm kép $x_0=-\frac{b}{2a}$, tại $x_0$ thì $f(x_0)=0$ (không cùng dấu với $a$), nên D sai.
- Nếu $\Delta \le 0$: với $\Delta =0$ vẫn có điểm $f(x)=0$, nên khẳng định 'luôn cùng dấu với mọi $x\in \mathbb{R}$' là sai, do đó C sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Giải $2x^2+3x-14=0$: $\Delta =9+112=121$, $\sqrt{\Delta }=11$, nên $x=\frac{-3\pm 11}{4}$, tức $x=2$ hoặc $x=-\frac{7}{2}$. Vì hệ số $a=2>0$, tam thức $\le 0$ khi $x\in \left[-\frac{7}{2};2\right]$. Vậy $a=-\frac{7}{2}$, $b=2$, $a+b=-\frac{3}{2}=-1,5$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ có biệt thức $\Delta =b^2-4ac$.
- Nếu $\Delta <0$ thì $f(x)$ không có nghiệm, do đó $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ → A đúng.
- Nếu $\Delta >0$ thì $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt, trái dấu với $a$ chỉ trong khoảng giữa hai nghiệm, không phải với mọi $x$ → B sai.
- Nếu $\Delta \le 0$: với $\Delta =0$ thì $f(x)=0$ tại nghiệm kép, không cùng dấu với $a$ tại điểm đó → C sai.
- Nếu $\Delta =0$ thì tại nghiệm kép $f(x)=0$, không cùng dấu với $a$ → D sai.
Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Giải $2x^2-5x-18=0$: $\Delta =25+144=169$, $\sqrt{\Delta }=13$, nghiệm $x=\frac{5\pm 13}{4}$ tức $x_1=-2$, $x_2=\frac{9}{2}$. Vì $a=2>0$ nên $2x^2-5x-18\le 0$ khi $x\in [-2;\frac{9}{2}]$, vậy $a=-2$, $b=\frac{9}{2}$ và $a+b=-2+\frac{9}{2}=\frac{5}{2}=2,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2,5).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2+x-12<0\iff (x-3)(x+4)<0\iff -4<x<3$. Các nghiệm nguyên trong khoảng này là $x\in \{-3,-2,-1,0,1,2\}$, gồm 6 giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn (6).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, tam thức có hai nghiệm $x=-2$ và $x=3$, và $f(x)<0$ khi $x<-2$ hoặc $x>3$, $f(x)>0$ khi $-2<x<3$. Điều này nghĩa là hệ số $a<0$ (âm ngoài khoảng hai nghiệm). Xét đáp án C: $f(x)=-x^2+x+6=-(x+2)(x-3)$, có $a=-1<0$, hai nghiệm $-2$ và $3$, dương trên $(-2;3)$ và âm ngoài — khớp hoàn toàn với bảng. Đáp án A có nghiệm $2$ và $3$ (sai nghiệm); B và D có $a>0$ nên dương ngoài khoảng hai nghiệm (sai dấu). Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1111, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$:
- Nếu $\Delta =0$: $f(x)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2\ge 0$ với mọi $x$, và $f(x)=0$ khi $x=-\frac{b}{2a}$. Do đó với mọi $x\ne -\frac{b}{2a}$ thì $f(x)$ cùng dấu với $a$. Vậy A đúng.
- B sai: khi $\Delta <0$, $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ (không phải $b$) với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- C sai: khi $\Delta >0$, $f(x)$ đổi dấu hai lần, chỉ cùng dấu với $a$ ngoài khoảng hai nghiệm.
- D sai: khi $\Delta <0$, $f(x)$ cùng dấu (không phải trái dấu) với $a$ với mọi $x$.
Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$:
- Nếu $\Delta =0$: $f(x)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2$, nên $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x\ne -\frac{b}{2a}$ (tại $x=-\frac{b}{2a}$ thì $f(x)=0$). Vậy A đúng.
- Nếu $\Delta <0$: $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên B sai (liên hệ hệ số $b$) và D sai (trái dấu với $a$).
- Nếu $\Delta >0$: $f(x)$ đổi dấu hai lần (trong khoảng giữa hai nghiệm trái dấu với $a$), nên C sai.
Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

Câu 1. Xét dấu của tam thức bậc hai $f(x)=x^2+2x-3$

Ta có: $f(x)=0\iff x^2+2x-3=0\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ x=1\end{array}$

Bảng xét dấu



Suy ra: $x^2+2x-3<0\iff x\in (-3;1)$ và $x^2+2x-3>0\iff x\in (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$.

(Thang điểm: 0,25 / 0,5 / 0,25)

Câu 1. $f(x)=x^2-4x-5$

Ta có: $x^2-4x-5=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=5\end{array}\right]$.

Bảng xét dấu



Suy ra: $x^2-4x-5<0\iff x\in (-1;5)$ và $x^2-4x-5>0\iff x\in (-\infty ;-1)\cup (5;+\infty )$.

(Thang điểm: 0,25 / 0,5 / 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=0$ nên đỉnh của parabol nằm trên trục hoành, tức phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}$, do đó $\Delta =b^2-4ac=0$. Khi đó $f(x)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2$ luôn cùng dấu với $a$ với mọi $x\ne -\frac{b}{2a}$, thỏa mãn giả thiết. Vậy $\Delta =0$, chọn đáp án A (khớp với đáp án nguồn Mã đề 302, Câu 1: A).

Ta có: $f(x)=-x^2-4x+5$. Vì $\Delta =36>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1=-5$, $x_2=1$ và hệ số $a=-1<0$.
BXD:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-5;1)$.

Ta có: $f(x)=-x^2-4x+5$. Vì $\Delta =36>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1=-5$, $x_2=1$ và hệ số $a=-1<0$.
BXD:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-5;1)$.