Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}=120-\frac{400}{t+5}$. a) $f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người) → Đúng. b) $\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=120$ → Đúng. c) $v(t_0)=f^{\prime }(t_0)=\frac{400}{(t_0+5{)}^2}$, nên $v(5)=\frac{400}{100}=4$ (nghìn người/năm) → Đúng. d) Với $t\in [0;10]$, $v(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$ giảm và đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=10$: $v(10)=\frac{400}{225}=\frac{16}{9}\approx 1,78<2$, nên tốc độ tăng không luôn $\ge 2$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)Đ - b)Đ - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(120-\frac{400}{t+5}\right)=120$ (nghìn người).
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=f^{\prime }(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$, nên $v(5)=\frac{400}{100}=4$ (nghìn người/năm).
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$ giảm trên $[0;10]$, giá trị nhỏ nhất $v(10)=\frac{16}{9}\approx 1,78<2$, nên không luôn $\ge 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x$ bởi $1-x$ trong $2f(x)+f(1-x)=x^2+2x-1$ ta được $2f(1-x)+f(x)=(1-x{)}^2+2(1-x)-1=x^2-4x+2$. Hệ hai phương trình: $2f(x)+f(1-x)=x^2+2x-1$ và $f(x)+2f(1-x)=x^2-4x+2$. Nhân phương trình thứ hai với 2 rồi trừ phương trình thứ nhất: $3f(x)=2(x^2-4x+2)-(x^2+2x-1)=x^2-8x+3$, suy ra $f(x)=\frac{x^2-8x+3}{3}$... kiểm tra lại: thực hiện trừ theo hướng khác, từ phương trình thứ nhất $f(1-x)=x^2+2x-1-2f(x)$, thay vào thứ hai: $f(x)+2(x^2+2x-1-2f(x))=x^2-4x+2\Rightarrow -3f(x)=x^2-4x+2-2x^2-4x+2=-x^2-8x+4$, nên $f(x)=\frac{x^2+8x-4}{3}$. Khi đó $f^{\prime }(x)=\frac{2x+8}{3}$, do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x+2)-f(2)}{x}=f^{\prime }(2)=\frac{2\cdot 2+8}{3}=\frac{12}{3}=4$. Kết quả khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}=120-\frac{400}{t+5}$ với $t\ge 0$, nên $v(t_0)=f^{\prime }(t_0)=\frac{400}{(t_0+5{)}^2}$.
a) $\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=120$, vậy về lâu dài dân số xấp xỉ 120 nghìn người. Đúng.
b) $v(5)=\frac{400}{10^2}=4$ (nghìn người/năm). Đúng.
c) $f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người). Đúng.
d) Với $t\in [0;9]$: $v(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}\ge 2\iff (t+5{)}^2\le 200\iff t\le 10\sqrt{2}-5\approx 9,14$. Vì $9<9,14$ nên trên $[0;9]$ luôn có $v(t)\ge 2$. Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1101: aĐ bĐ cĐ dĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(120-\frac{400}{t+5}\right)=120$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=f^{\prime }(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$, nên $v(5)=\frac{400}{100}=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người).
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)\ge 2\iff t\le 10\sqrt{2}-5\approx 9,14$, do đó với mọi $t\in [0;9]$ ta có $v(t)\ge 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=-\frac{3}{2}{t}^2+6t$ với $t\ge 0$. Xét $f(t)=-\frac{3}{2}{t}^2+6t$, hàm parabol bậc hai với đỉnh tại $t=\frac{-6}{2\cdot (-3/2)}=2$. Trên $[0;2]$ hàm đồng biến, sau đó nghịch biến, nên vận tốc lớn nhất đạt tại $t=2$ giây, $v_{\max }=v(2)=-6+12=6$ (m/s). Quãng đường đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm đó là $s(2)=-\frac{1}{2}\cdot 8+3\cdot 4+20=-4+12+20=28$ (m). Vậy quãng đường cần tính là $28$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời: $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t-9$, với $t\in [0;5]$. Xét $v^{\prime }(t)=-6t+12=0\Rightarrow t=2$. Ta có $v(0)=-9$, $v(2)=-12+24-9=3$, $v(5)=-75+60-9=-24$. Vậy $\max v(t)=v(2)=3$, tức $M=3$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục tọa độ: gốc $O$ tại trung điểm $AB$ trên mặt đất, trục $Ox$ nằm ngang, trục $Oy$ thẳng đứng qua đỉnh cổng. Khi đó $A(-20;0)$, $B(20;0)$, đỉnh cổng $(0;24)$. Parabol có dạng $y=a{x}^2+24$. Thay điểm $B(20;0)$: $400a+24=0\Rightarrow a=-0,06$. Vậy $y=-0,06x^2+24$, với $x\in [-20;20]$.

Độ dốc tại điểm hoành độ $x$ là góc $\alpha$ giữa tiếp tuyến và phương ngang, với $\tan \alpha =|y^{\prime }|=0,12|x|$.

Độ dốc tối đa đạt tại chân cổng $x=\pm 20$: $\tan {\alpha }_{max}=0,12\cdot 20=2,4$.

Suy ra ${\alpha }_{max}=\arctan (2,4)\approx 67,38^{\circ }\approx 67^{\circ }23^{\prime }$.

Vậy độ dốc tối đa của cổng gần đúng bằng $67,4^{\circ }$ (khoảng $67^{\circ }$).

(AI giải đề cho tôi)
Xe chuyển động chậm dần đều: v(t)=25-5t, dừng khi v(t)=0 ⟹ t=5 s. a) Chuyển động chậm dần đều nên vận tốc trung bình = (25+0)/2 = 12,5 m/s → đúng. b) Quãng đường = v₀²/(2|a|) = 625/10 = 62,5 m (hoặc ∫₀⁵(25-5t)dt = 62,5) → đúng. c) v(t)=v₀+at = 25-5t → đúng. d) Xe dừng tại t=5 s (giây thứ 5), không phải giây thứ 4 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chuyển động chậm dần đều nên v_tb = (v₀+v)/2 = (25+0)/2 = 12,5 m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường đến lúc dừng: s = v₀²/(2|a|) = 25²/(2·5) = 62,5 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
v(t) = v₀ + at = 25 - 5t (m/s), đúng với t từ 0 đến 5 s.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi v(t)=0 ⟹ t = 25/5 = 5 s, tức giây thứ 5 chứ không phải giây thứ 4.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=x^2+6x=x(x+6)$. a) $k=-9\Rightarrow x^2+6x=-9\iff (x+3{)}^2=0\Rightarrow x_0=-3$; $y(-3)=-9+27-2=16$. Tiếp tuyến: $y=16-9(x+3)$, tức $y-16=-9(x+3)$ → đúng. b) $k=0\Rightarrow x(x+6)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=-6$: có 2 tiếp tuyến → đúng. c) Phương trình $x^2+6x=k$ có $\Delta =36+4k$; với $k<-9$ thì $\Delta <0$ nên không có tiếp tuyến → sai. d) Với $k>-9$, $\Delta >0$ nên có 2 tiếp tuyến, không phải 1 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+6x=-9\Rightarrow x=-3$, $y(-3)=16$, tiếp tuyến $y-16=-9(x+3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x(x+6)=0$ cho $x=0$ và $x=-6$: 2 tiếp tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =36+4k<0$ khi $k<-9$, không có tiếp tuyến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =36+4k>0$ khi $k>-9$: có 2 tiếp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-2t+5$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-2$. a) $v(2)=12-4+5=13\ne 9$ → sai. b) $a(3)=18-2=16$ → đúng. c) Giải $3t^2-2t+5=45\iff 3t^2-2t-40=0\iff t=4$ (nhận) hoặc $t=-10/3$ (loại). Khi đó $s(4)=64-16+20+2=70$ m → đúng. d) $6t-2=34\iff t=6$, khi đó $v(6)=108-12+5=101$ m/s → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3t^2-2t+5$ nên $v(2)=12-4+5=13\ne 9$ (m/s).
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=6t-2$ nên $a(3)=18-2=16$ (m/s${}^2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$3t^2-2t+5=45\iff t=4$ (nhận), $s(4)=64-16+20+2=70$ (m).
d) (AI giải đề cho tôi)
$6t-2=34\iff t=6$, $v(6)=108-12+5=101$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+3)}{(x-2{)}^2}=\frac{-7}{(x-2{)}^2}$. a) $M(1;-5)\in (C)$ vì $\frac{2+3}{1-2}=-5$; $y^{\prime }(1)=\frac{-7}{1}=-7$ → đúng. b) Với $x=3$: $y=\frac{6+3}{3-2}=9\ne -5$ → sai. c) Tiếp tuyến tại $M$ có hệ số góc $-7$, bằng hệ số góc của $d_1$ và $M(1;-5)$ không thuộc $d_1$ (vì $-7(1)+17=10\ne -5$) nên song song → đúng. d) $d_2$ có hệ số góc $16/7$, tiếp tuyến vuông góc có hệ số góc $-\frac{7}{16}$. Giải $\frac{-7}{(x-2{)}^2}=-\frac{7}{16}\Rightarrow (x-2{)}^2=16\Rightarrow x=6$ hoặc $x=-2$: có hai tiếp tuyến → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-7}{(x-2{)}^2}$, $M(1;-5)\in (C)$, $y^{\prime }(1)=-7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=3$, $y=\frac{6+3}{3-2}=9\ne -5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $M$ có hệ số góc $-7$ bằng hệ số góc của $d_1$, và $M\notin d_1$ nên hai đường song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến vuông góc $d_2$ cần hệ số góc $-7/16$; giải $-7/(x-2{)}^2=-7/16$ cho $x=6$ hoặc $x=-2$, tức có hai tiếp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2f(5-x)+xf(x)=2x$: thay $x=0$ được $2f(5)=0\Rightarrow f(5)=0$. Thay $x=5$ được $2f(0)+5f(5)=10\Rightarrow f(0)=5$. Đạo hàm hai vế: $-2f^{\prime }(5-x)+f(x)+x{f}^{\prime }(x)=2$. Thay $x=0$: $-2f^{\prime }(5)+f(0)=2\Rightarrow f^{\prime }(5)=\frac{5-2}{2}=\frac{3}{2}$. Tiếp tuyến tại điểm $(5;0)$: $y=f^{\prime }(5)(x-5)+f(5)=\frac{3}{2}(x-5)$, tức $y=\frac{3}{2}x-\frac{15}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3x-3$ thì $6-3x=3-t$ và $x=\frac{t+3}{3}$. Khi đó:
$$2f(t)+f(3-t)=3{\left(\frac{t+3}{3}\right)}^2-5\cdot \frac{t+3}{3}=\frac{t^2+t-6}{3}.$$
Thay $t$ bởi $3-t$:
$$2f(3-t)+f(t)=\frac{(3-t{)}^2+(3-t)-6}{3}=\frac{t^2-7t+6}{3}.$$
Từ phương trình đầu, $f(3-t)=\frac{t^2+t-6}{3}-2f(t)$. Thay vào phương trình thứ hai:
$$2\left(\frac{t^2+t-6}{3}-2f(t)\right)+f(t)=\frac{t^2-7t+6}{3}$$
$$\Rightarrow \frac{2t^2+2t-12}{3}-3f(t)=\frac{t^2-7t+6}{3}$$
$$\Rightarrow 3f(t)=\frac{t^2+9t-18}{3}\Rightarrow f(t)=\frac{t^2+9t-18}{9}.$$
Vậy $f(x)=\frac{x^2+9x-18}{9}$.

Tại $x=3$: $f(3)=\frac{9+27-18}{9}=2$; $f^{\prime }(x)=\frac{2x+9}{9}$ nên $f^{\prime }(3)=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(3;2)$:
$$y=2+\frac{5}{3}(x-3)\iff y=\frac{5}{3}x-3.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-x-1}{x+1}=x-2+\frac{1}{x+1}$ (điều kiện $x\ne -1$), nên $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$.

a) Tại $x=0$: $y(0)=-1$, $y^{\prime }(0)=1-1=0$. Tiếp tuyến: $y=-1$.

b) $y=0\iff x^2-x-1=0\iff x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.
- Tại $x_0=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$: $x_0+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, nên $\frac{1}{(x_0+1{)}^2}=\frac{4}{(3+\sqrt{5}{)}^2}=\frac{4}{14+6\sqrt{5}}=\frac{2}{7+3\sqrt{5}}=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$, suy ra $y^{\prime }=1-\frac{7-3\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$; tiếp tuyến: $y=\frac{3\sqrt{5}-5}{2}\left(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$.
- Tại $x_0=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$: tương tự $y^{\prime }=\frac{-3\sqrt{5}-5}{2}$; tiếp tuyến: $y=-\frac{3\sqrt{5}+5}{2}\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$.

c) Gọi $P(0;m)$. Tiếp tuyến tại $x_0\ne -1$ đi qua $P$ khi $m=y_0-x_0{y}^{\prime }$. Thay $y_0=x_0-2+\frac{1}{x_0+1}$ và $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x_0+1{)}^2}$:
$$m=-2+\frac{1}{x_0+1}+\frac{x_0}{(x_0+1{)}^2}=-2+\frac{2}{x_0+1}-\frac{1}{(x_0+1{)}^2}.$$
Đặt $u=\frac{1}{x_0+1}$ ($u\ne 0$), khi đó $m=-2+2u-u^2$, tức $u^2-2u+(m+2)=0$ với $u\ne 0$.

- Với $m=-1$: phương trình có nghiệm kép $u=1$ (chỉ một tiếp tuyến tại $x_0=0$), không thỏa.
- Với $m=-2$: phương trình $u^2-2u=0$ có nghiệm $u=0$ (loại vì $u\ne 0$) và $u=2$ (hợp lệ), nên chỉ có một tiếp tuyến, không thỏa.
- Với $m<-1$, $m\ne -2$: $\Delta =4-4(m+2)=-4(m+1)>0$ cho hai nghiệm phân biệt $u_1\ne u_2$, đều khác $0$ (vì $u=0\Rightarrow m=-2$), tương ứng hai tiếp tuyến phân biệt.

Vậy các điểm cần tìm là $P(0;m)$ với $m<-1$ và $m\ne -2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}=x+2+\frac{1}{x+1}$ (điều kiện $x\ne -1$), nên $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$.

Gọi tiếp tuyến tại điểm tiếp $x_0$ (kí hiệu $t=x_0+1\ne 0$) có hệ số góc $k=y^{\prime }(x_0)=\frac{t^2-1}{t^2}$. Phương trình tiếp tuyến: $y=k(x+3)+1$ (vì đi qua $M(-3;1)$).

Điểm tiếp thuộc đồ thị nên: $k(x_0+3)+1=x_0+2+\frac{1}{x_0+1}$, tức $k(t+2)=t+\frac{1}{t}$.

Thay $k=\frac{t^2-1}{t^2}$, nhân hai vế với $t^2$: $(t^2-1)(t+2)=t^3+t\Rightarrow t^3+2t^2-t-2=t^3+t\Rightarrow 2t^2-2t-2=0\Rightarrow t^2-t-1=0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $t_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ (đều khác $0$), vậy qua $M$ kẻ được đúng hai tiếp tuyến.

Vì $t^2=t+1$ nên $k=\frac{t^2-1}{t^2}=\frac{t}{t^2}=\frac{1}{t}$. Do đó $k_1{k}_2=\frac{1}{t_1{t}_2}=\frac{1}{-1}=-1$ (vì $t_1{t}_2=-1$ theo Vi-ét).

Vậy $k_1{k}_2=-1$, hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-9}{x^2}$, tại $x=3$: $y^{\prime }(3)=-1$. Tiếp tuyến tại $M(3;3)$: $y=-x+6$. Giao với Ox: $(6;0)$, Oy: $(0;6)$. Diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=2x^3-3x+3$, ta có $y^{\prime }=6x^2-3$.
1) Tiếp điểm có hoành độ $x_0=-1$: $y_0=2(-1{)}^3-3(-1)+3=4$; hệ số góc $k=y^{\prime }(-1)=6-3=3$. Phương trình tiếp tuyến: $y=3(x+1)+4=3x+7$.
2) Tiếp điểm có tung độ $y_0=13$: giải $2x^3-3x+3=13\iff 2x^3-3x-10=0$. Thử $x=2$: $16-6-10=0$, nên phân tích $(x-2)(2x^2+4x+5)=0$. Phương trình $2x^2+4x+5=0$ có biệt thức ${\Delta }^{\prime }=4-10=-6<0$ nên vô nghiệm. Vậy $x_0=2$, $k=y^{\prime }(2)=24-3=21$. Tiếp tuyến: $y=21(x-2)+13=21x-29$.
3) Tiếp tuyến có hệ số góc $147$: $6x^2-3=147\iff x^2=25\iff x=\pm 5$.
- Với $x=5$: $y_0=2\cdot 125-15+3=238$, tiếp tuyến $y=147(x-5)+238=147x-497$.
- Với $x=-5$: $y_0=-250+15+3=-232$, tiếp tuyến $y=147(x+5)-232=147x+503$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{3x-7}{-2x+5}$, đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\frac{3(-2x+5)-(3x-7)(-2)}{(-2x+5{)}^2}=\frac{-6x+15+6x-14}{(-2x+5{)}^2}=\frac{1}{(-2x+5{)}^2}$ (với $x\ne \frac{5}{2}$).

1) Tiếp điểm có hoành độ $x_0=2$: $y_0=f(2)=\frac{6-7}{-4+5}=-1$; $f^{\prime }(2)=\frac{1}{(-4+5{)}^2}=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y=-1+1(x-2)=x-3$.

2) Tiếp điểm có tung độ $y_0=-2$: giải $\frac{3x-7}{-2x+5}=-2\Rightarrow 3x-7=4x-10\Rightarrow x_0=3$ (thỏa mãn $x\ne 5/2$). $f^{\prime }(3)=\frac{1}{(-6+5{)}^2}=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y=-2+1(x-3)=x-5$.

3) Hệ số góc bằng $\frac{1}{25}$: $\frac{1}{(-2x+5{)}^2}=\frac{1}{25}\Rightarrow (-2x+5{)}^2=25\Rightarrow -2x+5=\pm 5\Rightarrow x=0$ hoặc $x=5$.
- Với $x_0=0$: $y_0=f(0)=-\frac{7}{5}$, tiếp tuyến: $y=-\frac{7}{5}+\frac{1}{25}(x-0)=\frac{x}{25}-\frac{7}{5}$.
- Với $x_0=5$: $y_0=f(5)=\frac{15-7}{-5}=-\frac{8}{5}$, tiếp tuyến: $y=-\frac{8}{5}+\frac{1}{25}(x-5)=\frac{x}{25}-\frac{9}{5}$.

Vậy có hai tiếp tuyến: $y=\frac{x}{25}-\frac{7}{5}$ và $y=\frac{x}{25}-\frac{9}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $y^{\prime }=3x^2-6x$. b) Đúng: $y^{\prime }(2)=12-12=0$. c) Sai: với $x=0$ thì $y=2\ne 3$, nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị. d) Sai: tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $a$ là $y=(3a^2-6a)(x-a)+a^3-3a^2+2$. Tia sáng qua $P(0;3)$ khi $-a(3a^2-6a)+a^3-3a^2+2=3$, tức $2a^3-3a^2+1=0\iff (a-1{)}^2(2a+1)=0$, cho $a=1$ hoặc $a=-\frac{1}{2}$. Vì xe chạy theo chiều hoành độ tăng dần, tia sáng hướng theo $x$ tăng; tại cả hai vị trí này $P$ nằm phía sau ($x=0<a$) nên tia không rọi tới $P$ theo hướng chiếu (thực chất chỉ 1 đường thẳng tiếp tuyến qua $P$ ứng với $a=-\frac{1}{2}$, và không có đúng 2 thời điểm rọi trúng). Vậy mệnh đề 'có đúng 2 thời điểm' là sai, khớp đáp án mã đề 1102 (1a D, 1b D, 1c S, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x$ đúng theo quy tắc đạo hàm đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(2)=3\cdot 4-6\cdot 2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$, $y=2\ne 3$ nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tiếp tuyến qua $P(0;3)$ dẫn đến $2a^3-3a^2+1=0\iff (a-1{)}^2(2a+1)=0$; xét hướng chiếu theo $x$ tăng dần, không có đúng 2 thời điểm tia sáng rọi trúng $P$, nên mệnh đề sai.

Vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm $t(s)$ là: $v(t)=s^{\prime }(t)=20-5t$ .
Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh ($t=0(s)$) là:
$v(0)=20-5.0=20(m/s)$ . Ta có: $20m/s=72km/h>70km/h$ .
Suy ra ô tô trên đã chạy quá tốc độ giới hạn cho phép.
Khi xe đứng hẳn, vận tốc $v(t)=0\iff 20-5t=0\iff t=4$ (giây). Do đó, khoảng thời gian xe chuyển động chậm dần đều tính từ lúc phanh đến lúc đứng lại hẳn (nếu không va chạm) là $t\in [0;4]$ .
Khi xảy ra va chạm, ô tô đã đi được 20,4 m kể từ khi đạp phanh nên
$$20,4=20t-\frac{5}{2}{t}^2\iff \{\begin{array}{l}t=1,2\\ t=6,8\end{array}\text{ neˆn }t=1,2(s).$$
Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm $(t=1,2(s))$ là:
$$v(1,2)=20-5\cdot 1,2=14(m/s).$$

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $y^{\prime }=3x^2-6x$. b) Đúng: $y^{\prime }(2)=12-12=0$. c) Sai: với $x=0$ thì $y=2\ne 3$, nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị. d) Sai: xe tại điểm $(a;f(a))$ với $f(a)=a^3-3a^2+2$, tiếp tuyến có phương trình $y=(3a^2-6a)(x-a)+a^3-3a^2+2$. Tia sáng hướng theo hoành độ tăng dần nên chỉ chiếu tới $P(0;3)$ khi $a<0$ và $P$ nằm trên tiếp tuyến: thay $x=0$ được $-2a^3+3a^2+2=3\iff 2a^3-3a^2+1=0\iff (a-1{)}^2(2a+1)=0$, cho $a=1$ hoặc $a=-\frac{1}{2}$. Vì tia chiếu về phía hoành độ tăng dần, chỉ $a=-\frac{1}{2}<0$ thỏa (tại $a=1$, điểm $P$ nằm phía sau xe). Vậy chỉ có đúng 1 thời điểm, mệnh đề 'đúng 2 thời điểm' là sai. Khớp bảng đáp án mã đề 1101: 2a=D, 2b=D, 2c=S, 2d=S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x$ đúng theo quy tắc đạo hàm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(2)=3\cdot 4-6\cdot 2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$, $y=2\ne 3$ nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $(a;a^3-3a^2+2)$ qua $P(0;3)$ khi $2a^3-3a^2+1=(a-1{)}^2(2a+1)=0$, tức $a=1$ hoặc $a=-\frac{1}{2}$. Do tia sáng hướng theo hoành độ tăng dần, chỉ $a=-\frac{1}{2}$ hợp lệ, nên chỉ có 1 thời điểm chứ không phải 2.