Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=8x^3$.
Ta có $y^{\prime }=0\iff x=0$.
Bảng xét dấu đạo hàm:
- Với $x<0$ thì $y^{\prime }<0$ (hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$).
- Với $x>0$ thì $y^{\prime }>0$ (hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.
Chọn D.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$.
Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$.
Đối chiếu các phương án, chọn khoảng $(-2;0)$.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Quan sát đồ thị hàm số trùng phương:
- Đồ thị có ba điểm cực trị với điểm cực tiểu tại $x=-1$ và cực đại tại $x=0$.
- Trên khoảng $(-1;0)$, đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải, do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.
- Vì $-\frac{1}{2}\in (-1;0)$, nên đạo hàm tại điểm này mang giá trị dương: $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)>0$.

Trên khoảng $(-\infty ;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$.

Từ bảng biến thiên ta thấy $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-4x+1>0\iff x\in \left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)\cup (1;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{-5}{(x-3{)}^2}<0,\forall x\in D$.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$.
(Lưu ý: Theo hướng dẫn giải và bảng đáp án chính thức của trường THPT Phan Đình Phùng, đáp án được chọn là C do đề bài giải khẳng định tính nghịch biến trên từng khoảng xác định; về mặt lý thuyết mệnh đề B diễn đạt trên tập hợp rời rạc không chuẩn theo SGK).
Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
Chọn C.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
Ta có: $y^{\prime }=\frac{1\cdot 1-(-m)}{(x+1{)}^2}=\frac{1+m}{(x+1{)}^2}$.
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y^{\prime }>0,\forall x\in D\iff 1+m>0\iff m>-1$.
Chọn D.

Ta có $y^{\prime }=(1-2x{)}^{\prime }\cdot f^{\prime }(1-2x)=-2f^{\prime }(1-2x)$.
Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }\ge 0\iff -2f^{\prime }(1-2x)\ge 0\iff f^{\prime }(1-2x)\le 0$.
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(t)\le 0\iff [\begin{array}{rl}t& \le -3\\ -2& \le t\le 1\\ t& \ge 3\end{array}$
Do đó:
$[\begin{array}{rl}1-2x& \le -3\\ -2& \le 1-2x\le 1\\ 1-2x& \ge 3\end{array}\iff [\begin{array}{rl}x& \ge 2\\ 0& \le x\le \frac{3}{2}\\ x& \le -1\end{array}$
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$, $\left(0;\frac{3}{2}\right)$, và $(2;+\infty )$.
Trong các phương án đã cho, khoảng $\left(0;\frac{3}{2}\right)$ thỏa mãn.
Chọn D.

Chọn D.
Theo định nghĩa tính đơn điệu, hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi với mọi $x_1\ne x_2$ ta có $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<0$.

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)\ge 0\iff (x+1)(3-x)\ge 0\iff -1\le x\le 3$. Do đó hàm số đồng biến trên $(-1;3)$. Vì $(-1;0)\subset (-1;3)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.

Chọn B.
Ta có đạo hàm $y^{\prime }=m-\sin x$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
$y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff m-\sin x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff m\ge \sin x,\forall x\in \mathbb{R}$.
Điều này tương đương với $m\ge {\max }_{\mathbb{R}}(\sin x)=1$.
Vậy $m\ge 1$.

Hàm số $y=2x^3+x-5$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có $y^{\prime }=6x^2+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$, nên đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$.

Ta có $y^{\prime }=x^2+2mx+2m+3$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=m^2-(2m+3)\le 0\iff m^2-2m-3\le 0\iff -1\le m\le 3$.
Tập hợp các giá trị $m$ là $[-1;3]$.
Chọn D.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=3(x^2-1)=0\iff x=\pm 1$.
$y^{\prime }>0\iff x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$.
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$.
Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)<0⟺x\in (-\infty ;-1)\cup (0;1)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{1}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\ne -1$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=2f^{\prime }(2x+1)$, hàm số nghịch biến khi $f^{\prime }(2x+1)<0$:
$$[<table><tbody><tr><td>2x+1<-3</td></tr><tr><td>-1<2x+1<1</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x<-2</td></tr><tr><td>-1<x<0</td></tr></tbody></table>$$
Vậy hàm số $f(2x+1)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$.

Chọn C.
Dựa vào bảng biến thiên, $y^{\prime }>0$ trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$.
Vì khoảng $(-2;-1)\subset (-\infty ;0)$ nên hàm số đồng biến trên $(-2;-1)$.