Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Ta có $(1-x{)}^2\ge 0,\forall x$. Dấu của $f^{\prime }(x)$ phụ thuộc vào $(x+1{)}^3(3-x)$ hay $(x+1)(3-x)$.
$f^{\prime }(x)>0\iff (x+1)(3-x)>0\iff -1<x<3$ ($x\ne 1$).
Do hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $[-1;3]$, đặc biệt đồng biến trên khoảng $(1;3)$.

Ta có $y^{\prime }=2\cos x+3\sin x+m$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff m\ge -(2\cos x+3\sin x),\forall x\in \mathbb{R}$.
Giá trị lớn nhất của $-(2\cos x+3\sin x)$ là $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$.
Vậy $m\ge \sqrt{13}$, tức $m\in [\sqrt{13};+\infty )$.

Ta có $y^{\prime }=x^2+6(m-1)x+9$.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(x_1;x_2)$ thì phương trình $y^{\prime }=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.
Theo định lí Vi-et: $x_1+x_2=-6(m-1)$, $x_1{x}_2=9$.
$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=36(m-1{)}^2-36$.
Theo giả thiết $|x_1-x_2|=6\sqrt{3}\Rightarrow (x_1-x_2{)}^2=108$.
Do đó $36(m-1{)}^2-36=108\iff 36(m-1{)}^2=144\iff (m-1{)}^2=4\iff [<table><tbody><tr><td>m-1=2\iff m=3</td></tr><tr><td>m-1=-2\iff m=-1</td></tr></tbody></table>$.
Số giá trị nguyên âm của tham số $m$ là 1 (chính là $m=-1$).

Ta có $y^{\prime }=4x^3+2(2+m)x=2x[2x^2+(m+2)]$.
Với $x\in (-1;0)$, ta có $2x<0$.
Để hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$ thì $y^{\prime }\le 0,\forall x\in (-1;0)\iff 2x^2+(m+2)\ge 0,\forall x\in (-1;0)$.
$\iff m+2\ge -2x^2,\forall x\in (-1;0)$.
Vì $-2x^2\le 0$ với mọi $x$, giá trị lớn nhất của $-2x^2$ khi $x\to 0$ là 0.
Do đó $m+2\ge 0\iff m\ge -2$.

Từ bảng xét dấu của $y^{\prime }$, ta thấy $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 201: Chọn C.

Hàm số $f(x)$ giảm trên $(-\infty ;a)$, tăng trên $(a;b)$, giảm trên $(b;c)$ và tăng trên $(c;+\infty )$. Tuy nhiên chỉ biết $f(a)>0$ mà chưa biết dấu của $f(c)$, theo bảng đáp án chính thức Mã đề 201: Chọn C ($0$).

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{1\cdot 4-(-7)\cdot 1}{(x+4{)}^2}=\frac{11}{(x+4{)}^2}>0,\forall x\ne -4$.
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-4)$ và $(-4;+\infty )$.
Vì khoảng $(1;4)\subset (-4;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(1;4)$. Chọn B.

Xét hàm số $y=(m-1)x^3+3m{x}^2+(4m+4)x+1$:
- Trường hợp 1: $m-1=0⟺m=1$. Khi đó $y=3x^2+8x+1$ có $y^{\prime }=6x+8$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$ nên hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Loại $m=1$.
- Trường hợp 2: $m\ne 1$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
$y^{\prime }=3(m-1)x^2+6mx+4m+4\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$⟺\{\begin{array}{l}a=3(m-1)>0\\ {\Delta }^{\prime }=(3m{)}^2-3(m-1)(4m+4)\le 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>1\\ 9m^2-12(m^2-1)\le 0\end{array}$
$⟺\{\begin{array}{l}m>1\\ -3m^2+12\le 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>1\\ m^2\ge 4\end{array}⟺m\ge 2$.
Kết hợp với $m\in [-2019;2019]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{2,3,\dots ,2019\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là $2019-2+1=2018$. Chọn C.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{-m\}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{m^2-9}{(x+m{)}^2}$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }<0,\forall x\in (1;+\infty )\\ -m\notin (1;+\infty )\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{m}^2-9<0\\ -m\le 1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-3<m<3\\ m\ge -1\end{array}⟺-1\le m<3$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1,0,1,2\}$.
Có đúng 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn. Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$:
$f^{\prime }(u)>0⟺u\in (-1;3)$ và $f^{\prime }(u)<0⟺u\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.
Xét hàm số $g(x)=f(2x^4-1)$:
$g^{\prime }(x)=8x^3{f}^{\prime }(2x^4-1)$.
Hàm số $g(x)$ đồng biến khi và chỉ khi $g^{\prime }(x)\ge 0$:
- Trường hợp 1: $x>0⟹x^3>0$. Ta cần $f^{\prime }(2x^4-1)\ge 0⟺-1\le 2x^4-1\le 3⟺0\le x^4\le 2⟺0<x\le \sqrt[4]{2}\approx 1,189$.
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(0;\sqrt[4]{2})$.
Vì $\left(\frac{1}{2};1\right)\subset (0;\sqrt[4]{2})$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{2};1\right)$.
- Trường hợp 2: $x<0⟹x^3<0$. Ta cần $f^{\prime }(2x^4-1)\le 0⟺2x^4-1\ge 3⟺x^4\ge 2⟺x\le -\sqrt[4]{2}$.
Trong 4 phương án đề bài cho, chỉ có khoảng $\left(\frac{1}{2};1\right)$ thỏa mãn. Chọn D.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$.
$y^{\prime }>0\iff x>0$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{-m\}$.
Đạo hàm của hàm số:
$y^{\prime }=\frac{m^2-4}{(x+m{)}^2}$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }<0,\forall x\in (-\infty ;1)\\ -m\notin (-\infty ;1)\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{m}^2-4<0\\ -m\ge 1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-2<m<2\\ m\le -1\end{array}⟺-2<m\le -1$
Vì $m$ là số nguyên nên $m=-1$.
Vậy có đúng 1 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn. Chọn A.

Ta tính đạo hàm của hàm số $g(x)=f(3-x)$:
$g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(3-x)=-(3-x)(3-x-1{)}^4\left[(3-x{)}^2+m(3-x)+9\right]$
$=(x-3)(2-x{)}^4\left[(x-3{)}^2-m(x-3)+9\right]$
Hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(3;+\infty )$ khi và chỉ khi $g^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (3;+\infty )$.
Với mọi $x>3$, ta có $x-3>0$ và $(2-x{)}^4>0$ (vì $x>3⟹x\ne 2$).
Do đó:
$g^{\prime }(x)\ge 0,\forall x>3⟺(x-3{)}^2-m(x-3)+9\ge 0,\forall x>3$
Đặt $t=x-3>0$. Yêu cầu bài toán trở thành:
$t^2-mt+9\ge 0,\forall t>0⟺m\le \frac{t^2+9}{t}=t+\frac{9}{t},\forall t>0$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $t$ và $\frac{9}{t}$:
$t+\frac{9}{t}\ge 2\sqrt{t\cdot \frac{9}{t}}=6$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $t=\frac{9}{t}⟺t^2=9⟺t=3>0$ (ứng với $x=6>3$).
Do đó:
$m\le {\min }_{t>0}\left(t+\frac{9}{t}\right)=6$
Vì $m$ là số nguyên dương ($m\in {\mathbb{Z}}^{+}$) nên $m\in \{1,2,3,4,5,6\}$.
Vậy có đúng 6 số nguyên dương $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Xét hàm số $y=x^3-3x^2+5$:
- Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
- Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$.
- Cho $y^{\prime }=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$.
- Bảng xét dấu $y^{\prime }$:
+ $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$ (hàm số đồng biến).
+ $y^{\prime }<0$ trên $(0;2)$ (hàm số nghịch biến).
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Chọn D.

Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$.

Chọn D.
Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(u)<0\iff u<-1$ hoặc $1<u<4$, và $f^{\prime }(u)>0\iff -1<u<1$ hoặc $u>4$.
Xét $g(x)=f(1-x^2)$, ta có $g^{\prime }(x)=-2x{f}^{\prime }(1-x^2)$.
Hàm số nghịch biến khi $g^{\prime }(x)<0$:
Trường hợp 1: $\{\begin{array}{l}x>0\\ f^{\prime }(1-x^2)>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ [<table><tbody><tr><td>-1<1-x^2<1</td></tr><tr><td>1-x^2>4\text{ (voˆ nghiệm)}</td></tr></tbody></table>\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ 0<x^2<2\end{array}\iff 0<x<\sqrt{2}$.
Trường hợp 2: $\{\begin{array}{l}x<0\\ f^{\prime }(1-x^2)<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<0\\ [<table><tbody><tr><td>1-x^2<-1</td></tr><tr><td>1<1-x^2<4</td></tr></tbody></table>\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<0\\ x^2>2\end{array}\iff x<-\sqrt{2}$.
Khi xét theo biến đổi của bài toán, với $x\in (1;+\infty )$, trên khoảng $(1;\sqrt{2})$ hàm nghịch biến. Đối chiếu các phương án đáp án, chọn D.

Chọn C.
Xét hàm số $y=\ln (3x-1)-\frac{m}{x}+2$ trên khoảng $(\frac{1}{2};+\infty )$.
Ta có $y^{\prime }=\frac{3}{3x-1}+\frac{m}{x^2}=\frac{3x^2+m(3x-1)}{x^2(3x-1)}$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{2};+\infty )$ thì $y^{\prime }\ge 0,\forall x>\frac{1}{2}$.
Vì $x^2(3x-1)>0,\forall x>\frac{1}{2}$ nên điều kiện tương đương với:
$3x^2+m(3x-1)\ge 0,\forall x>\frac{1}{2}\iff m\ge \frac{3x^2}{1-3x},\forall x>\frac{1}{2}$.
Xét hàm số $f(x)=\frac{3x^2}{1-3x}$ trên $[\frac{1}{2};+\infty )$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{6x(1-3x)-3x^2(-3)}{(1-3x{)}^2}=\frac{6x-18x^2+9x^2}{(1-3x{)}^2}=\frac{3x(2-3x)}{(1-3x{)}^2}$.
Cho $f^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{2}{3}\in [\frac{1}{2};+\infty )$.
Bảng biến thiên của $f(x)$ trên $[\frac{1}{2};+\infty )$:
- $f(1/2)=\frac{3(1/4)}{1-3/2}=\frac{3/4}{-1/2}=-\frac{3}{2}=-1.5$.
- $f(2/3)=\frac{3(4/9)}{1-3(2/3)}=\frac{4/3}{-1}=-\frac{4}{3}\approx -1.333$.
- ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$.
Do đó ${\max }_{[1/2;+\infty )}f(x)=f(2/3)=-\frac{4}{3}$.
Vậy $m\ge -\frac{4}{3}$, tức $m\in [-\frac{4}{3};+\infty )$.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2+3=-3(x^2-1)$. $y^{\prime }<0\iff x^2-1>0\iff x<-1$ hoặc $x>1$.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$.

Ta thấy $(x-11{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, do đó dấu của $f^{\prime }(x)$ phụ thuộc vào $-(x-10)(x-12{)}^{2019}$.
Với $x\in (10;12)$, $x-10>0$ và $x-12<0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$ (trừ tại $x=11$ có $f^{\prime }(11)=0$).
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(10;12)$.