Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $AC$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $MN\parallel BC$.
Ta có: $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$ (vì $M\in AB$, mà $AB$ chỉ cắt mặt phẳng $(BCD)$ tại $B\ne M$).
Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, từ $MN\parallel BC$ và $BC\subset (BCD)$, $MN\not\subset (BCD)$ suy ra $MN\parallel (BCD)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
A sai: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. B đúng: theo tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng, nếu $a//(P)$ thì trong $(P)$ tồn tại đường thẳng $b$ sao cho $b//a$ (lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$, giao tuyến $b=(\alpha )\cap (P)$ thì $b//a$). C sai: $a$ có thể chéo với $b$. D sai: $a$ và $b$ có thể chéo nhau (ví dụ $a$ song song với một đường thẳng trong $(P)$ khác $b$). Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $d\not\subset (\alpha )$:
- A đúng: theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, nếu $d//(\alpha )$ thì trong $(\alpha )$ tồn tại đường thẳng $\Delta$ sao cho $\Delta //d$.
- B sai: nếu $d//(\alpha )$ và $b\subset (\alpha )$ thì $b$ và $d$ có thể song song hoặc chéo nhau (ví dụ $d$ song song với đường thẳng $a\subset (\alpha )$, lấy $b$ cắt $a$ trong $(\alpha )$ thì $b$ và $d$ chéo nhau). Vậy B là khẳng định sai.
- C đúng: $d$ cắt $(\alpha )$ tại $A$, $d^{\prime }\subset (\alpha )$ nên $d$ và $d^{\prime }$ không thể song song; nếu $A\in d^{\prime }$ thì chúng cắt nhau, nếu $A\notin d^{\prime }$ thì chúng chéo nhau.
- D đúng: $d//c$, $c\subset (\alpha )$ và $d\not\subset (\alpha )$ nên theo định lý nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng, $d//(\alpha )$.
Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét các mệnh đề khi $a//(P)$:
(1) Sai: $a$ chỉ song song (hoặc chéo) với các đường thẳng trong $(P)$, không song song với mọi đường thẳng. Ví dụ trong mặt phẳng chứa $a$ và cắt $(P)$, giao tuyến $b$ của mặt phẳng đó với $(P)$ thì $a//b$, nhưng các đường thẳng khác trong $(P)$ có thể chéo với $a$.
(2) Đúng: theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, tồn tại đường thẳng $b\subset (P)$ sao cho $b//a$.
(3) Đúng: lấy $b\subset (P)$ với $b//a$; mọi đường thẳng $c\subset (P)$, $c//b$, $c\ne b$ đều song song với $a$, nên có vô số đường thẳng như vậy.
(4) Đúng: đường thẳng $b\subset (P)$ với $b//a$ thì $a$ và $b$ đồng phẳng (hai đường thẳng song song luôn đồng phẳng).
Vậy có 3 mệnh đề đúng, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình: $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên $MN\parallel (ABCD)$. Với $(SAB)$: $MN$ cắt mặt này tại $M$ (vì $M\in SA\subset (SAB)$) nên không song song; tương tự $MN$ cắt $(SCD)$ tại $N$ và cắt $(SBC)$ tại $N$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định:
- A đúng: Đây là tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng. Nếu $a\parallel (P)$ thì trong $(P)$ tồn tại đường thẳng $b$ sao cho $b\parallel a$ (lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$, cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$; khi đó $b\parallel a$).
- B không chắc chắn đúng: Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba chỉ song song với nhau khi chúng phân biệt; đề không nói 'phân biệt' nên hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau.
- C sai: Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song (ví dụ ba mặt phẳng chứa ba cạnh bên của hình lăng trụ cắt hai mặt đáy).
- D sai: Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ hai cạnh của hình lập phòng cùng vuông góc với một cạnh).
Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN//AC$.
Vì $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $MN//(ABCD)$.
Các phương án B, C, D sai vì $MN$ cắt các mặt phẳng $(SAB)$, $(SCD)$ tại $M$, $N$ tương ứng (nên không song song), còn với $(SBC)$ thì $MN$ không nằm trong $(SBC)$ nhưng cũng không thể kết luận song song — thực tế $MN$ chéo với các đường thẳng trong $(SBC)$ và có thể cắt mặt phẳng này tùy hình chóp; nói chung chỉ có khẳng định $MN//(ABCD)$ chắc chắn đúng.
Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$, $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $AD$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$. Suy ra $MN\parallel BD$ (tính chất đường trung bình). Xét mặt phẳng $(BCD)$: ta có $BD\subset (BCD)$, $MN\not\subset (BCD)$ (vì $M\in AB$, $N\in AD$ mà $AB,AD$ không nằm trong $(BCD)$), và $MN\parallel BD$. Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng (đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và không nằm trong mặt phẳng đó thì song song với mặt phẳng), ta được $MN\parallel (BCD)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Trong tam giác $ABD$, $G_1$ là trọng tâm nên $M{G}_1=\frac{1}{3}MB$ (với $M$ nằm trên trung tuyến $MB$), tức $\overrightarrow{M{G}_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}$. Trong tam giác $ACD$, $G_2$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{M{G}_2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$. Suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{M{G}_2}-\overrightarrow{M{G}_1}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Vậy $G_1{G}_2\parallel BC$.

Xét mặt phẳng $(ABC)$: đường thẳng $BC\subset (ABC)$ và $G_1\notin (ABC)$ (vì $G_1$ nằm trong tam giác $ABD$, không thuộc mặt phẳng $(ABC)$ do tứ diện không phẳng). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $G_1{G}_2\parallel (ABC)$.

Xét mặt phẳng $(BCD)$: đường thẳng $BC\subset (BCD)$ và $G_1\notin (BCD)$ (vì $G_1$ thuộc mặt phẳng $(ABD)$, mà $(ABD)$ cắt $(BCD)$ theo giao tuyến $BD$ và $G_1$ không nằm trên $BD$). Suy ra $G_1{G}_2\parallel (BCD)$.

Vậy $G_1{G}_2$ song song với cả hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(BCD)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cố định đó là mặt phẳng (sàn nhà). Giải thích: Mép trên của cánh cửa là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng của cánh cửa, và đường thẳng này luôn song song với đường thẳng giao của mặt phẳng cánh cửa với mặt sàn (tức là mép dưới của cửa), vì cánh cửa có dạng hình chữ nhật nên hai mép trên và dưới song song với nhau. Mặt sàn là mặt phẳng cố định, và mép dưới của cửa luôn nằm trên (hoặc song song với) mặt sàn. Do đó, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng nào đó thì nó song song với mặt phẳng đó, ta suy ra mép trên của cửa luôn song song với mặt sàn, bất kể cửa được mở ở vị trí nào.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, vì $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hai mặt song song nên $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$. Mà $A{D}^{\prime }\subset (AC{D}^{\prime })$ và $B{C}^{\prime }\not\subset (AC{D}^{\prime })$, suy ra $B{C}^{\prime }\parallel (AC{D}^{\prime })$. Các phương án khác sai: $B{C}^{\prime }$ cắt $(A{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ tại $B$, cắt $(ACD)$ tại $C$, cắt $(CD{D}^{\prime })$ tại $C$. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (đề 1008, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, tức $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$. Mà $A{D}^{\prime }\subset (AC{D}^{\prime })$ nên $B{C}^{\prime }\parallel (AC{D}^{\prime })$. Các phương án khác sai: $B{C}^{\prime }$ cắt $(CD{D}^{\prime })$ tại $C^{\prime }$, cắt $(A{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ tại $B$, và $B{C}^{\prime }$ không song song $(ACD)$ vì $C\in (ACD)$ nhưng $C^{\prime }\notin (ACD)$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thang $AD\parallel BC$ với $AD=2BC$, giao điểm $O$ của $AC$ và $BD$ thỏa $\frac{OD}{OB}=\frac{OA}{OC}=\frac{AD}{BC}=2$, tức $\frac{OB}{OD}=\frac{1}{2}$. Trong tam giác $SBD$: $M\in SD$ với $MD=2MS\Rightarrow \frac{SM}{MD}=\frac{1}{2}$, và $\frac{BO}{OD}=\frac{1}{2}$. Vậy $\frac{SM}{MD}=\frac{BO}{OD}$, suy ra theo định lý Thales $OM\parallel SB$. Mà $SB\subset (SBC)$ nên $OM\parallel (SBC)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (P)$ nên $a$ không có điểm chung với $(P)$, do đó $a$ không thể cắt $b$ (vì $b\subset (P)$, nếu cắt thì giao điểm thuộc $(P)$, mâu thuẫn). Các trường hợp song song, chéo nhau, không có điểm chung đều có thể xảy ra.

(AI giải đề cho tôi)
Vì a // (P) nên a không có điểm chung với (P). Mà b nằm trong (P) nên a và b không thể có điểm chung, do đó a và b không thể cắt nhau. Các trường hợp song song, chéo nhau, không có điểm chung đều có thể xảy ra.

Vì $I$, $J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$, $ABD$ nên $I\in AM$, $J\in AN$. Do đó mặt phẳng $(IJMN)$ chính là mặt phẳng $(AMN)$.

Trong tam giác $BCD$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel CD$. Mà $MN\subset (IJMN)$ và $CD\not\subset (IJMN)$ nên $CD\parallel (IJMN)$. Chọn B.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD\parallel AB$, mà $AB\subset (SAB)$ và $CD\not\subset (SAB)$, do đó $CD\parallel (SAB)$. Chọn C.

- Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$ và $M$ là trung điểm $SC$, do đó $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SA$.
- Vì $OM\parallel SA$ và $SA\subset (SAB)$ nên $OM\parallel (SAB)$ (A đúng).
- Vì $OM\parallel SA$ và $SA\subset (SAD)$ nên $OM\parallel (SAD)$ (B đúng).
- Vì $SA\parallel OM$ mà $OM\subset (BDM)$ nên $SA\parallel (BDM)$ (C đúng).
- Mặt phẳng $(OMC)$ chính là mặt phẳng $(SAC)$. Đường thẳng $SB$ cắt mặt phẳng $(SAC)$ tại đỉnh $S$, do đó $SB$ không thể song song với $(OMC)$ (D sai). Chọn D.

Chọn C.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau. Do đó mệnh đề "Nếu $a\parallel (\alpha )$ và $b\parallel (\alpha )$ thì $a\parallel b$" là sai.