Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(2;-3) vào Δ: 3·2+4·(-3)+6 = 6-12+6 = 0, nên A thuộc Δ. Đúng.
b) Vectơ AB = (1-2; 0-(-3)) = (-1; 3), cùng phương với u=(1;-3) vì AB = -u. Đúng.
c) d(A,Δ) = |3·2+4·(-3)+6|/5 = 0; d(B,Δ) = |3·1+4·0+6|/5 = 9/5. Vậy 5·d(B,Δ) = 9 ≠ 0 = d(A,Δ). Sai.
d) BA = √((2-1)²+(-3-0)²) = √10, nên đường tròn tâm B bán kính BA là (x-1)²+y² = 10, không phải 100. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(2;-3) vào Δ: 3·2+4·(-3)+6 = 0 nên A thuộc Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = (-1;3) = -(1;-3) nên cùng phương với u=(1;-3).
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ)=0, d(B,Δ)=9/5, nên 5·d(B,Δ)=9 ≠ 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
BA = √10 nên phương trình đúng là (x-1)²+y²=10, không phải 100.

$M\in \Delta$ nên $M(1+2t;t)$. $$O{M}^2=(1+2t{)}^2+t^2=5t^2+4t+1=5{\left(t+\frac{2}{5}\right)}^2+\frac{1}{5}\ge \frac{1}{5}$$ $OM$ ngắn nhất khi $O{M}^2$ ngắn nhất, khi đó $t+\frac{2}{5}=0\iff t=-\frac{2}{5}$. Vậy $M\left(\frac{1}{5};-\frac{2}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $d_1,d_2$: $2x+y-1=0$ và $x+2y+1=0$. Nhân phương trình thứ hai với 2: $2x+4y+2=0$, trừ phương trình thứ nhất: $3y+3=0\Rightarrow y=-1$, suy ra $2x-1-1=0\Rightarrow x=1$. Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là $P(1;-1)$. Ba đường thẳng đồng quy khi $d_3$ đi qua $P$: $m\cdot 1-(-1)-7=0\iff m-6=0\iff m=6$. Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:7x+y-3=0$ và ${\Delta }_2:7x+y+12=0$ có cùng dạng $ax+by+c=0$ với $a=7,b=1$ nên song song với nhau. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là $d({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|12-(-3)|}{\sqrt{7^2+1^2}}=\frac{15}{\sqrt{50}}=\frac{15}{5\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án D trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng song song cùng dạng $7x+y+c=0$. Khoảng cách $d=\frac{|12-(-3)|}{\sqrt{7^2+1^2}}=\frac{15}{\sqrt{50}}=\frac{15}{5\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 132, Câu 11 = A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(2;-3) vào Δ: 3·2 + 4·(-3) + 6 = 6 - 12 + 6 = 0, nên A thuộc Δ. Đúng.
b) Vectơ AB = B - A = (1-2; 0-(-3)) = (-1; 3), cùng phương với u = (1; -3) vì AB = -u. Đúng.
c) d(A,Δ) = |3·2 + 4·(-3) + 6|/√(9+16) = 0/5 = 0; d(B,Δ) = |3·1 + 4·0 + 6|/5 = 9/5. Khi đó 5·d(B,Δ) = 9 ≠ 0 = d(A,Δ). Sai.
d) BA = √((2-1)² + (-3-0)²) = √10, nên đường tròn tâm B bán kính BA là (x-1)² + y² = 10, không phải 100. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
3·2 + 4·(-3) + 6 = 0 nên A thuộc Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = (-1; 3) = -(1; -3) cùng phương với u = (1; -3).
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ) = 0, d(B,Δ) = 9/5, nên 5·d(B,Δ) = 9 ≠ 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
BA = √10 nên phương trình đúng là (x-1)² + y² = 10.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ${\Delta }_1:x=-2+3t,y=1-4t$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(3;-4)$. Đường thẳng ${\Delta }_2:-3x+4y-14=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(-3;4)$, nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(4;3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=3\cdot 4+(-4)\cdot 3=12-12=0$. Vậy hai vectơ chỉ phương vuông góc, góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của $d_1:2x+y-1=0$ và $d_2:x+2y+1=0$: từ hệ $\{\begin{array}{l}2x+y=1\\ x+2y=-1\end{array}$, giải được $x=1,y=-1$. Để ba đường thẳng đồng quy, điểm $(1;-1)$ phải thuộc $d_3:mx-y-7=0$, tức $m\cdot 1-(-1)-7=0\iff m-6=0\iff m=6$. Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Δ1: x−2y−1=0 có vectơ pháp tuyến n1=(1;−2). Δ2: −4x+8y−1=0 có n2=(−4;8)=−4(1;−2), nên n2 cùng phương với n1 ⇒ hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Xét tỉ số hệ số: 1/(−4) = (−2)/8 = −1/4 nhưng 1/(−4) ≠ (−1)/(−1)... cụ thể so sánh a/c = 1/(−4) = −1/4, b/d = (−2)/8 = −1/4, còn e/f = (−1)/(−1) = 1 ≠ −1/4, nên ba cặp hệ số không cùng tỉ lệ ⇒ hai đường thẳng không trùng nhau. Vậy Δ1 // Δ2. (Cách khác: y = (x−1)/2 và y = (4x+1)/8 = x/2 + 1/8 có cùng hệ số góc 1/2 nhưng khác hệ số chặn.) Khớp đáp án nguồn C (Mã đề 2222).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 Phần II: a) Đường thẳng d: 4x+y-8=0 có vectơ pháp tuyến n=(4;1) → Đúng. b) Đường thẳng Δ: x-4y+15=0 có pháp tuyến n_Δ=(1;-4), nên vectơ chỉ phương là u=(4;1) (hoặc (1;4) sau khi đổi dấu... chính xác u=(4;1)); vectơ (1;-4) là pháp tuyến chứ không phải chỉ phương → Sai. c) n_d·n_Δ = 4·1 + 1·(-4) = 0, hai đường vuông góc nên cắt nhau → Đúng. d) Giải hệ 4x+y=8, x-4y=-15: y=8-4x, thay vào: x-4(8-4x)=-15 ⇒ 17x=17 ⇒ x=1, y=4. Giao điểm là A(1;4), không phải A(1;5) → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng d: 4x+y-8=0 có hệ số A=4, B=1 nên vectơ pháp tuyến là n=(4;1). Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ: x-4y+15=0 có pháp tuyến n=(1;-4), do đó vectơ chỉ phương phải vuông góc với n, ví dụ u=(4;1). Vectơ (1;-4) chính là pháp tuyến, không phải chỉ phương. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
n_d·n_Δ = 4·1 + 1·(-4) = 0 nên d vuông góc với Δ, hai đường cắt nhau. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ {4x+y=8; x-4y=-15} được x=1, y=4, giao điểm là A(1;4) chứ không phải A(1;5). Sai.

Đáp án chính thức: ĐA: $90^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x+y-5=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_d=(3;1)$. Hai đường thẳng vuông góc khi tích vô hướng hai pháp tuyến bằng 0. Kiểm tra: A: $(3;-1)\cdot (3;1)=9-1=8\ne 0$. B: $(1;3)\cdot (3;1)=3+3=6\ne 0$. C: $(1;-3)\cdot (3;1)=3-3=0$ nên ${\Delta }_3:x-3y-5=0$ vuông góc với $d$. D: $(3;1)\cdot (3;1)=10\ne 0$ (song song với $d$). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án in tiêu đề cột là "2222" nhưng mã đề là 222).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:3x-4y+2=0$ và $d_2:3x-4y+5=0$ có cùng pháp tuyến $(3;-4)$ và $\frac{3}{3}=\frac{-4}{-4}=1\ne \frac{2}{5}$ nên $d_1\parallel d_2$, không cắt nhau và không trùng nhau.
a) Sai: Thay $M(1;2)$ vào $d_1$: $3(1)-4(2)+2=-3\ne 0$ nên $M$ không thuộc $d_1$; hơn nữa $d_1\parallel d_2$ nên không có giao điểm chung.
b) Đúng: Từ phương trình $3x-4y+2=0$, vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(3;-4)$.
c) Sai: Vì $\frac{2}{5}\ne 1$ nên hai đường thẳng song song, không trùng nhau.
d) Đúng: Vectơ chỉ phương của $d_2$ vuông góc với pháp tuyến $(3;-4)$, ví dụ $\vec{u}=(4;3)$ vì $3\cdot 4+(-4)\cdot 3=0$.
Kết quả khớp đáp án chính thức (Mã đề 111, câu 14): a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;2)$ vào $d_1$: $3(1)-4(2)+2=-3\ne 0$ nên $M$ không thuộc $d_1$; hơn nữa $d_1\parallel d_2$ (cùng pháp tuyến, hệ số tự do khác nhau) nên hai đường không cắt nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $3x-4y+2=0$ cho vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;-4)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{3}{3}=\frac{-4}{-4}\ne \frac{2}{5}$ nên $d_1$ và $d_2$ song song, không trùng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d_2$ vuông góc với pháp tuyến $(3;-4)$, ví dụ $\vec{u}=(4;3)$ vì $3\cdot 4+(-4)\cdot 3=0$. Đúng.

$$\cos \alpha =\frac{|1.3+2.(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot \sqrt{3^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}.$$ Góc $\alpha \approx 81,87^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:3x-2y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;-2)$ và $d_2:2x+3y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=3\cdot 2+(-2)\cdot 3=6-6=0$, nên $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, suy ra $d_1\perp d_2$. Vậy hai đường thẳng vuông góc. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 111: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Δ₂: 3x−y=0 ⟺ y=3x. Với x=t thì y=3t, nên phương trình tham số đúng. b) Thay y=3x vào Δ₁: 3x+4(3x)+15=0 ⟹ 15x+15=0 ⟹ x=−1, y=−3. Giao điểm là N(−1;−3), không phải N(1;−3) → sai. c) Thay M(−2;−1) vào Δ₁: 3(−2)+4(−1)+15=−6−4+15=5≠0 → M không thuộc Δ₁ → sai. d) Δ₁: 3x+4y+15=0 có vectơ pháp tuyến n₁=(3;4) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ₂: y=3x, chọn x=t thì y=3t, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ được giao điểm N(−1;−3), không phải N(1;−3).
c) (AI giải đề cho tôi)
3(−2)+4(−1)+15=5≠0 nên M không thuộc Δ₁.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của 3x+4y+15=0 là (3;4).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $A(1;2)$ đến đường thẳng $5x-12y-7=0$: $d(A,d)=\frac{|5\cdot 1-12\cdot 2-7|}{\sqrt{5^2+(-12{)}^2}}=\frac{|5-24-7|}{13}=\frac{26}{13}=2$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng mã đề 243.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: từ $3x-4y-2=0$, vecto pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(3;-4)$, không phải $(3;4)$. b) Đúng: thay $M(2;1)$: $3\cdot 2-4\cdot 1-2=0$, nên $M\in {\Delta }_1$. c) Đúng: hệ $\{\begin{array}{l}3x-4y-2=0\\ x-4y=0\end{array}$, từ phương trình hai $x=4y$, thay vào: $12y-4y-2=0\Rightarrow y=\frac{1}{4}$, $x=1$. Vậy giao điểm $N\left(1;\frac{1}{4}\right)$. d) Sai: ${\Delta }_2:x-4y=0\Rightarrow y=\frac{x}{4}$, vecto chỉ phương $(1;\frac{1}{4})$, phương trình tham số qua gốc $O(0;0)$ là $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\frac{t}{4}\end{array}$, không phải $y=4t$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến của ${\Delta }_1:3x-4y-2=0$ là ${\vec{n}}_1=(3;-4)$, không phải $(3;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(2;1)$ vào ${\Delta }_1$: $3\cdot 2-4\cdot 1-2=0$, nên $M$ thuộc ${\Delta }_1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ: $x=4y$, thay vào $12y-4y-2=0\Rightarrow y=\frac{1}{4},x=1$, giao điểm $N\left(1;\frac{1}{4}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_2:y=\frac{x}{4}$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\frac{t}{4}\end{array}$, không phải $y=4t$.