Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):3x-2y-7=0$ có hệ số góc $k_{\Delta }=\frac{3}{2}$. Hai đường thẳng cắt nhau khi hệ số góc khác nhau (và không trùng nhau).
- $(d_4):6x-4y-14=0\iff 3x-2y-7=0$, trùng với $(\Delta )$, không cắt (trùng nhau).
- $(d_1):3x+2y=0$ có hệ số góc $k_1=-\frac{3}{2}\ne \frac{3}{2}$, nên $(\Delta )$ cắt $(d_1)$ tại một điểm. Giải hệ: $3x-2y=7$, $3x+2y=0$ $\Rightarrow x=\frac{7}{6},y=-\frac{7}{4}$, giao điểm $\left(\frac{7}{6};-\frac{7}{4}\right)$.
- $(d_3):-3x+2y-7=0\iff 3x-2y+7=0$ có cùng hệ số góc $\frac{3}{2}$ và khác $(\Delta )$, nên song song với $(\Delta )$.
- $(d_2):3x-2y=0$ có cùng hệ số góc $\frac{3}{2}$, song song với $(\Delta )$.
Vậy $(\Delta )$ cắt $(d_1)$, đáp án B, trùng với đáp án của đề (Mã 1103, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng ý: b) Vecto chỉ phương $BC=(-3;2)$ nên $BC$ có VTPT $(2;3)$, thay $B(-2;1)$: $-4+3+1=0$, thay $C(-5;3)$: $-10+9+1=0$, vậy $BC:2x+3y+1=0$ → đúng. a) $d(A,BC)=|2\cdot 1+3\cdot 2+1|/\sqrt{13}=9/\sqrt{13}=\frac{9\sqrt{13}}{13}$ → đúng. c) $P=3\cdot \overrightarrow{OM}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=3\cdot \overrightarrow{OM}-(-6;6)$, $|P|$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của trọng tâm $G(-2;2)$ lên $d:x+2y+8=0$. Vì $x_G+2y_G+8=10$, ta có $M=G-(10/5)(1;2)=(-4;-2)$, nên $a+b=-6$ → đúng. d) $E(20;-14)$ thuộc $d$ ($20-28+8=0$) nhưng không thuộc $BC$ ($2\cdot 20+3\cdot (-14)+1=-1\ne 0$), nên $E$ không là giao điểm của $BC$ và $d$ → sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (Đ, Đ, Đ, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,BC)=|2\cdot 1+3\cdot 2+1|/\sqrt{13}=9/\sqrt{13}=\frac{9\sqrt{13}}{13}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC$ qua $B(-2;1)$, $C(-5;3)$ có VTPT $(2;3)$: $2x+3y+1=0$, thỏa cả $B$ và $C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=3\cdot \overrightarrow{OM}-(-6;6)$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $G(-2;2)$ trên $d$, tính được $M(-4;-2)$ nên $a+b=-6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$E(20;-14)$ thuộc $d$ nhưng $2\cdot 20+3\cdot (-14)+1=-1\ne 0$ nên $E$ không thuộc $BC$, do đó không là giao điểm của $BC$ và $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d_2$ là phân giác trong góc $B$ nên $B\in d_2$; vì $d_1$ là đường cao kẻ từ $A$ nên $A\in d_1$ và $BC\perp d_1$. Gọi $B=(t;t-1)$ (trên $d_2$). Đường thẳng $BC$ đi qua $B$ và vuông góc $d_1$ có vecto chỉ phương $(1;-2)$, nên $C=(t+s;t-1-2s)$, suy ra $2a+b=2(t+s)+(t-1-2s)=3t-1$. Gọi $A=(2u+2;u)$ (trên $d_1$). Phản xạ của $A$ qua $d_2:x-y-1=0$ là $A^{\prime }=(u+1;2u+1)$; vì $d_2$ là phân giác trong tại $B$ nên $A^{\prime }$ thuộc đường thẳng $BC$. Điều kiện $A^{\prime },B$ thẳng hàng theo phương $(1;-2)$: $-2(u+1-t)=2u+2-t\Rightarrow 3t=4u+4\Rightarrow u=\frac{3t-4}{4}$. Điều kiện $A,M(0;2),B$ thẳng hàng: $(2u+2)(t-3)=t(u-2)\Rightarrow u(t-6)=6-4t$. Thay $u=\frac{3t-4}{4}$: $(3t-4)(t-6)=24-16t\Rightarrow 3t^2-6t=0\Rightarrow t=0$ hoặc $t=2$. Với $t=0$ thì $u=-1$, khi đó $A=(0;-1)=B$ (suy biến, loại). Vậy $t=2$, khi đó $2a+b=3(2)-1=5$ (không phụ thuộc dấu $s$; với $t=2$, $u=\frac{1}{2}$, $A=(3;\frac{1}{2})$, $A{B}^2=\frac{5}{4}$, $AB=2BC\Rightarrow B{C}^2=\frac{5}{16}\Rightarrow s=\pm \frac{1}{4}$, cho $C=(\frac{9}{4};-\frac{1}{2})$ hoặc $C=(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$, đều thỏa mãn và $2a+b=5$).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $a,b>0$. Vì $(d)$ qua $M(3;1)$ nên $\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1$. Đặt $u=\frac{1}{a},v=\frac{1}{b}$ ($u,v>0$), ta cần tối thiểu $P=u^2+v^2$ với ràng buộc $3u+v=1$. Theo Cauchy-Schwarz: $(u^2+v^2)(9+1)\ge (3u+v{)}^2=1$, nên $P\ge \frac{1}{10}$, dấu '=' khi $\frac{u}{3}=\frac{v}{1}$, tức $u=\frac{3}{10},v=\frac{1}{10}$. Suy ra $a=\frac{10}{3},b=10$. Khi đó $(d)$: $\frac{3x}{10}+\frac{y}{10}=1\iff 3x+y-10=0$. Kiểm tra: đi qua $M(3;1)$ vì $9+1-10=0$; cắt $Ox$ tại $A\left(\frac{10}{3};0\right)$, $Oy$ tại $B(0;10)$, thỏa $a,b>0$. Giá trị nhỏ nhất $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}=\frac{9}{100}+\frac{1}{100}=\frac{1}{10}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ cắt hai trục tại $A(a;0)$, $B(0;b)$ với $a,b>0$ nên có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Vì $(d)$ đi qua $M(3;1)$ nên $\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz cho hai bộ $(\frac{1}{a};\frac{1}{b})$ và $(3;1)$:
$${\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}\right)}^2\le \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)(3^2+1^2)=10\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right).$$
Do đó $1\le 10\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)$, tức $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{1}{10}$.

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{1/a}{3}=\frac{1/b}{1}$, tức $\frac{1}{a}=3k,\frac{1}{b}=k$. Thay vào ràng buộc: $9k+k=1\Rightarrow k=\frac{1}{10}$, suy ra $a=\frac{10}{3},b=10$ (thỏa $a,b>0$).

Khi đó $(d)$: $\frac{3x}{10}+\frac{y}{10}=1\iff 3x+y-10=0$. Kiểm tra: $M(3;1)$: $9+1-10=0$ đúng; $A(10/3;0)$, $B(0;10)$ đều dương. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 17: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta )$: $3x-2y-7=0$ có hệ số góc $k=\frac{3}{2}$. Xét từng phương án:
- A: $(d_1)$: $3x+2y=0$ có hệ số góc $-\frac{3}{2}\ne \frac{3}{2}$, nên $\Delta$ cắt $d_1$ tại một điểm duy nhất. Đúng.
- B: $(d_3)$: $-3x+2y-7=0$ có hệ số góc $\frac{3}{2}$ và khác $\Delta$ (tính cờ khác dấu), nên song song với $\Delta$.
- C: $(d_2)$: $3x-2y=0$ có cùng hệ số góc $\frac{3}{2}$ và khác $\Delta$, nên song song với $\Delta$.
- D: $(d_4)$: $6x-4y-14=0$ chia hai vế cho 2 được $3x-2y-7=0$, trùng với $\Delta$.
Vậy $\Delta$ cắt đường thẳng ở phương án A, khớp với đáp án nguồn (Mã 1102, câu 19: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5 (Mã 1102): a) Đường thẳng BC qua B(-2;1), C(-5;3) có VTCP (-3;2) nên PT: 2x+3y+1=0. Thay E(20;-14): 2·20+3·(-14)+1 = -1 ≠ 0, nên E không thuộc BC, do đó E không phải giao điểm của BC và d → SAI. b) P = 3·vec{MG} với G là trọng tâm tam giác ABC: G = ((1-2-5)/3; (2+1+3)/3) = (-2;2). P nhỏ nhất khi |MG| nhỏ nhất, tức M là hình chiếu của G lên d: x+2y+8=0. Thay G: -2+4+8=10, M = (-2;2) - (10/5)(1;2) = (-4;-2). Vậy a+b = -6 → ĐÚNG. c) Như trên, BC: 2x+3y+1=0 (thỏa cả B và C) → ĐÚNG. d) d(A, BC) = |2·1+3·2+1|/√13 = 9/√13 = 9√13/13 → ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC: 2x+3y+1=0. Thay E(20;-14): 40-42+1=-1≠0 nên E không thuộc BC, do đó không phải giao điểm của BC và d.
b) (AI giải đề cho tôi)
P = 3vec{MG} với G(-2;2) trọng tâm tam giác ABC. P nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên d: x+2y+8=0. Thay G được 10, M = (-2;2) - 2(1;2) = (-4;-2), nên a+b = -6.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC qua B(-2;1), C(-5;3), VTCP (-3;2), PT: 2x+3y+1=0, kiểm tra B: -4+3+1=0, C: -10+9+1=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(A,BC) = |2·1+3·2+1|/√(4+9) = 9/√13 = 9√13/13.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ $A$ là $d_1:x-2y-2=0$ nên $BC\perp d_1$, suy ra $BC$ có hệ số góc $-2$. Phân giác trong góc $B$ là $d_2:x-y-1=0$, nên $B$ nằm trên $d_2$ và đường thẳng $AB$ là ảnh của đường thẳng $BC$ qua phép đối xứng trục $d_2$.

Gọi $B(t;t-1)$ trên $d_2$. Đường thẳng $BC$ qua $B$ có hệ số góc $-2$: $2x+y-3t+1=0$. Lấy điểm $(t+1;t-3)$ trên $BC$, đối xứng qua $d_2$ (phép đối xứng $(x;y)\mapsto (y+1;x-1)$) ta được $(t-2;t)$. Đường thẳng $AB$ qua $B(t;t-1)$ và $(t-2;t)$ có phương trình: $x+2y-3t+2=0$.

Vì $M(0;2)\in AB$: $0+4-3t+2=0\Rightarrow t=2$. Vậy $B(2;1)$, $AB:x+2y-4=0$, $BC:2x+y-5=0$.

$A$ là giao của $AB$ và $d_1$: thay $x=2y+2$ vào $x+2y-4=0$ được $y=\frac{1}{2}$, $x=3$, tức $A(3;\frac{1}{2})$.

$AB=\sqrt{(3-2{)}^2+(\frac{1}{2}-1{)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Vì $AB=2BC$ nên $BC=\frac{\sqrt{5}}{4}$.

Trên $BC$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2)$ với $|\vec{u}|=\sqrt{5}$, nên $C=B\pm \frac{1}{4}(1;-2)$, tức $C(\frac{9}{4};\frac{1}{2})$ hoặc $C(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$.

Kiểm tra điều kiện $d_2$ là phân giác **trong**: tại $B$, với $C(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$, các vectơ $\overrightarrow{BA}=(1;-\frac{1}{2})$, $\overrightarrow{BC}=(-\frac{1}{4};\frac{1}{2})$; tổng hai vectơ đơn vị cùng hướng $\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}+\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}=\frac{(1;1)}{\sqrt{5}}$ cùng hướng với $d_2$ (vectơ $(1;1)$), nên $d_2$ là phân giác trong. Trường hợp $C(\frac{9}{4};\frac{1}{2})$ cho tổng $\frac{(3;-3)}{\sqrt{5}}$, tức $d_2$ là phân giác ngoài (loại).

Vậy $C(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$, tức $a=\frac{7}{4}$, $b=\frac{3}{2}$, khi đó $2a+b=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ là giao của hai đường trung tuyến: giải $x+7y-10=0$ và $x-2y+2=0$ ta được $G\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$. Vì $G=\frac{A+B+C}{3}$ nên $B+C=3G-A=(2;4)-(1;3)=(1;1)$. Gọi $B(b_1;b_2)$ thuộc $BM$: $b_1+7b_2-10=0$; khi đó $C=(1-b_1;1-b_2)$ thuộc $CN$: $(1-b_1)-2(1-b_2)+2=0\Rightarrow b_1=2b_2+1$. Kết hợp được $9b_2=9\Rightarrow b_2=1$, $b_1=3$. Vậy $B(3;1)$, $C(-2;0)$. Đường thẳng $BC$ qua $C(-2;0)$ với hệ số góc $\frac{1-0}{3+2}=\frac{1}{5}$: $y=\frac{x+2}{5}\iff x-5y+2=0$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm hai trung tuyến $BM$ và $CN$ là trọng tâm $G$: giải $x+7y-10=0$, $x-2y+2=0$ được $G(\frac{2}{3};\frac{4}{3})$. Gọi $B(b_1;b_2)$ trên $BM$: $b_1+7b_2=10$; trung điểm $N$ của $AB$ nằm trên $CN$: $(1+b_1)-2(3+b_2)+2=0\Rightarrow b_1-2b_2=3$. Suy ra $b_2=1$, $b_1=3$, tức $B(3;1)$. Gọi $C(c_1;c_2)$ trên $CN$: $c_1-2c_2=-2$; trung điểm $M$ của $AC$ nằm trên $BM$: $(1+c_1)+7(3+c_2)-20=0\Rightarrow c_1+7c_2=-2$. Suy ra $c_2=0$, $c_1=-2$, tức $C(-2;0)$. Đường thẳng $BC$ qua $B(3;1)$ và $C(-2;0)$ có vectơ chỉ phương $(5;1)$, phương trình: $x-5y+2=0$. Khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):3x-2y-7=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2)$, hệ số góc $k=\frac{3}{2}$. Xét từng phương án:
- A: $(d_4):6x-4y-14=0\iff 3x-2y-7=0$, trùng với $(\Delta )$ nên không cắt.
- C: $(d_3):-3x+2y-7=0$ có $\vec{n}=(-3;2)=-{\vec{n}}_{\Delta }$ nhưng c khác, nên song song với $(\Delta )$, không cắt.
- D: $(d_2):3x-2y=0$ có cùng pháp tuyến $(3;-2)$, khác cột tự do nên song song với $(\Delta )$, không cắt.
- B: $(d_1):3x+2y=0$ có $\vec{n}=(3;2)$, kiểm tra $3\cdot 2-(-2)\cdot 3=12\ne 0$ nên hai vectơ pháp tuyến không cùng phương, hai đường thẳng cắt nhau (hệ số góc $-\frac{3}{2}\ne \frac{3}{2}$).
Vậy $(\Delta )$ cắt $(d_1):3x+2y=0$, đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Mã 1101, câu 19: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng ý. b) VTCP của BC là (-3;2) nên VTPT (2;3), qua B(-2;1): 2(-2)+3(1)+c=0 ⇒ c=1, được BC: 2x+3y+1=0. Đúng. a) Giao BC với d: thay x=-2y-8 vào 2x+3y+1=0 ⇒ -4y-16+3y+1=0 ⇒ y=-15, x=22. Giao điểm là (22;-15), không phải E(20;-14). Sai. c) d(A,BC)=|2·1+3·2+1|/√13=9/√13=9√13/13. Đúng. d) P=3(MG−...) tức P=3\overrightarrow{MG} với G là trọng tâm tam giác ABC: G=(-2;2). P nhỏ nhất ⇔ |\overrightarrow{MG}| nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của G trên d. Hình chiếu: M=G−((x_G+2y_G+8)/5)(1;2)=(-2;2)−(10/5)(1;2)=(-4;-2). Vậy a+b=-6. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của BC: 2x+3y+1=0 và d: x+2y+8=0 là (22;-15), không phải E(20;-14).
b) (AI giải đề cho tôi)
VTPT (2;3), qua B(-2;1) ⇒ 2x+3y+1=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,BC)=|2+6+1|/√13=9√13/13.
d) (AI giải đề cho tôi)
P=3\overrightarrow{MG}, G(-2;2) trọng tâm; M là hình chiếu của G trên d: M(-4;-2), a+b=-6.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $a,b>0$. Vì $(d)$ qua $M(3;1)$ nên $\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1$. Đặt $u=\frac{1}{a},v=\frac{1}{b}$, ta cần tìm min của $u^2+v^2$ với điều kiện $3u+v=1$. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $(3u+v{)}^2\le (3^2+1^2)(u^2+v^2)=10(u^2+v^2)$, nên $u^2+v^2\ge \frac{1}{10}$, dấu bằng khi $\frac{u}{3}=\frac{v}{1}$, tức $u=\frac{3}{10},v=\frac{1}{10}$. Suy ra $a=\frac{10}{3},b=10$, đường thẳng là $\frac{3x}{10}+\frac{y}{10}=1\iff 3x+y-10=0$. Kiểm tra: qua $M(3;1)$: $9+1-10=0$ đúng; $a=10/3>0,b=10>0$ thỏa. Kết quả trùng với đáp án nguồn là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d_1:x-2y-2=0$ là đường cao kẻ từ $A$ nên $BC\perp d_1$, do đó đường thẳng $BC$ có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của $d_1$: $\vec{v}=(1;-2)$.

Vì $d_2:x-y-1=0$ là phân giác trong của góc $B$ nên tia $BC$ là tia đối xứng của tia $BA$ qua $d_2$. Gọi $B=(t;t-1)$ (thuộc $d_2$). Đường thẳng $AB$ đi qua $M(0;2)$ và $B$ nên có vecto chỉ phương $\vec{u}=(t;t-3)$; tia $BA$ có phương $(-t;3-t)$. Đường $d_2$ có vecto chỉ phương $(1;1)$, phản xạ của vecto $(x;y)$ qua phương $(1;1)$ là $(y;x)$, nên tia đối xứng của tia $BA$ qua $d_2$ có phương $(3-t;-t)$. Để tia này trùng phương $(1;-2)$ của $BC$: $(3-t;-t)=\lambda (1;-2)\Rightarrow -t=-2\lambda ,3-t=\lambda \Rightarrow t=2$. Vậy $B=(2;1)$.

Điểm $A$ nằm trên đường thẳng $MB$: $A=M+s\vec{u}=(st;2+s(t-3))$. Vì $A\in d_1$: $st-2[2+s(t-3)]-2=0\iff s(6-t)=6\Rightarrow s=\frac{6}{6-t}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. Suy ra $A=\left(3;\frac{1}{2}\right)$ (kiểm tra: $3-1-2=0$ đúng) và $\overrightarrow{AB}=(2;-1)$, vuông góc với $\overrightarrow{BC}=(1;-2)$ (thỏa điều kiện đường cao).

Ta có $MB=\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{5}$, nên $AB=|s|\cdot MB=\frac{3\sqrt{5}}{2}$. Vì $AB=2BC$ nên $BC=\frac{3\sqrt{5}}{4}$. Đường thẳng $BC$ đi qua $B(2;1)$ với vecto chỉ phương $(1;-2)$: $C=B+k(1;-2)=(2+k;1-2k)$, $BC=|k|\sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{4}\Rightarrow |k|=\frac{3}{4}$.

Kiểm tra tính phân giác trong: với $\overrightarrow{BA}\propto (2;-1)$ và $\overrightarrow{BC}=(1;-2)$, tổng hai vecto đơn vị $\frac{(2;-1)}{\sqrt{5}}+\frac{(1;-2)}{\sqrt{5}}=\frac{(3;-3)}{\sqrt{5}}\propto (1;-1)$, đúng là phương của $d_2$ (phân giác trong), nên cấu hình thỏa mãn.

Với $k=\frac{3}{4}$: $C=\left(\frac{11}{4};-\frac{1}{2}\right)\Rightarrow 2a+b=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}=5$; với $k=-\frac{3}{4}$: $C=\left(\frac{5}{4};\frac{5}{2}\right)\Rightarrow 2a+b=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5$. Cả hai trường hợp đều cho $2a+b=5$.

Vậy $2a+b=5$, khớp đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 1101, Câu 4: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(x_0;y_0)$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(a;b)$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$ ($t$ là tham số), vì với $t=0$ ta được điểm $M$ và vecto chỉ phương tương ứng là $(a;b)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(1;2)$ và $B(7;8)$ có hệ số góc $k=\frac{8-2}{7-1}=1$, phương trình: $y=x+1$. Vì $M(4;m)\in AB$ nên $m=4+1=5$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $(3;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-5)$. a) Với $A(3;0)$: từ $y=2-5t=0$ suy ra $t=\frac{2}{5}$, khi đó $x=3+\frac{2}{5}=\frac{17}{5}\ne 3$, nên $A$ không thuộc $d$ → Sai. b) Mọi điểm trên $d$ có dạng $M(3+t;2-5t)$ với $t$ tham số → Đúng. c) Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(1;-5)$ → Đúng. d) Phương trình tổng quát: $y-2=-5(x-3)\iff 5x+y-17=0\ne 5x+y+1=0$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $y=0$: $2-5t=0\Rightarrow t=\frac{2}{5}$, khi đó $x=3+\frac{2}{5}=\frac{17}{5}\ne 3$. Vậy $A(3;0)$ không thuộc $d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo phương trình tham số, mọi điểm trên $d$ có tọa độ $M(3+t;2-5t)$ với $t\in \mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x=3+t$, $y=2-5t$, hệ số của $t$ cho vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-5)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x=3+t\Rightarrow t=x-3$, thay vào $y=2-5(x-3)\iff 5x+y-17=0$. Phương trình $5x+y+1=0$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $AH$ đi qua $A(-2;3)$ và vuông góc với $BC$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(3-1;-5-1)=(2;-6)$. Vì $AH\perp BC$ nên $\overrightarrow{BC}$ là một vectơ pháp tuyến của $AH$: $\vec{n}=(2;-6)$. Phương trình đường cao: $2(x+2)-6(y-3)=0\iff 2x-6y+22=0\iff x-3y+11=0$. Thử lại: điểm $A(-2;3)$: $-2-9+11=0$ ✓; tích vô hướng $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=3-4t\Rightarrow t=\frac{3-x}{4}$; $y=-2+2t\Rightarrow t=\frac{y+2}{2}$. Suy ra $\frac{3-x}{4}=\frac{y+2}{2}\Rightarrow 3-x=2y+4\Rightarrow x+2y+1=0$. Vậy phương trình tổng quát của $(d)$ là $x+2y+1=0$, trùng với đáp án A trong bảng đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{u_d}=(2;1)$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$ nên nhận $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(2;1)$ làm VTPT. Đi qua $A(2;3)$ nên $\Delta :2(x-2)+1(y-3)=0\iff 2x+y-7=0$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 10 chọn B).