Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;2)$ đến đường thẳng $\Delta :2x+y+1=0$ là $d(A,\Delta )=\frac{|2\cdot 1+2+1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11 chọn C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB: x−2y=0 có vecto pháp tuyến (1;−2), nên AD vuông góc AB có vecto chỉ phương (1;−2) và đi qua M(−1/2;1): điểm trên AD dạng (−1/2+t; 1−2t). Thay vào x=2y: −1/2+t=2−4t ⇒ t=1/2 ⇒ A(0;0). Gọi B(2y;y) trên AB, BC vuông góc AB nên C=B+v(1;−2)=(2;6): 2y+v=2, y−2v=6 ⇒ y=2, v=−2 ⇒ B(4;2), AB=√(16+4)=2√5. D=A+w(1;−2)=(w;−2w), CD∥AB (chỉ phương (2;1)): (2−w; 6+2w)∥(2;1) ⇒ 2−w=2(6+2w) ⇒ w=−2 ⇒ D(−2;4), AD=2√5. Diện tích = AB·AD = 2√5·2√5 = 20, khớp đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(-2;3)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}(1;-4)$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=3-4t\end{array}$. Xét các phương án: A có vectơ chỉ phương $(3;-4)$ không cùng phương với $(1;-4)$; B và D không đi qua $M(-2;3)$. Phương án C có vectơ chỉ phương $(-1;4)=-\vec{u}$ cùng phương với $\vec{u}$ và tại $t=0$ cho điểm $(-2;3)$, nên C là phương trình tham số của $(d)$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình hai đường thẳng: từ ${\Delta }_2:x=2y+3$, thay vào ${\Delta }_1$: $2(2y+3)+y+15=0\Rightarrow 5y+21=0\Rightarrow y=-\frac{21}{5}$, $x=2\left(-\frac{21}{5}\right)+3=-\frac{27}{5}$. Vậy giao điểm là $I\left(-\frac{27}{5};-\frac{21}{5}\right)$, không phải $\left(-\frac{27}{4};-\frac{21}{4}\right)$ nên ý a sai. Khoảng cách từ $M(3;2)$ đến ${\Delta }_1$: $d=\frac{|2\cdot 3+2+15|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{23}{\sqrt{5}}$ nên ý b đúng. Đường thẳng ${\Delta }_1:2x+y+15=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;1)$ nên ý c đúng. $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\cdot 1+1\cdot (-2)=0$ nên hai đường thẳng vuông góc, ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ cho $I\left(-\frac{27}{5};-\frac{21}{5}\right)$, khác với tọa độ đã cho.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d=\frac{|6+2+15|}{\sqrt{5}}=\frac{23}{\sqrt{5}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2x+y+15=0$ có pháp tuyến $(2;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=(2;1)\cdot (1;-2)=2-2=0$ nên vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A(x_1;y_1)\in {\Delta }_1$, vì $P(2;1)$ là trung điểm $AB$ nên $B(4-x_1;2-y_1)$. Điều kiện: $A\in {\Delta }_1\Rightarrow x_1-y_1+1=0$; $B\in {\Delta }_2\Rightarrow 2(4-x_1)+(2-y_1)-1=0\iff 9-2x_1-y_1=0$. Trừ hai phương trình: $8-3x_1=0\Rightarrow x_1=\frac{8}{3}$, $y_1=\frac{11}{3}$. Suy ra $B\left(\frac{4}{3};-\frac{5}{3}\right)$. Vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(\frac{4}{3};\frac{16}{3}\right)\parallel (1;4)$, nên đường thẳng qua $P$ có hệ số góc $4$: $y-1=4(x-2)\iff 4x-y-7=0$. Chuyển về dạng $ax+by-1=0$: chia cho $-7$ rồi nhân $-1$, ta được $\frac{4}{7}x-\frac{1}{7}y-1=0$, tức $a=\frac{4}{7},b=-\frac{1}{7}$. Vậy $3a+2b=\frac{12}{7}-\frac{2}{7}=\frac{10}{7}\approx 1,43$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\end{array}$ nên VTCP $\overrightarrow{u_d}=(2;-1)$.
Vì $\Delta \perp d$ nên VTCP của $d$ chính là pháp vector của $\Delta$: $\overrightarrow{n_{\Delta }}=\overrightarrow{u_d}=(2;-1)$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C(1;-2)$ và có pháp vector $\vec{n}=(2;-1)$ nên phương trình tổng quát:
$$2(x-1)-1(y+2)=0\iff 2x-2-y-2=0\iff 2x-y-4=0.$$
Kiểm tra: điểm $C(1;-2)$ thỏa mãn $2(1)-(-2)-4=2+2-4=0$, đúng.
Vậy $\Delta :2x-y-4=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-3y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2,b=-3$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có pháp tuyến $\vec{u}(-1;5)$ nên vectơ chỉ phương là $\vec{a}(5;1)$ (vì $\vec{a}\cdot \vec{u}=-5+5=0$). Đường thẳng đi qua $N(5;1)$ nên phương trình tham số dạng $\{\begin{array}{l}x=5+5t\\ y=1+t\end{array}$. Trong các đáp án, chỉ có phương trình ở đáp án B có vectơ chỉ phương $(-5;-1)$ cùng phương với $(5;1)$ và đi qua điểm $N(5;1)$ (khi $t=0$). Đáp án A đi qua $(-5;-1)$, C đi qua $(-5;-1)$, D có $y=1$ (không phải đường thẳng cần tìm). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi) ${\Delta }_1$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;-2)$, hệ số góc $k_1=-2$. ${\Delta }_2:3x-y+14=0\iff y=3x+14$ có hệ số góc $k_2=3$. Ta có $\tan \phi =\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}\right|=\left|\frac{3-(-2)}{1+(-2)(3)}\right|=\left|\frac{5}{-5}\right|=1$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $\phi =45^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $MN$ là $I\left(\frac{3+(-13)}{2};\frac{7+(-1)}{2}\right)=I(-5;3)$. Vecto $\overrightarrow{MN}=(-16;-8)$, nên đường trung trực của $MN$ có vecto pháp tuyến song song với $\overrightarrow{MN}$, chẳng hạn $\vec{n}=(2;1)$. Phương trình: $2(x+5)+1(y-3)=0\iff 2x+y+7=0$. Kiểm tra: $I(-5;3)$ thỏa mãn và $2\cdot 3+7+7=20\ne 0$, $2\cdot (-13)+(-1)+7=-20\ne 0$ (M, N khác phía, cách đều). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $C(a;b)$ thuộc $d$ nên $b=7a+8$. Khoảng cách $CQ=\sqrt{685}$ cho $(a+2{)}^2+(7a+9{)}^2=685$. Khai triển: $a^2+4a+4+49a^2+126a+81=685\Rightarrow 50a^2+130a-600=0\Rightarrow 5a^2+13a-60=0$. Giải: $a=\frac{-13\pm \sqrt{169+1200}}{10}=\frac{-13\pm 37}{10}$, tức $a=\frac{12}{5}$ hoặc $a=-5$. Vì $C$ có hoành độ nhỏ nhất nên $a=-5$, khi đó $b=7(-5)+8=-27$. Vậy $4a+7b=4(-5)+7(-27)=-20-189=-209$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng $d$ đi qua $A(7;10)$, $B(3;-10)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-4;-20)\parallel (1;5)$. Phương trình tham số: $\frac{x-7}{1}=\frac{y-10}{5}=t$, suy ra $y=5x-25$, tức $d:5x-y-25=0$. Kiểm tra: $A$: $35-10-25=0$ đúng; $B$: $15+10-25=0$ đúng.

b) $M(x;y)\in \Delta \Rightarrow x-6y+5=0\Rightarrow x=6y-5$. Điều kiện $MA=MB$ tương đương $M{A}^2=M{B}^2$:
$(x-7{)}^2+(y-10{)}^2=(x-3{)}^2+(y+10{)}^2$
$\iff (x-7{)}^2-(x-3{)}^2+(y-10{)}^2-(y+10{)}^2=0$
$\iff (-8x+40)+(-40y)=0\iff x+5y=5$ (đây là đường trung trực của $AB$, đi qua trung điểm $(5;0)$, hệ số phù hợp với $\overrightarrow{AB}=(-4;-20)$).
Thay $x=6y-5$: $6y-5+5y=5\Rightarrow 11y=10\Rightarrow y=\frac{10}{11}$, $x=\frac{60}{11}-5=\frac{5}{11}$.
Vậy $M\left(\frac{5}{11};\frac{10}{11}\right)$. Kiểm tra: $\frac{5}{11}-\frac{60}{11}+\frac{55}{11}=0$ đúng; $M$ nằm trên trung trực của $AB$ nên $MA=MB$.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào phương trình tham số $x=5+t,y=-4-9t$. Với điểm $(7;-22)$: từ $x=7$ suy ra $t=7-5=2$, khi đó $y=-4-9\cdot 2=-4-18=-22$ khớp tọa độ đã cho. Vậy $(7;-22)\in d$. Các điểm còn lại: $(7;-4)$ cho $t=2$ nhưng $y=-22\ne -4$; $(5;-3)$ cho $t=0$ nhưng $y=-4\ne -3$; $(-4;5)$ cho $t=-9$ nhưng $y=-4+81=77\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 3x - y - 2 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (3; -1). Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Xét các phương án: A: -3x + y = 0 có pháp tuyến (-3; 1) = -(3; -1), cùng phương với n nên song song với Δ. B: -3x + y - 4 = 0 có pháp tuyến (-3; 1), cùng phương với n nên song song với Δ. C: 3x - y - 4 = 0 có pháp tuyến (3; -1), cùng phương với n nên song song với Δ. D: 3x + y - 4 = 0 có pháp tuyến (3; 1), không cùng phương với n = (3; -1) vì 3·(-1) - 1·3 = -6 ≠ 0, nên không song song với Δ. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:4x+6y-5=0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_0=(4;6)$. Chia đôi ta được $\vec{n}=(2;3)$, cũng là một vectơ pháp tuyến của $d$ vì $(2;3)=\frac{1}{2}(4;6)$ cùng phương với $(4;6)$. Kiểm tra các đáp án: $(3;2)$ có $4\cdot 3+6\cdot 2=24\ne 0$ tỉ lệ; $(2;-3)$ có $4\cdot 2+6\cdot (-3)=-10\ne 0$; $(-3;-2)$ không cùng phương với $(4;6)$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(3;2)$ đến đường thẳng $\Delta :3x+4y-2=0$ là $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 3+4\cdot 2-2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|9+8-2|}{5}=\frac{15}{5}=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(1;1) và B(2;2) có VTCP $\overrightarrow{AB}=(1;1)$, đi qua A(1;1), nên phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+t\end{array}$. Kiểm tra: với t=1 ta được B(2;2). Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 0112, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $A(-1;3)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y+5=0$ là $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot (-1)-4\cdot 3+5|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-3-12+5|}{5}=\frac{10}{5}=2$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(1;1) và B(2;2) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(1;1)$, đi qua A(1;1), nên phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+t\end{array}$. Kiểm tra: với t=1 ta được B(2;2). Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0111, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(-1;3)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y+5=0$ là $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot (-1)-4\cdot 3+5|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-3-12+5|}{5}=\frac{10}{5}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 0111: D).