Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 3x−4y−6=0. a) VTPT là (3;−4), không phải (−4;3) → Sai. b) Điểm (2;0) thuộc Δ, VTCP (4;3): x=2+4t, y=3t, thay vào Δ: 3(2+4t)−4(3t)−6=0 ✓ → Đúng. c) y=(3/4)x−3/2, hệ số góc k=3/4 → Đúng. d) A(a;0): d=|3a−6|/5=3 ⇒ |3a−6|=15 ⇒ a=7 hoặc a=−3, có đúng hai điểm → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ 3x−4y−6=0, VTPT là n=(3;−4), không phải (−4;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
Điểm (2;0) thuộc Δ và VTCP u=(4;3) (vuông góc với n=(3;−4)). Phương trình tham số x=2+4t, y=3t thỏa mãn 3x−4y−6=0 với mọi t.
c) (AI giải đề cho tôi)
−4y=−3x+6 ⇒ y=(3/4)x−3/2, vậy k=3/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
A(a;0): d(A,Δ)=|3a−6|/5=3 ⇒ |3a−6|=15 ⇒ a=7 hoặc a=−3. Có đúng hai điểm A(7;0) và A(−3;0).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A(a;0)$, $B(0;b_0)$ là giao điểm của $d$ với hai trục. Vì $M(5;-3)$ là trung điểm $AB$ nên $\frac{a+0}{2}=5\Rightarrow a=10$ và $\frac{0+b_0}{2}=-3\Rightarrow b_0=-6$. Đường thẳng qua $(10;0)$ và $(0;-6)$ có dạng $\frac{x}{10}+\frac{y}{-6}=1$, suy ra $3x-5y-30=0$. Vậy $b=-5$, $c=-30$, do đó $P=2b+c=2(-5)+(-30)=-40$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình ở trang 3 xác nhận bố trí: $A$ trên-trái, $D$ trên-phải, $E$ thuộc $AD$, $F$ thuộc $CD$, $B$ dưới-trái, $C$ dưới-phải. Chọn hệ trục: $B(0;0)$, $A(0;24)$, $C(29;0)$, $D(29;24)$. Khi đó $E(9;24)$ (vì $AE=9$) và $F(29;12)$ (vì $FC=12$). Vùng nuôi Vịt là tam giác $DEF$, ranh giới gần $B$ nhất là đoạn $EF$. Đường thẳng $EF$ qua $E(9;24)$ với vecto chỉ phương $(20;-12)$ có phương trình $3x+5y-147=0$. Khoảng cách từ $B(0;0)$ đến $EF$: $d=\frac{147}{\sqrt{34}}=\frac{147\sqrt{34}}{34}\approx 25,21$ m. Chân đường vuông góc từ $B$ xuống $EF$ có tham số $t=\frac{(B-E)\cdot (20;-12)}{20^2+12^2}=\frac{108}{544}\in (0;1)$, nên thuộc đoạn $EF$. Vậy Tuấn quăng lưỡi câu xa tối đa $\frac{147}{\sqrt{34}}\approx 25,2$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô chuyển động trên đường thẳng qua $A(50;10)$ và $B(20;25)$. Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-30;15)$, suy ra vectơ pháp tuyến $(1;2)$, phương trình đường thẳng: $x+2y-70=0$. Vị trí ô tô gần trung tâm $O$ nhất là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng này. Áp dụng công thức hình chiếu: $H=O-\frac{0+2\cdot 0-70}{1^2+2^2}\cdot (1;2)=\frac{70}{5}(1;2)=(14;28)$. Vậy $(a;b)=(14;28)$ và $-3a+b=-3\cdot 14+28=-42+28=-14$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-3y+5=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2,b=-3$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(1;2)$ và $B(3;1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(2;-1)$, nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2)$. Phương trình: $1(x-1)+2(y-2)=0\iff x+2y-5=0$. Kiểm tra: $A$: $1+4-5=0$ đúng; $B$: $3+2-5=0$ đúng. Vậy đáp án D.

Cách 1:

Vì $K\in \Delta :y=2-x$ nên $K(x;2-x)$.

Ta có $\overrightarrow{AK}=\left(x-\sqrt{6};-x\right)$ và $\overrightarrow{BK}=\left(x-\sqrt{2};-x-4\right)$

$AK=\sqrt{{\left(x-\sqrt{6}\right)}^2+x^2}=\sqrt{2x^2-2\sqrt{6}x+6}$

$BK=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-x\right)}^2+(-x-4{)}^2}=\sqrt{2x^2+\left(8-2\sqrt{2}\right)x+18}$

Xét hàm số $f(x)=AK+BK=\sqrt{2x^2-2\sqrt{6}x+6}+\sqrt{2x^2+\left(8-2\sqrt{2}\right)x+18}$ với $x\le \sqrt{6}$.

Dùng lệnh Table dò tìm ta được $f_{\min }\approx 6,602720496$ tại $x\approx 0,4405\Rightarrow y\approx 1,5595$.

Vậy điểm $K\left(0,4405;1,5595\right)$.

Cách 2:

Dễ thấy hai điểm $A,B$ nằm cùng phía với $\Delta$.
Gọi $B^{\prime }$ là điểm đối xứng với $B$ qua $\Delta$.
Khi đó $AK+BK=AK+B^{\prime }K$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $A,K,B^{\prime }$ thẳng hàng và ${\left(AK+BK\right)}_{\min }=A{B}^{\prime }$.

+ Tìm tọa độ điểm $B^{\prime }(a;b)$.

Tọa độ $(a;b)$ của $B^{\prime }$ thỏa mãn hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\left(a-\sqrt{2}\right).1-(b-6).1=0\\ \frac{a+\sqrt{2}}{2}+\frac{b+6}{2}-2=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}a-b=\sqrt{2}-6\\ a+b=-2-\sqrt{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-4\\ b=2-\sqrt{2}\end{array}\to B^{\prime }\left(-4;2-\sqrt{2}\right)$.

+ Phương trình đường thẳng $A{B}^{\prime }$: $\sqrt{2}\left(x-\sqrt{6}\right)-\left(4+\sqrt{6}\right)(y-2)=0$

$\iff \sqrt{2}x-\left(4+\sqrt{6}\right)y-2\sqrt{3}+2\sqrt{6}+8=0$.

+ Tọa độ điểm $K$.
Ta có $K=A{B}^{\prime }\cap \Delta$ nên tọa độ điểm $K$ là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ \sqrt{2}x-\left(4+\sqrt{6}\right)y=2\sqrt{3}-2\sqrt{6}-8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0,\mathrm{440517...}\\ y=1,\mathrm{559482...}\end{array}$

Vậy điểm $K\left(0,4405;1,5595\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-3y+4=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2$, $b=-3$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(2;-3)$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(-2;1)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;-2)$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=1-2t\end{array},t\in \mathbb{R}$. Kiểm tra: tại $t=0$ ta được điểm $(-2;1)$, hệ số của $t$ đúng bằng tọa độ của $\vec{u}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(1-(-2);2-0)=(3;2)$, nên vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3)$. Phương trình đường thẳng qua $A(-2;0)$: $2(x+2)-3(y-0)=0\iff 2x-3y+4=0$. Kiểm tra với $B(1;2)$: $2(1)-3(2)+4=0$ đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-y-3=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$. Đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-2;-1)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|1\cdot (-2)+2\cdot (-1)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{4}{5}=0,8$. Suy ra $\alpha =\arccos (0,8)\approx 36,87^{\circ }$, gần nhất với $36^{\circ }$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng d: x-3y+5=0 có VTCP (3;-1) hoặc (-3;1), nên ý a đúng. b) d(M,d)=|2-3(-1)+5|/√(1²+3²)=10/√10=√10, đúng. c) Đường thẳng qua M(2;-1) song song d có dạng x-3y+c=0; thay M: 2+3+c=0 ⇒ c=-5, nên phương trình là x-3y-5=0, không phải x-3y-3=0 ⇒ sai. d) Giải hệ x-3y+5=0 và x-2y-2=0: trừ hai phương trình được -y+7=0 ⇒ y=7, x=2·7+2=16. Vậy A(16;7), a+b=23≠-23 ⇒ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
d: x-3y+5=0 có VTCP u=(3;-1) hoặc u=(-3;1), nên u=(-3;1) là một VTCP của d.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(M,d)=|2-3(-1)+5|/√(1+9)=10/√10=√10.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua M(2;-1) song song d: x-3y+c=0, thay M: 2+3+c=0 ⇒ c=-5, phương trình là x-3y-5=0 chứ không phải x-3y-3=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ x-3y+5=0, x-2y-2=0: trừ vế theo vế được -y+7=0 ⇒ y=7, x=16. Vậy A(16;7), a+b=23≠-23.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H(x_0;y_0)$ là hình chiếu vuông góc của $M(-2;1)$ lên $d:x-2y+3=0$. Vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(1;-2)$, nên đường thẳng qua $M$ vuông góc với $d$ có phương trình tham số: $x=-2+t,y=1-2t$. Thay vào phương trình $d$: $(-2+t)-2(1-2t)+3=0\iff 5t-1=0\iff t=\frac{1}{5}$. Suy ra $H\left(-2+\frac{1}{5};1-\frac{2}{5}\right)=\left(-\frac{9}{5};\frac{3}{5}\right)$. Kiểm tra: $-\frac{9}{5}-2\cdot \frac{3}{5}+3=-\frac{15}{5}+3=0$, thỏa mãn. Vậy hình chiếu vuông góc cần tìm là $H\left(-\frac{9}{5};\frac{3}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(3;-4)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y-1=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 3-4\cdot (-4)-1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|9+16-1|}{5}=\frac{24}{5}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=(2;1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-1;2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=2\cdot (-1)+1\cdot 2=-2+2=0$. Vậy hai vectơ chỉ phương vuông góc, tức góc giữa hai đường thẳng là $90^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng qua M(3;-5) song song với Δ:x+y-4=0 có dạng x+y+c=0; thay M: 3-5+c=0 ⇒ c=2, nên phương trình là x+y+2=0, không phải x+y-2=0 ⇒ sai. b) d:2x-y+5=0 có pháp tuyến (2;-1), không phải (2;1) ⇒ sai. c) n_Δ=(1;1), n_d=(2;-1), tích vô hướng 1·2+1·(-1)=1≠0 nên góc giữa hai đường không phải 90° ⇒ sai. d) Vì n_Δ·n_d=1≠0 nên hai đường không song song, do đó cắt nhau ⇒ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua M(3;-5) song song với Δ:x+y-4=0 có dạng x+y+c=0. Thay M: 3-5+c=0 ⇒ c=2, nên phương trình là x+y+2=0 ≠ x+y-2=0 ⇒ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
d: 2x-y+5=0 có véc-tơ pháp tuyến n=(2;-1), không phải (2;1) ⇒ sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
n_Δ=(1;1), n_d=(2;-1). Tích vô hướng: 1·2+1·(-1)=1≠0 nên hai đường không vuông góc, góc giữa chúng khác 90° ⇒ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì n_Δ·n_d=1·2+1·(-1)=1≠0 nên Δ và d không song song, hai đường thẳng cắt nhau ⇒ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x+3y+15=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;3)$ và $d_2:x-2y-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-2)$. Vì $\frac{2}{1}\ne \frac{3}{-2}$ nên hai đường thẳng không song song và không trùng nhau, tức là chúng cắt nhau. Kiểm tra vuông góc: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\cdot 1+3\cdot (-2)=2-6=-4\ne 0$, nên hai đường thẳng không vuông góc với nhau. Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau và không vuông góc với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vecto chỉ phương của AB là $\overrightarrow{AB}=(-5;-1)$, suy ra vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-5)$. Đường thẳng AB đi qua $A(3;2)$ nên có phương trình: $1(x-3)-5(y-2)=0\iff x-5y+7=0$. Kiểm tra: $B(-2;1)$: $-2-5+7=0$ thỏa mãn.
b) Khoảng cách từ $C(5;2)$ đến đường thẳng $AB$: $d(C,AB)=\frac{|5-5\cdot 2+7|}{\sqrt{1^2+(-5{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:5x+3y-4=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=5,b=3$, nên vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(5;3)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $BM:x+7y-10=0$ và $CN:x-2y+2=0$. Giải hệ: $x+7y=10$, $x-2y=-2$, trừ hai phương trình được $9y=12\Rightarrow y=\frac{4}{3}$, $x=10-7\cdot \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$. Vậy $G\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$. Trung tuyến từ $A$ đi qua $A(1;3)$ và $G$ có hệ số góc $\frac{\frac{4}{3}-3}{\frac{2}{3}-1}=5$, phương trình $y=5x-2$. Trung điểm của $BC$ thuộc đường thẳng này. Thử đáp án A: $BC:x-5y+2=0$. Giao với $BM$: $x=10-7y$, thay vào: $10-7y-5y+2=0\Rightarrow y=1$, $x=3$, tức $B(3;1)$. Giao với $CN$: $x=2y-2$, thay vào: $2y-2-5y+2=0\Rightarrow y=0$, $x=-2$, tức $C(-2;0)$. Trung điểm $BC$ là $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$, thỏa $y=5x-2$ vì $5\cdot \frac{1}{2}-2=\frac{1}{2}$. Trọng tâm $\frac{A+B+C}{3}=\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)=G$ khớp. Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ là $x-5y+2=0$, trùng với đáp án A theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1103, Câu 14).