Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:4x+3y-2=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_d=(4;3)$, suy ra vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(3;-4)$. Đường thẳng $k$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_k=(3;-4)$. Vì ${\vec{u}}_k$ cùng phương với ${\vec{u}}_d$ nên $d$ và $k$ song song hoặc trùng nhau. Thay điểm $P(-1;2)$ (thuộc $k$ khi $t=0$) vào $d$: $4(-1)+3(2)-2=-4+6-2=0$, nên $P\in d$. Vậy $d$ và $k$ trùng nhau. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):ax+by+c=0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)$, chính là các hệ số của $x$ và $y$ trong phương trình tổng quát. Kiểm tra: $\vec{n}\ne \vec{0}$ vì $a^2+b^2\ne 0$. Các vectơ chỉ phương của $(d)$ có dạng $(b;-a)$ hoặc $(-b;a)$, đều vuông góc với $\vec{n}=(a;b)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(2;-1)$ và $B(2;5)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(0;6)$, phương trình: $x=2$, $y=-1+6t$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y-1=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;-2)$. Hai đường thẳng song song khi vectơ pháp tuyến tỉ lệ và hai đường không trùng nhau. Xét các đáp án: A có $\vec{n}=(1;2)$ không tỉ lệ với ${\vec{n}}_1$; B có $\vec{n}=(2;-1)$ không tỉ lệ; C có $\vec{n}=(-1;2)=-{\vec{n}}_1$ nhưng phương trình $-x+2y+1=0$ chính là $d$ nhân với $-1$, nên trùng với $d$ chứ không song song; D có $\vec{n}=(-2;4)=-2{\vec{n}}_1$ tỉ lệ với ${\vec{n}}_1$, và nhân $d$ với $-2$ được $-2x+4y+2=0$ khác $-2x+4y-1=0$, nên hai đường không trùng nhau. Vậy đường thẳng ở đáp án D song song với $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $\Delta :x-\sqrt{3}y+2=0$ và ${\Delta }^{\prime }:x+\sqrt{3}y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-\sqrt{3})$ và ${\vec{n}}^{\prime }=(1;\sqrt{3})$.

Cosin góc giữa hai đường thẳng:
$$\cos \phi =\frac{|\vec{n}\cdot {\vec{n}}^{\prime }|}{|\vec{n}||{\vec{n}}^{\prime }|}=\frac{|1\cdot 1+(-\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}\cdot \sqrt{1+3}}=\frac{|1-3|}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

Suy ra góc giữa hai đường thẳng là $\phi =60^{\circ }$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $M(5;-1)$ đến đường thẳng $3x+2y+13=0$ là $d(M,(d))=\frac{|3\cdot 5+2\cdot (-1)+13|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{|15-2+13|}{\sqrt{13}}=\frac{26}{\sqrt{13}}=\frac{26\sqrt{13}}{13}=2\sqrt{13}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng phải vuông góc với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta }}(12;-13)$, tức tích vô hướng bằng 0. Kiểm tra: $\overrightarrow{n}(13;12)\cdot \overrightarrow{u_{\Delta }}=13\cdot 12+12\cdot (-13)=156-156=0$. Các đáp án khác: A cho $-156-156=-312\ne 0$; B cho $144-169=-25\ne 0$; D cho $-144+169=25\ne 0$. Vậy đáp án C.

a) Tọa độ của $B$ là nghiệm của hệ:
$$\{\begin{array}{l}y=0\\ 4x-3y-12=0\end{array}\Rightarrow 4x-12=0\Rightarrow x=3.\text{ Suy ra }B(3;0).$$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, suy ra $AC\perp AB$. Vì $AB\equiv Ox$ nên $AC\parallel Oy$. Điều này dẫn đến đỉnh $C$ có cùng hoành độ với đỉnh $A$. Gọi $A(a;0)$ thì $C(a;y_C)$. Vì $C$ thuộc đường thẳng $BC:4x-3y-12=0$, ta có:

$$4a-3y_C-12=0\Rightarrow y_C=\frac{4a-12}{3}=\frac{4}{3}(a-3).$$

Vậy $A(a;0)$ và $C\left(a;\frac{4}{3}(a-3)\right)$.

$AB=|x_B-x_A|=|3-a|=|a-3|.$

$AC=|y_C-y_A|=\left|\frac{4}{3}(a-3)-0\right|=\frac{4}{3}|a-3|.$

$S_{\Delta ABG}=8\Rightarrow S_{\Delta ABC}=3S_{\Delta ABG}=24$

$\iff \frac{1}{2}AB.AC=24\iff \frac{1}{2}|a-3|\cdot \frac{4}{3}|a-3|=24\iff |a-3|=6\iff \{\begin{array}{l}a=9\\ a=-3\end{array}$

Với $a=9\Rightarrow A(9;0)$, $B(3;0),C(9;8)$

Với $a=-3\Rightarrow A(-3;0)$, $B(3;0),C(-3;-8)$

b) Xét tam giác ABM có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác ABM cân tại $A$. Suy ra $AB=AM$, $AM=\frac{AC}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow c=\frac{b}{2}\Rightarrow b=2c$.

Sử dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác ABC:

$B{M}^2=\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}$. Thay $b=2c$ vào ta được:

$B{M}^2=\frac{2a^2+2c^2-4c^2}{4}=\frac{2a^2-2c^2}{4}=\frac{a^2-c^2}{2}$

Trong tam giác vuông AHM: $A{H}^2=A{M}^2-H{M}^2$

Vì $\Delta ABM$ cân tại $A$ nên $H$ là trung điểm BM, do đó $HM=\frac{BM}{2}\Rightarrow H{M}^2=\frac{B{M}^2}{4}$.

$A{H}^2={\left(\frac{b}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\left(\frac{a^2-c^2}{2}\right)=\frac{b^2}{4}-\frac{a^2-c^2}{8}$

Thay $b=2c\Rightarrow b^2=4c^2$:

$A{H}^2=\frac{4c^2}{4}-\frac{a^2-c^2}{8}=\frac{8c^2-a^2+c^2}{8}=\frac{9c^2-a^2}{8}$



Gọi $N$ là trung điểm $DC$

Ta có $AD=2MN$, $MN=2HD\Rightarrow AD=4HD\Rightarrow AD=\frac{4}{3}AH\Rightarrow A{D}^2=\frac{16}{9}A{H}^2$.

Theo giả thiết ta có

$2BM=\sqrt{3}AD\iff 4B{M}^2=3A{D}^2\iff 4\frac{a^2-c^2}{2}=3\cdot \frac{16}{9}\cdot \frac{9c^2-a^2}{8}\iff a^2=3c^2$

Theo định lý cosin:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4c^2+c^2-3c^2}{2.2c.c}=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \tan A=\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :2x-5y+10=0$ có VTPT $\vec{n}=(2;-5)$. a) $(2;5)$ không phải VTPT vì $2\cdot 2+(-5)\cdot 5=-21\ne 0$ → sai. b) Điểm $(-5;0)$ thuộc $\Delta$ vì $2(-5)-5(0)+10=0$, VTCP $\vec{u}=(5;2)$ vuông góc với $\vec{n}=(2;-5)$ vì $2\cdot 5+(-5)\cdot 2=0$ → đúng. c) A(-5;0) thuộc $\Delta$ và $\vec{n}=(2;-5)$ là VTPT → đúng. d) M(-5;0): $-10+0+10=0$ ✓; điểm (-10;-2): $-20+10+10=0$ ✓ → đúng.
a) VTPT của $\Delta :2x-5y+10=0$ là $\vec{n}=(2;-5)$, không phải $(2;5)$ vì $2\cdot 2-5\cdot 5=-21\ne 0$.
b) Điểm $(-5;0)$ thỏa mãn phương trình $\Delta$ và VTCP $\vec{u}=(5;2)$ có $\vec{u}\cdot \vec{n}=10-10=0$, nên phương trình tham số này đúng.
c) Thay A(-5;0): $2(-5)-5(0)+10=0$ nên A thuộc $\Delta$, và $\vec{n}=(2;-5)$ là VTPT của $\Delta$.
d) M(-5;0): $-10+10=0$ ✓; điểm (-10;-2): $-20+10+10=0$ ✓, cả hai điểm đều thuộc $\Delta$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(-2;1)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(3;2)$ có phương trình: $3(x+2)+2(y-1)=0\iff 3x+2y+4=0$. Kiểm tra: $A(-2;1)$: $3(-2)+2(1)+4=0$ đúng; pháp tuyến $(3;2)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;3)$ đến đường thẳng $\Delta :x+3y-5=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|1+3\cdot 3-5|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|5|}{\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\approx 1,58$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1;-2)$ và $\overrightarrow{n_2}=(-3;6)$. Vì $\overrightarrow{n_2}=-3\overrightarrow{n_1}$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Nhân phương trình của ${\Delta }_1$ với $-3$ ta được $-3x+6y-3=0$, khác $-3x+6y-10=0$ (hệ số tự do $-3\ne -10$), nên hai đường thẳng không trùng nhau. Vậy ${\Delta }_1$ song song với ${\Delta }_2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_1=(2;-1)$, $n_2=(1;-3)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|2\cdot 1+(-1)(-3)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\theta =45^0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :2x-5y+10=0$ có véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-5)$ và véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(5;2)$.
a) Sai: pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n}=(2;-5)$, không phải $(2;5)$ (vì hệ số của $y$ là $-5$).
b) Đúng: điểm $(-5;0)$ thỏa $2(-5)-5(0)+10=0$ và véc-tơ chỉ phương $(5;2)$ vuông góc với $\vec{n}=(2;-5)$ vì $5\cdot 2+2\cdot (-5)=0$.
c) Đúng: $2(-5)-5(0)+10=0$ nên $A(-5;0)\in \Delta$, và $\vec{n}=(2;-5)$ đúng là pháp tuyến.
d) Đúng: $M(-5;0)$: $-10+0+10=0$ ✓; $M(-10;-2)$: $-20+10+10=0$ ✓, cả hai điểm thuộc $\Delta$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $\Delta :2x-5y+10=0$ là $\vec{n}=(2;-5)$, không phải $(2;5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điểm $(-5;0)$ thuộc $\Delta$ và véc-tơ chỉ phương $(5;2)$ vuông góc với $\vec{n}=(2;-5)$ vì $5\cdot 2+2\cdot (-5)=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2(-5)-5(0)+10=0$ nên $A(-5;0)$ thuộc $\Delta$, và $\vec{n}=(2;-5)$ là pháp tuyến đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(-5;0)$: $-10+10=0$ ✓; $M(-10;-2)$: $-20+10+10=0$ ✓, cả hai điểm thuộc $\Delta$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ song song với $d:2x+6y+3=0$ nên có dạng $2x+6y+c=0$. Vì $\Delta$ đi qua $M(0;-2)$ nên $2\cdot 0+6\cdot (-2)+c=0\Rightarrow c=12$. Vậy $\Delta :2x+6y+12=0$, chia cho 2 được $x+3y+6=0$. So sánh với $ax+by+6=0$ ta có $a=1$, $b=3$. Do đó $E=2a+b=2\cdot 1+3=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ song song với $d:2x+6y+3=0$ nên có dạng $2x+6y+c=0$ ($c\ne 3$). Vì $\Delta$ đi qua $M(1;2)$ nên thay tọa độ $M$: $2\cdot 1+6\cdot 2+c=0⟺2+12+c=0⟺c=-14$. Vậy $\Delta :2x+6y-14=0$, chia hai vế cho 2 ta được phương trình đơn giản: $x+3y-7=0$. Kiểm tra: $M(1;2)$: $1+6-7=0$ ✓; vectơ pháp tuyến $(1;3)$ cùng phương với $(2;6)$ nên $\Delta \parallel d$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1,b=-2$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(1;-2)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x+4y-5=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{\Delta }=(3;4)$. Xét từng phương án:
- A: $d:3x+4y=0$ có pháp tuyến $(3;4)$ cùng phương với ${\vec{n}}_{\Delta }$, và hai đường thẳng không trùng nhau (vì $-5\ne 0$), nên $d\parallel \Delta$. Đúng.
- B: $d$ có vectơ chỉ phương $(3;-4)$, không cùng phương với vectơ chỉ phương $(-4;3)$ của $\Delta$, nên không song song.
- C: $d$ có vectơ chỉ phương $(3;4)$, không cùng phương với $(-4;3)$ của $\Delta$, nên không song song.
- D: $4x+3y-1=0$ có pháp tuyến $(4;3)$, không cùng phương với $(3;4)$, nên không song song.
Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $\Delta :3x+4y+5=0$ là $h=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 0+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{5}{5}=1$. Vậy chọn B.