Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=5+t\Rightarrow t=x-5$. Thay vào $y=-9-2t=-9-2(x-5)=-9-2x+10=1-2x$. Suy ra $2x+y-1=0$. Kiểm tra điểm $M(5;-9)$: $2\cdot 5+(-9)-1=0$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có VTCP ${\vec{u}}_{\Delta }=(-3;5)$. Vì $d\perp \Delta$ nên VTCP của $d$ là ${\vec{u}}_d=(5;3)$ (vì $(-3)(5)+5(3)=0$). Đường thẳng $d$ đi qua $M(-2;1)$ nên có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=-2+5t\\ y=1+3t\end{array}$. Đây chính là đáp án B. Kiểm tra: phương án A có VTCP $(-3;5)$ song song với $\Delta$ (sai); C, D không đi qua $M(-2;1)$ (tại $t=0$ cho điểm $(1;2)$, sai).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B\left(b;\frac{10-b}{7}\right)\in BM$ và $C\left(c;\frac{c+2}{2}\right)\in CN$.

Trung điểm $N$ của $AB$ là $N\left(\frac{1+b}{2};\frac{3+\frac{10-b}{7}}{2}\right)$. Vì $N\in CN$: $x-2y+2=0$, thay vào: $\frac{1+b}{2}-\left(3+\frac{10-b}{7}\right)+2=0$. Nhân với 14: $7+7b-42-20+2b+28=0\Rightarrow 9b-27=0\Rightarrow b=3$. Suy ra $B(3;1)$.

Trung điểm $M$ của $AC$ là $M\left(\frac{1+c}{2};\frac{3+\frac{c+2}{2}}{2}\right)$. Vì $M\in BM$: $x+7y-10=0$, thay vào: $\frac{1+c}{2}+\frac{56+7c}{4}-10=0$. Nhân với 4: $2+2c+56+7c-40=0\Rightarrow 9c+18=0\Rightarrow c=-2$. Suy ra $C(-2;0)$.

Đường thẳng $BC$ đi qua $B(3;1)$ và $C(-2;0)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}=(-5;-1)$, phương trình: $\frac{x-3}{-5}=\frac{y-1}{-1}$, tức $x-5y+2=0$.

Kiểm tra: $B(3;1)$: $3-5+2=0$ ✓; $C(-2;0)$: $-2+2=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng d.

a) d đi qua M(1;-4) và có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;3)$ nên phương trình tham số của d là:
$$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-4+3t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

b) d đi qua gốc tọa độ O(0;0) và có vecto chỉ phương $\vec{a}=(1;-2)$ nên phương trình tham số của d là:
$$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

c) Đường thẳng 2x - 5y + 4 = 0 có vecto pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(2;-5)$, do đó vecto chỉ phương của nó là ${\vec{u}}_1=(5;2)$. Vì d vuông góc với đường thẳng này nên d nhận $\vec{u}={\vec{n}}_1=(2;-5)$ làm vecto chỉ phương. d đi qua I(0;3) nên phương trình tham số của d là:
$$\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=3-5t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

d) d đi qua A(1;5) và B(-2;9) nên có vecto chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(-3;4)$. Phương trình tham số của d (qua A):
$$\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=5+4t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

e) d đi qua M(5;-2) và có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(4;-3)$, nên vecto chỉ phương của d là $\vec{u}=(3;4)$ (vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=3\cdot 4+4\cdot (-3)=0$). Phương trình tham số của d:
$$\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-2+4t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

Kiểm tra: mỗi đường thẳng đều đi qua điểm cho trước khi t = 0 và có vecto chỉ phương khác $\vec{0}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d.

a) d đi qua M(3;4) với vtpt $\vec{n}=(-2;1)$:
$$-2(x-3)+1(y-4)=0\iff -2x+y+2=0\iff 2x-y-2=0.$$

b) d đi qua N(2;-3) với vtcp $\vec{a}=(4;6)$. VTPT: $\vec{n}=(6;-4)$, rút gọn $(3;-2)$:
$$3(x-2)-2(y+3)=0\iff 3x-2y-12=0.$$

d) d đi qua A(2;1), B(-4;5). Vtcp $\overrightarrow{AB}=(-6;4)$, nên $\vec{n}=(4;6)$, rút gọn $(2;3)$:
$$2(x-2)+3(y-1)=0\iff 2x+3y-7=0.$$

e) d đi qua M(3;4) với vtpt $\vec{n}=(1;2)$:
$$1(x-3)+2(y-4)=0\iff x+2y-11=0.$$

f) d đi qua B(3;-2) với vtcp $\vec{a}=(4;3)$. VTPT: $\vec{n}=(3;-4)$:
$$3(x-3)-4(y+2)=0\iff 3x-4y-17=0.$$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3.

a) d đi qua M(2;1), vtcp $\vec{a}=(3;4)$.
- Phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=1+4t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$).
- Phương trình tổng quát: từ $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{4}$ suy ra $4(x-2)=3(y-1)\iff 4x-3y-5=0$.

b) d đi qua N(-2;3), vtpt $\vec{n}=(5;1)$, nên vtcp $\vec{a}=(1;-5)$.
- Phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=3-5t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$).
- Phương trình tổng quát: $5(x+2)+1(y-3)=0\iff 5x+y+7=0$.

c) d đi qua A(3;5), B(6;2), vtcp $\overrightarrow{AB}=(3;-3)$, có thể lấy $\vec{a}=(1;-1)$.
- Phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=5-t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$).
- Phương trình tổng quát: $1(x-3)+1(y-5)=0\iff x+y-8=0$.

Kiểm tra: B(6;2) thỏa $x+y-8=0$; N(-2;3) thỏa $5(-2)+3+7=0$. Kết quả đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4: Cho A(1;4), B(3;−1), C(6;2).

a) Phương trình các cạnh:
- Cạnh AB: $\overrightarrow{AB}=(2;-5)$ nên ${\vec{n}}_{AB}=(5;2)$, qua A(1;4): $5(x-1)+2(y-4)=0\iff 5x+2y-13=0$.
- Cạnh BC: $\overrightarrow{BC}=(3;3)$, chọn ${\vec{n}}_{BC}=(1;-1)$, qua B(3;−1): $(x-3)-(y+1)=0\iff x-y-4=0$.
- Cạnh CA: $\overrightarrow{CA}=(-5;2)$, chọn ${\vec{n}}_{CA}=(2;5)$, qua C(6;2): $2(x-6)+5(y-2)=0\iff 2x+5y-22=0$.

b) Đường cao AH vuông góc với BC nên ${\vec{n}}_{AH}=\overrightarrow{BC}=(3;3)$, chọn $(1;1)$, qua A(1;4): $(x-1)+(y-4)=0\iff x+y-5=0$.

Đường trung tuyến AM: M là trung điểm BC: $M\left(\frac{9}{2};\frac{1}{2}\right)$. $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{7}{2};-\frac{7}{2}\right)$ có vtcp $(1;-1)$, nên ${\vec{n}}_{AM}=(1;1)$, qua A(1;4): $x+y-5=0$.

Nhận xét: $A{B}^2=2^2+5^2=29=A{C}^2$ nên tam giác cân tại A, do đó trung tuyến AM trùng đường cao AH; cả hai đều có phương trình $x+y-5=0$. Kiểm tra: B(3;−1): $5\cdot 3+2\cdot (-1)=13$ ✓; C(6;2): $6-2=4$ ✓; A(1;4): $2+20=22$ ✓; M(9/2;1/2): $9/2+1/2=5$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5: Cho AB: 4x+y-12=0, đường cao BH: 5x-4y-15=0, đường cao AH: 2x+2y-9=0.

Bước 1: Tìm A và B.
- B nằm trên AB và BH: giải $\{\begin{array}{l}4x+y-12=0\\ 5x-4y-15=0\end{array}$, từ pt đầu $y=12-4x$, thay vào: $5x-4(12-4x)-15=0\Rightarrow 21x=63\Rightarrow x=3$, $y=0$. Vậy $B(3;0)$.
- A nằm trên AB và AH: $4x+(12-4x)$... thay $y=12-4x$ vào $2x+2y-9=0$: $2x+24-8x-9=0\Rightarrow -6x=-15\Rightarrow x=\frac{5}{2}$, $y=2$. Vậy $A\left(\frac{5}{2};2\right)$.

Bước 2: Cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH nên có vtpt là vtcp của BH: ${\vec{n}}_{AC}=(4;5)$. AC: $4x+5y+c=0$; thay A: $10+10+c=0\Rightarrow c=-20$. Vậy $AC:4x+5y-20=0$.

Bước 3: Cạnh BC đi qua B và vuông góc với AH nên có vtpt là vtcp của AH: ${\vec{n}}_{BC}=(1;-1)$. BC: $x-y+c=0$; thay B: $3+c=0\Rightarrow c=-3$. Vậy $BC:x-y-3=0$.

Bước 4: $C=AC\cap BC$: từ $x=y+3$ thay vào AC: $4(y+3)+5y-20=0\Rightarrow 9y=8\Rightarrow y=\frac{8}{9}$, $x=\frac{35}{9}$. Vậy $C\left(\frac{35}{9};\frac{8}{9}\right)$.

Bước 5: Đường cao còn lại kẻ từ C, vuông góc với AB nên có vtpt là vtcp của AB: $\vec{n}=(1;-4)$. Đường cao: $x-4y+c=0$; thay C: $\frac{35}{9}-\frac{32}{9}+c=0\Rightarrow c=-\frac{1}{3}$. Vậy đường cao từ C: $x-4y-\frac{1}{3}=0$, tức $3x-12y-1=0$.

Kết quả: $AC:4x+5y-20=0$; $BC:x-y-3=0$; đường cao từ C: $3x-12y-1=0$.

Kiểm tra: AC qua A: $4\cdot \frac{5}{2}+5\cdot 2-20=0$ ✓; AC $\perp$ BH: $(4;5)\cdot (5;-4)=0$ ✓. BC qua B: $3-0-3=0$ ✓; BC $\perp$ AH: $(1;-1)\cdot (2;2)=0$ ✓. Đường cao qua C: $3\cdot \frac{35}{9}-12\cdot \frac{8}{9}-1=\frac{35}{3}-\frac{32}{3}-1=0$ ✓; vuông góc AB: $(1;-4)\cdot (4;1)=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Cho d: $x-2y+4=0$ và $A(4;1)$.

a) Hình chiếu vuông góc H của A xuống d.
Vecto pháp tuyến của d là $\vec{n}=(1;-2)$. Đường thẳng qua A vuông góc với d có phương trình tham số:
$$x=4+t,y=1-2t$$
Thay vào phương trình d:
$$(4+t)-2(1-2t)+4=0\Rightarrow 6+5t=0\Rightarrow t=-\frac{6}{5}$$
Suy ra $H\left(4-\frac{6}{5};1+\frac{12}{5}\right)=H\left(\frac{14}{5};\frac{17}{5}\right)$.
Kiểm tra: $\frac{14}{5}-2\cdot \frac{17}{5}+4=\frac{14-34+20}{5}=0$ ✓

b) Điểm A' đối xứng với A qua d: H là trung điểm của AA', nên
$$x_{A^{\prime }}=2x_H-x_A=\frac{28}{5}-4=\frac{8}{5},y_{A^{\prime }}=2y_H-y_A=\frac{34}{5}-1=\frac{29}{5}$$
Vậy $A^{\prime }\left(\frac{8}{5};\frac{29}{5}\right)$.
Kiểm tra: trung điểm $\left(\frac{4+8/5}{2};\frac{1+29/5}{2}\right)=\left(\frac{14}{5};\frac{17}{5}\right)=H$ ✓

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng.

a) d có vtcp $\vec{u}=(-5;4)$, đi qua điểm $P(-1;2)$. d' có vtcp $\overrightarrow{u^{\prime }}=(5;-4)=-\vec{u}$, đi qua điểm $P^{\prime }(-6;2)$.
Vì $\overrightarrow{u^{\prime }}$ và $\vec{u}$ cùng phương nên d và d' song song hoặc trùng nhau. Xét $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}=(-5;0)$: có $-5\cdot 4-0\cdot (-5)=-20\ne 0$, tức $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ không cùng phương với $\vec{u}$, nên $P^{\prime }\notin d$.
Vậy d và d' song song (không trùng nhau).

b) d có vtcp $\vec{u}=(-4;2)$, đi qua $P(1;2)$. d': $2x+4y-10=0$ có vtpt $\vec{n}=(2;4)$.
Thay tọa độ điểm P của d vào d': $2(1)+4(2)-10=2+8-10=0$, nên $P\in d^{\prime }$.
Thay phương trình tham số của d vào d': $2(1-4t)+4(2+2t)-10=2-8t+8+8t-10=0$ với mọi $t$.
Vậy mọi điểm của d đều thuộc d', tức d và d' trùng nhau (d nằm trọn trong d').

c) d: $x+y-2=0$ có $\overrightarrow{n_d}=(1;1)$; d': $2x+y-3=0$ có $\overrightarrow{n_{d^{\prime }}}=(2;1)$.
Vì $\frac{1}{2}\ne \frac{1}{1}$ nên hai đường thẳng không song song, do đó chúng cắt nhau.
Giải hệ $\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ 2x+y-3=0\end{array}$: trừ hai phương trình ta được $x-1=0\Rightarrow x=1$, suy ra $y=1$.
Vậy d và d' cắt nhau tại điểm $(1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:mx+y+q=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(m;1)$ và ${\Delta }_2:x-y+m=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-1)$. Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$, tức là $m\cdot 1+1\cdot (-1)=m-1=0$, suy ra $m=1$. Vậy với $m=1$ thì ${\Delta }_1\perp {\Delta }_2$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9: Cho d₁: x−2y+5=0 và d₂: 3x−y=0.

a) Giao điểm: Từ d₂ có y=3x. Thay vào d₁: x−2(3x)+5=0 ⟹ −5x+5=0 ⟹ x=1, suy ra y=3. Vậy giao điểm là I(1; 3). Kiểm tra: 1−2·3+5=0 ✓ và 3·1−3=0 ✓.

b) Góc giữa hai đường thẳng: d₁ có vectơ pháp tuyến n₁=(1; −2), d₂ có vectơ pháp tuyến n₂=(3; −1).
$$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|1\cdot 3+(-2)(-1)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Suy ra φ=45°. Vậy góc giữa d₁ và d₂ bằng 45°.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng d₁: x+2y+4=0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;2)$ và d₂: 2x−y+6=0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$.

Góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
$$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|1\cdot 2+2\cdot (-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot \sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2-2|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=0$$

Suy ra $\phi =90^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là $90^{\circ }$ (hai đường thẳng vuông góc với nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng:

a) $d:x+y+1=0$ có vtcp ${\vec{u}}_d=(1;1)$; $k:2x+y-3=0$ có vtcp ${\vec{u}}_k=(2;1)$. Vì $\frac{1}{2}\ne \frac{1}{1}$ nên ${\vec{u}}_d$ không cùng phương ${\vec{u}}_k$, do đó $d$ và $k$ cắt nhau. Giải hệ $\{\begin{array}{l}x+y+1=0\\ 2x+y-3=0\end{array}$, trừ hai phương trình ta được $x-4=0\Rightarrow x=4$, suy ra $y=-5$. Vậy $d$ cắt $k$ tại điểm $(4;-5)$.

b) $d:\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=4-2t\end{array}$ có vtcp ${\vec{u}}_d=(-1;-2)$ và đi qua điểm $P(3;4)$; $k:\{\begin{array}{l}x=1+t^{\prime }\\ y=2t^{\prime }\end{array}$ có vtcp ${\vec{u}}_k=(1;2)$. Ta có ${\vec{u}}_d=-2{\vec{u}}_k$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Kiểm tra điểm $P(3;4)$ của $d$ với $k$: từ $x=1+t^{\prime }=3\Rightarrow t^{\prime }=2$, khi đó $y=2t^{\prime }=4$ — đúng bằng tung độ của $P$, tức $P\in k$. Vậy $d$ trùng với $k$ (chú ý $k$ có phương trình tổng quát $2x-y-2=0$ và $P(3;4)$ thỏa mãn $2\cdot 3-4-2=0$).

c) $d:\{\begin{array}{l}x=6t\\ y=2+2t\end{array}$ có vtcp ${\vec{u}}_d=(6;2)$; $k:x-3y+5=0$ có vtcp ${\vec{u}}_k=(3;1)$. Vì $\frac{6}{3}=\frac{2}{1}=2$ nên ${\vec{u}}_d$ cùng phương ${\vec{u}}_k$, tức $d\parallel k$ hoặc $d\equiv k$. Thay phương trình tham số của $d$ vào phương trình của $k$: $6t-3(2+2t)+5=6t-6-6t+5=-1\ne 0$ với mọi $t$, nên $d$ và $k$ không có điểm chung. Vậy $d$ song song với $k$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Tính góc giữa các cặp đường thẳng.

a) $d:\sqrt{3}x-y+2=0$ có vtpt $\overrightarrow{n_d}=(\sqrt{3};-1)$; $k:x-\sqrt{3}y-2=0$ có vtpt $\overrightarrow{n_k}=(1;-\sqrt{3})$.
$$\cos (d,k)=\frac{|\sqrt{3}\cdot 1+(-1)(-\sqrt{3})|}{\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{1+3}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Vậy góc giữa $d$ và $k$ bằng $30^{\circ }$.

b) $a$ có vtcp $\overrightarrow{u_a}=(1;-2)$; $b$ có vtcp $\overrightarrow{u_b}=(1;3)$.
$$\cos (a,b)=\frac{|1\cdot 1+(-2)\cdot 3|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Vậy góc giữa $a$ và $b$ bằng $45^{\circ }$.

c) $p$ có vtcp $\overrightarrow{u_p}=(-5;4)$; $q:5x-4y+3=0$ có vtpt $\overrightarrow{n_q}=(5;-4)$.
Ta thấy $\overrightarrow{u_p}=-\overrightarrow{n_q}$, tức vtcp của $p$ trùng (thuận chiều) với vtpt của $q$, nên $p\perp q$.
Vậy góc giữa $p$ và $q$ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13: Cho $d:2x-y+1=0$, $A(-1;2)$, $B(4;0)$.

a) Khoảng cách từ $A$ đến $d$:
$$d(A,d)=\frac{|2\cdot (-1)-2+1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.$$

b) Vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(2;-1)$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $d$:
$$\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2-t\end{array}$$
Thay vào phương trình $d$: $2(-1+2t)-(2-t)+1=0\Rightarrow -3+5t=0\Rightarrow t=\frac{3}{5}$.
Suy ra hình chiếu $H\left(-1+\frac{6}{5};2-\frac{3}{5}\right)=H\left(\frac{1}{5};\frac{7}{5}\right)$.
Kiểm tra: $2\cdot \frac{1}{5}-\frac{7}{5}+1=0$ ✓.

c) Gọi $C(0;c)$ trên trục $Oy$. Trọng tâm tam giác $ABC$:
$$G\left(\frac{-1+4+0}{3};\frac{2+0+c}{3}\right)=\left(1;\frac{c+2}{3}\right).$$
$G\in d\Rightarrow 2\cdot 1-\frac{c+2}{3}+1=0\Rightarrow 9-(c+2)=0\Rightarrow c=7$.
Vậy $C(0;7)$.

Diện tích tam giác $ABC$ với $A(-1;2)$, $B(4;0)$, $C(0;7)$:
$$S=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|=\frac{1}{2}\left|(-1)(0-7)+4(7-2)+0\right|=\frac{1}{2}|7+20|=\frac{27}{2}.$$

Kết luận: a) $d(A,d)=\frac{3\sqrt{5}}{5}$; b) $H\left(\frac{1}{5};\frac{7}{5}\right)$; c) $C(0;7)$, $S_{ABC}=\frac{27}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-2-(-1);3-0)=(-1;3)$. Đường thẳng cần tìm vuông góc với $AB$ nên nhận $\vec{n}=(-1;3)$ làm vectơ pháp tuyến, tức dạng $-x+3y+c=0$. Qua $B(-2;3)$: $-(-2)+3(3)+c=0\Rightarrow 11+c=0\Rightarrow c=-11$. Vậy $-x+3y-11=0$, tương đương $x-3y+11=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(2;3)$ đến đường thẳng $d:x+y+3=0$ là $\mathrm{d}(A,d)=\frac{|2+3+3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $d$ là $\overrightarrow{n_d}=(1;-2)$, của $k$ là $\overrightarrow{n_k}=(1;3)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \theta =\frac{|1\cdot 1+(-2)\cdot 3|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\theta =45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3;-3)$, có phương trình chỉ phương tỉ lệ $(1;1)$. Đường thẳng qua $A(1;-1)$: $x=1+t$, $y=-1+t$. Kiểm tra các đáp án: A có VTCP $(3;-3)$ loại; B có VTCP $(1;-1)$ loại; C không đi qua $A$ hay $B$, loại; D: $x=-2+t$, $y=-4+t$ có VTCP $(1;1)$ và đi qua $B(-2;-4)$ (t=0), cũng đi qua $A$ khi $t=-3$: $x=-3$? Kiểm tra: $t=-3$ cho $x=-5$, không đúng... nhưng đường thẳng D có dạng $y=x-2$, thay $A(1;-1)$: $-1=1-2$ đúng. Vậy D là đường thẳng cần tìm.