Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-3y+5=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2,b=-3$, nên một véc tơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(2;-3)$. Mọi véc tơ cùng phương với $(2;-3)$ đều là pháp tuyến của $d$. Trong các đáp án, chỉ có $\vec{n}=(-2;3)=-1\cdot (2;-3)$ cùng phương với $(2;-3)$, nên chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(3;-1)$, $B(0;3)$ có phương trình: $4x+3y-9=0$. Gọi $M(x;0)$ thuộc $Ox$. Khoảng cách từ $M$ đến $AB$: $d=\frac{|4x-9|}{5}=1⟹|4x-9|=5⟹4x-9=5$ hoặc $4x-9=-5⟹x=\frac{7}{2}$ hoặc $x=1$. Vậy $M\left(\frac{7}{2};0\right)$ hoặc $M(1;0)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: a) Sai - từ $x-y+2=0$ ta có vecto pháp tuyến $\vec{n}(1;-1)$, không phải $(1;1)$. b) Đúng - ${\Delta }_2$ có vecto chỉ phương $\vec{u}(3;1)$ nên vecto pháp tuyến $\vec{n}(1;-3)$ vì $\vec{n}\cdot \vec{u}=3-3=0$. c) Sai - thay $A(4;-2)$: $4-(-2)+2=8\ne 0$ nên $A\notin {\Delta }_1$. d) Đúng - với $B(7;0)$: $7=1+3t\Rightarrow t=2$, khi đó $y=-2+2=0$ khớp, nên $B\in {\Delta }_2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tổng quát $x-y+2=0$, hệ số của $x,y$ là $(1;-1)$ nên vecto pháp tuyến là $\vec{n}(1;-1)$, không phải $(1;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_2$ có vecto chỉ phương $\vec{u}(3;1)$. Vecto $\vec{n}(1;-3)$ có $\vec{n}\cdot \vec{u}=1\cdot 3+(-3)\cdot 1=0$, nên $\vec{n}(1;-3)$ là vecto pháp tuyến của ${\Delta }_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ $A(4;-2)$ vào $x-y+2=0$: $4-(-2)+2=8\ne 0$, nên $A$ không thuộc ${\Delta }_1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $7=1+3t\Rightarrow t=2$; khi đó $y=-2+2=0$ trùng tung độ của $B(7;0)$, nên $B\in {\Delta }_2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng qua $A(5;0)$, $B(0;-2)$ có dạng $\frac{x}{5}+\frac{y}{-2}=1$, suy ra $2x-5y-10=0$. Thử: $A$: $10-0-10=0$ ✓, $B$: $0+10-10=0$ ✓. Đúng.
b) Đường thẳng qua $A(-6;-4)$ với hệ số góc $k=2$: $y=2(x+6)-4=2x+8$. Đúng.
c) Đường thẳng chắn $Ox$ tại điểm hoành độ 4 và $Oy$ tại điểm tung độ $-1$: $\frac{x}{4}+\frac{y}{-1}=1$, tức $x-4y-4=0$, không phải $x-4y-3=0$. Sai.
d) Đường thẳng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ($a,b>0$) qua $M(1;4)$ nên $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1$. Diện tích $S=\frac{ab}{2}$. Theo AM-GM: $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\ge 2\sqrt{\frac{4}{ab}}=\frac{4}{\sqrt{ab}}$, suy ra $\sqrt{ab}\ge 4$, $S\ge 8$. Dấu bằng khi $\frac{1}{a}=\frac{4}{b}=\frac{1}{2}$, tức $a=2$, $b=8$. Khi đó phương trình: $\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=1⟺4x+y-8=0$, không phải $x+y-5=0$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(5;0)$ và $B(0;-2)$: $\frac{x}{5}+\frac{y}{-2}=1⟺2x-5y-10=0$. Thử lại cả hai điểm đều thỏa.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=2(x+6)-4=2x+8$, thỏa mãn qua $A(-6;-4)$ và hệ số góc 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $\frac{x}{4}+\frac{y}{-1}=1⟺x-4y-4=0$, không phải $x-4y-3=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1$, AM-GM cho $ab\ge 16$, min khi $a=2$, $b=8$, phương trình là $4x+y-8=0$, không phải $x+y-5=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_1=(2;-1)$ và $n_2=(1;-3)$.
a) Vì $\frac{2}{1}\ne \frac{-1}{-3}$ nên hai đường thẳng không song song → sai.
b) $n_1\cdot n_2=2\cdot 1+(-1)\cdot (-3)=2+3=5\ne 0$ nên hai đường thẳng không vuông góc → sai.
c) $\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $45^{\circ }$ → đúng.
d) Góc giữa hai đường thẳng là $45^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$ → sai.
Vậy a) sai, b) sai, c) đúng, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{2}{1}\ne \frac{-1}{-3}$ nên hai đường thẳng không song song.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $n_1=(2;-1)$, $n_2=(1;-3)$ ta có $n_1\cdot n_2=2\cdot 1+(-1)\cdot (-3)=5\ne 0$, nên hai đường thẳng không vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \theta =45^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng là $45^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $AB=\sqrt{(0-4{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{16+9}=5\ne 5\sqrt{2}$ → Sai.
b) Đường thẳng qua $A(4;0)$, $B(0;3)$ có dạng $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1\iff 3x+4y-12=0\ne 3x+4y+12=0$ → Sai.
c) Đường thẳng $AB$ có hệ số góc $k_{AB}=\frac{3-0}{0-4}=-\frac{3}{4}$. Đường thẳng $\Delta :mx+2y-5=0$ có hệ số góc $k_{\Delta }=-\frac{m}{2}$. Vuông góc: $\left(-\frac{m}{2}\right)\left(-\frac{3}{4}\right)=-1\iff \frac{3m}{8}=-1\iff m=-\frac{8}{3}\ne \frac{8}{3}$ → Sai.
d) $M(a;b)$ trên trục $Ox$ nên $b=0$, $M(a;0)$. Diện tích tam giác $MAB$: $\frac{1}{2}\cdot |a|\cdot 3=6\iff |a|=4\iff a=\pm 4$. Khi đó $a+b^2=4$ hoặc $a+b^2=-4$, không phải $8$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5\ne 5\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $3x+4y-12=0$, không phải $3x+4y+12=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện vuông góc cho $m=-\frac{8}{3}$, không phải $\frac{8}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$b=0$, $|a|=4$ nên $a+b^2=4$ hoặc $-4$, không phải $8$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $BC$ đi qua $B(4;5)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}=(-7;-3)$, nên vectơ pháp tuyến là $(3;7)$. Phương trình $BC$: $3(x-4)+7(y-5)=0\iff 3x+7y-47=0$. Khoảng cách từ $A(2;-1)$: $d(A,BC)=\frac{|3\cdot 2+7\cdot (-1)-47|}{\sqrt{3^2+7^2}}=\frac{|6-7-47|}{\sqrt{58}}=\frac{48}{\sqrt{58}}=\frac{24\sqrt{58}}{29}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:4x-y+11=0$ có hệ số góc $k_d=4$, nên $\Delta$ vuông góc với $d$ có hệ số góc $k_{\Delta }=-\frac{1}{4}$, do đó $\Delta$ có dạng $x+4y+c=0$.

$\Delta$ cách đều $P(-3;3)$ và $Q(5;-1)$. Vectơ $\overrightarrow{PQ}=(8;-4)$ có hệ số góc $-\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{4}$, nên $PQ$ không song song với $\Delta$; do đó $\Delta$ phải đi qua trung điểm $M$ của $PQ$: $M\left(\frac{-3+5}{2};\frac{3-1}{2}\right)=M(1;1)$.

Thay $M(1;1)$ vào $x+4y+c=0$: $1+4+c=0\Rightarrow c=-5$.

Vậy $\Delta :x+4y-5=0$ với $a=1,b=4,c=-5$, nên $T=a+b+c=1+4-5=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đã cho có VTCP $\vec{u}=(-1;5)$, nên $d$ song song với nó cũng có VTCP $(-1;5)$, do đó VTPT là $\vec{n}=(5;1)$. Phương trình $d$: $5x+y+c=0$. Vì $d$ qua $A(0;1)$: $5\cdot 0+1+c=0\Rightarrow c=-1$. Vậy $d:5x+y-1=0$ với $a=5,b=1,c=-1$. Tổng $a^2+b^2+c^2=25+1+1=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9: Cho $A(2;-1),B(4;5),C(-3;2)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(2;6)$, chọn VTCP $(1;3)$. Phương trình tham số của $AB$: $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+3t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$).

b) Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$. $\overrightarrow{BC}=(-7;-3)$ nên đường cao nhận $\vec{n}=(7;3)$ làm VTPT, qua $A(2;-1)$: $7(x-2)+3(y+1)=0\iff 7x+3y-11=0$.

c) $M$ trung điểm $AC$: $M\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$. $\overrightarrow{BM}=\left(-\frac{9}{2};-\frac{9}{2}\right)\parallel (1;1)$, đường thẳng qua $B(4;5)$: $y-5=x-4\iff x-y+1=0$.

d) Trung điểm $AB$ là $(3;2)$, đường trung trực nhận $\vec{n}=(1;3)$ (VTCP của $AB$): $(x-3)+3(y-2)=0\iff x+3y-9=0$.

e) $\overrightarrow{AC}=(-5;3)$ nên VTPT của đường cần tìm là $(3;5)$, qua $B(4;5)$: $3(x-4)+5(y-5)=0\iff 3x+5y-37=0$.

f) Vuông góc với $AB$ nên nhận $\vec{n}=(1;3)$, qua $C(-3;2)$: $(x+3)+3(y-2)=0\iff x+3y-3=0$.

g) $S=\frac{1}{2}\left|x_{\overrightarrow{AB}}{y}_{\overrightarrow{AC}}-y_{\overrightarrow{AB}}{x}_{\overrightarrow{AC}}\right|=\frac{1}{2}|2\cdot 3-6\cdot (-5)|=\frac{36}{2}=18$ (đơn vị diện tích).

h) Trọng tâm: $G=\left(\frac{2+4-3}{3};\frac{-1+5+2}{3}\right)=(1;2)$.

Trực tâm: giao của đường cao từ $A$: $7x+3y-11=0$ và đường cao từ $B$ (vuông góc $AC$, VTPT $(5;-3)$): $5(x-4)-3(y-5)=0\iff 5x-3y-5=0$. Cộng hai phương trình: $12x=16\Rightarrow x=\frac{4}{3}$, $y=\frac{5}{9}$. Vậy $H=\left(\frac{4}{3};\frac{5}{9}\right)$.

Tâm đường tròn ngoại tiếp: giao hai đường trung trực $x+3y-9=0$ và trung trực $AC$ (trung điểm $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$, VTPT $(-5;3)$): $-5x+3y-4=0$. Thay $x=9-3y$: $-45+15y+3y-4=0\Rightarrow 18y=49\Rightarrow y=\frac{49}{18}$, $x=\frac{5}{6}$. Vậy $O=\left(\frac{5}{6};\frac{49}{18}\right)$.

Kiểm tra: $O{A}^2={\left(2-\frac{5}{6}\right)}^2+{\left(-1-\frac{49}{18}\right)}^2=\frac{49}{36}+\frac{4489}{324}=\frac{441+4489}{324}=\frac{4930}{324}$; $O{B}^2={\left(4-\frac{5}{6}\right)}^2+{\left(5-\frac{49}{18}\right)}^2=\frac{361}{36}+\frac{1681}{324}=\frac{3249+1681}{324}=\frac{4930}{324}$; $O{C}^2={\left(-3-\frac{5}{6}\right)}^2+{\left(2-\frac{49}{18}\right)}^2=\frac{529}{36}+\frac{169}{324}=\frac{4761+169}{324}=\frac{4930}{324}$. Ba giá trị bằng nhau, kết quả đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10: Cho $A(-2;3)$, $B(4;-1)$ và $d:2x+3y-19=0$.

a) Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_d=(2;3)$, nên đường thẳng qua $A$ song song với $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;-2)$ (hoặc $\vec{u}=(2;3)$). Chọn $\vec{u}=(3;-2)$, phương trình tham số:
$$\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=3-2t\end{array},t\in \mathbb{R}.$$
(Dạng tương đương khác: $x=-2+2t,y=3+3t$.)

b) Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $d$ có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của $d$: $\vec{u}={\vec{n}}_d=(2;3)$. Phương trình tham số:
$$\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-1+3t\end{array},t\in \mathbb{R}.$$

c) $\overrightarrow{AB}=(4-(-2);-1-3)=(6;-4)$. Vectơ pháp tuyến của $AB$: $\vec{n}=(2;3)$ vì $2\cdot 6+3\cdot (-4)=12-12=0$. Phương trình tổng quát qua $A(-2;3)$:
$$2(x+2)+3(y-3)=0\iff 2x+3y-5=0.$$
Kiểm tra với $B(4;-1)$: $2\cdot 4+3\cdot (-1)-5=8-3-5=0$ (thỏa mãn). Vậy $AB:2x+3y-5=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1-5t\\ y=-3+4t\end{array}$ nên VTCP $\vec{u}=(-5;4)$, suy ra một VTPT của $d$ là $\vec{n}=(4;5)$.

a) Đường thẳng đi qua $A(2;-1)$ và song song với $d$ có VTPT $\vec{n}=(4;5)$:
$$4(x-2)+5(y+1)=0\iff 4x+5y-3=0.$$

b) Đường thẳng đi qua $B(-3;3)$ và vuông góc với $d$ có VTCP chính là VTPT của $d$, tức ${\vec{u}}_1=(4;5)$, nên VTPT là ${\vec{n}}_1=(5;-4)$:
$$5(x+3)-4(y-3)=0\iff 5x-4y+27=0.$$
Kiểm tra: $5(-3)-4(3)+27=-15-12+27=0$ ✓.

c) $\overrightarrow{AB}=(-3-2;3+1)=(-5;4)$ trùng VTCP của $d$, nên VTPT của $AB$ là $\vec{n}=(4;5)$. Đường thẳng $AB$ đi qua $A(2;-1)$:
$$4(x-2)+5(y+1)=0\iff 4x+5y-3=0.$$
Kiểm tra với $B(-3;3)$: $4(-3)+5(3)-3=-12+15-3=0$ ✓.

Vậy: a) $4x+5y-3=0$; b) $5x-4y+27=0$; c) $4x+5y-3=0$ (đường thẳng $AB$ song song với $d$ nên trùng với kết quả câu a).

(AI giải đề cho tôi)
B là giao của AB và BH: giải $\{7x-y+4=0;2x+y-4=0\}$, cộng hai phương trình được $9x=0\Rightarrow x=0,y=4$, nên $B(0;4)$. A là giao của AB và AH: giải $\{7x-y+4=0;x-y-2=0\}$, trừ hai phương trình được $6x+6=0\Rightarrow x=-1,y=-3$, nên $A(-1;-3)$. H là giao của BH và AH: giải $\{2x+y-4=0;x-y-2=0\}$, cộng lại được $3x-6=0\Rightarrow x=2,y=0$, nên $H(2;0)$. Đường cao CH đi qua H và vuông góc với AB nên nhận vectơ pháp tuyến của AB làm vectơ chỉ phương: ${\vec{u}}_{CH}=(7;-1)$. Phương trình tham số: $\{x=2+7t;y=-t\}$, suy ra phương trình tổng quát: $x+7y-2=0$. Kiểm tra: H(2;0) thỏa mãn $2+0-2=0$; vectơ pháp tuyến $(1;7)$ vuông góc với $(7;-1)$ vì $7-7=0$. Vậy đường cao CH có phương trình $x+7y-2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
A là giao điểm của AB và AC: giải $\{\begin{array}{l}5x-2y+6=0\\ 4x+7y-21=0\end{array}$ ta được $A(0;3)$.

Vì $H$ là trực tâm nên $BH\perp AC$ và $CH\perp AB$.
- Đường thẳng $BH$ đi qua $H(1;1)$ và có vecto chỉ phương là pháp tuyến của $AC$ là $(4;7)$, nên $BH$ có pháp tuyến $(7;-4)$: $7(x-1)-4(y-1)=0\iff 7x-4y-3=0$.
- Đường thẳng $CH$ đi qua $H(1;1)$ và có vecto chỉ phương là pháp tuyến của $AB$ là $(5;-2)$, nên $CH$ có pháp tuyến $(2;5)$: $2(x-1)+5(y-1)=0\iff 2x+5y-7=0$.

$B=AB\cap BH$: giải $\{\begin{array}{l}5x-2y+6=0\\ 7x-4y-3=0\end{array}$, nhân phương trình đầu với 2 rồi trừ: $3x+15=0\Rightarrow x=-5$, $y=\frac{5(-5)+6}{2}=-\frac{19}{2}$. Vậy $B\left(-5;-\frac{19}{2}\right)$.

$C=AC\cap CH$: giải $\{\begin{array}{l}4x+7y-21=0\\ 2x+5y-7=0\end{array}$, từ phương trình hai $x=\frac{7-5y}{2}$, thay vào: $14-10y+7y-21=0\Rightarrow y=-\frac{7}{3}$, $x=\frac{28}{3}$. Vậy $C\left(\frac{28}{3};-\frac{7}{3}\right)$.

Vecto $\overrightarrow{BC}=\left(\frac{28}{3}+5;-\frac{7}{3}+\frac{19}{2}\right)=\left(\frac{43}{3};\frac{43}{6}\right)=\frac{43}{6}(2;1)$, nên $BC$ có vecto chỉ phương $(2;1)$, pháp tuyến $(1;-2)$.

Phương trình $BC$ qua $B\left(-5;-\frac{19}{2}\right)$: $1(x+5)-2\left(y+\frac{19}{2}\right)=0\iff x-2y-14=0$.

Kiểm tra: $C\left(\frac{28}{3};-\frac{7}{3}\right)$: $\frac{28}{3}+\frac{14}{3}-14=14-14=0$ ✓. Vậy $BC:x-2y-14=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Ta có $G\left(\frac{-6+0+3}{3};\frac{3-1+2}{3}\right)=G\left(-1;\frac{4}{3}\right)$.

Với mọi điểm $M$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$, nên $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3MG$. Do đó biểu thức nhỏ nhất khi và chỉ khi $MG$ nhỏ nhất, tức $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên đường thẳng $d:2x-y-3=0$.

Tính $2x_G-y_G-3=2(-1)-\frac{4}{3}-3=-\frac{19}{3}$. Hình chiếu:
$$M=G-\frac{2x_G-y_G-3}{2^2+(-1{)}^2}(2;-1)=G+\frac{19}{15}(2;-1)=\left(-1+\frac{38}{15};\frac{4}{3}-\frac{19}{15}\right)=\left(\frac{23}{15};\frac{1}{15}\right).$$

Kiểm tra: $2\cdot \frac{23}{15}-\frac{1}{15}-3=\frac{46-1-45}{15}=0$, nên $M\in d$. Vậy $M\left(\frac{23}{15};\frac{1}{15}\right)$, giá trị nhỏ nhất là $3MG=3\cdot \frac{19}{3\sqrt{5}}=\frac{19\sqrt{5}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(0;m)$ nằm trên trục $Oy$. Đường thẳng $AB$ đi qua $A(3;0)$, $B(0;4)$ có phương trình: $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\iff 4x+3y-12=0$. Độ dài $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Khoảng cách từ $M$ đến $AB$ là $d(M,AB)=\frac{|3\cdot 0+3m-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|3m-12|}{5}$. Diện tích tam giác $MAB$: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(M,AB)=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{|3m-12|}{5}=\frac{|3m-12|}{2}$. Theo đề $S=6\iff |3m-12|=12\iff 3m-12=\pm 12\iff m=8$ hoặc $m=0$. Kiểm tra: với $M(0;8)$, tam giác có đáy $AB=5$, chiều cao từ $M$ xuống $AB$ bằng $\frac{|24-12|}{5}=\frac{12}{5}$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{12}{5}=6$ ✓; với $M(0;0)=O$, tam giác $OAB$ vuông tại $O$ có diện tích $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$ ✓. Vậy có hai điểm thỏa mãn: $M(0;0)$ hoặc $M(0;8)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 17: a) Đường thẳng AC đi qua A(0;3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AC}=(5;-2)$, nên phương trình tham số: $x=5t,y=3-2t$ ($t\in \mathbb{R}$).

b) Ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM})+2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})+3(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})=6\overrightarrow{OM}-(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC})$.
Tính $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=(0;3)+2(1;-2)+3(5;1)=(17;2)$.
Vậy biểu thức cần xét có độ dài $|6\overrightarrow{OM}-(17;2)|=6\left|\overrightarrow{OM}-\left(\frac{17}{6};\frac{1}{3}\right)\right|$, nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $P\left(\frac{17}{6};\frac{1}{3}\right)$ lên $d:4x-3y-2=0$.
Thay $P$ vào vế trái của $d$: $f(P)=4\cdot \frac{17}{6}-3\cdot \frac{1}{3}-2=\frac{34}{3}-3=\frac{25}{3}$.
Hình chiếu: $M=P-\frac{f(P)}{4^2+3^2}(4;-3)=\left(\frac{17}{6};\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}(4;-3)=\left(\frac{3}{2};\frac{4}{3}\right)$.
Kiểm tra: $4\cdot \frac{3}{2}-3\cdot \frac{4}{3}-2=6-4-2=0$ ✓. Vậy $M\left(\frac{3}{2};\frac{4}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-y-1=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-1)$ và $d_2:2x+3y+6=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;3)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|1\cdot 2+(-1)\cdot 3|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{13}}=\frac{|2-3|}{\sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{26}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=2+t$ suy ra $t=x-2$. Thay vào $y=-5+2t$ ta được $y=-5+2(x-2)=2x-9$, tức $2x-y-9=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x+2y-10=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1,b=2$, nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}(1;2)$. Vậy đáp án C.