Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chóp tứ giác đều S.MNPQ, đỉnh S nằm trên đường vuông góc với đáy đi qua tâm I của hình vuông MNPQ. Do đó SI ⊥ (MNPQ), tức SI là đường cao của hình chóp. Các cạnh SN, SP, SM là cạnh bên, không vuông góc với mặt đáy. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Đề 1012, Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình vuông nên $BD\perp AC$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$ (đường thẳng $BD$ nằm trong $(ABCD)$). Do đó $BD\perp (SAC)$ vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ cùng thuộc $(SAC)$. Các đường $AB$, $CD$ không vuông góc với $AC$ (trong hình vuông $AB\perp AD$, không vuông góc đường chéo $AC$), và $SB$ không vuông góc với $(SAC)$. Vậy đáp án là $BD$, khớp với đáp án nguồn (Đề 1011, Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, O là tâm đáy, và đường cao là đoạn thẳng nối đỉnh S với tâm đáy O, vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Do đó đường cao của hình chóp là $SO$. Các cạnh $SB$, $SD$, $SA$ là cạnh bên, không vuông góc với đáy. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 9, Đề 1011: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AD\perp AB$. Từ đó $AD\perp (SAB)$ (cùng vuông với $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Khẳng định D đúng. Các phương án khác sai: $SC$ không vuông $(ABCD)$ (chỉ $SA$ vuông); $BC$ không vuông $(SCD)$ vì $BC\parallel AD$ mà $AD$ không vuông $(SCD)$; $AC$ không vuông $(SBD)$ vì $AC$ không vuông $SB$. Đáp án khớp với mã đề 1102: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD\perp AB$. Mặt khác $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$. Từ đó $AD\perp AB$ và $AD\perp SA$, với $AB,SA$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $AD\perp (SAB)$. Vậy khẳng định D đúng. Các phương án khác sai: $AC$ không vuông góc $(SBD)$ (chỉ vuông góc $BD$ trong đáy), $BC$ không vuông góc $(SCD)$ vì $BC\parallel AD$ nhưng $BC$ cắt mặt $(SCD)$ tại $C$, và $SC$ không vuông góc $(ABCD)$ vì $SC$ nghiêng so với đáy.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: (A) Đúng theo định lý: trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau — nhưng đề yêu cầu khẳng định đúng duy nhất, thực tế A cũng đúng về mặt lý thuyết; tuy nhiên theo đáp án chính thức của đề (mã đề 112, câu 1 là D), khẳng định D được chọn: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau (định lý về tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). (B) Sai: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau (ví dụ hai tường của một căn phòng cùng vuông góc với sàn). (C) Sai: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể chéo nhau hoặc song song, không nhất thiết vuông góc. (D) Đúng: nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau (vì đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng, hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song). Đáp án khớp với bảng đáp án chính thức: mã đề 112, câu 1 = D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. ABCD là hình vuông nên hai đường chéo $AC\perp BD$. Do đó $BD\perp SA$ và $BD\perp AC$, mà $SA$ và $AC$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SAC)$, nên $BD\perp (SAC)$. Các phương án khác sai: $BD$ không vuông góc với $(SAD)$ (vì $BD$ không vuông góc với $AD$), $AC$ không vuông góc với $(SAD)$ (vì $AC$ không vuông góc với $AD$), $BC$ không vuông góc với $(SAD)$ (vì $BC$ không vuông góc với $AD$). Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 112: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp AD$. Do đó $AB\perp (SAD)$ (cùng vuông góc với hai đường thẳng cắt $SA,AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$). Các phương án khác sai: $AC,BD$ không vuông góc với $(SAD)$ vì tạo góc nhọn với $AD$; $BC$ không vuông góc với $(SAD)$ vì $BC$ song song $AD$ nhưng $BC$ không vuông góc $SA$... thực chất $BC$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ tại điểm không phải chân vuông góc. Đáp án khớp với mã đề 111: câu 7 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ và $BC\subset (ABC)$ nên theo định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, $SA\perp BC$. Khẳng định D đúng. A sai vì $SB$ không nằm trong $(ABC)$; B sai vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$, không phải $AC\perp BC$; C không suy ra được từ giả thiết. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên trung tuyến $AJ\perp BC$; lại có $SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAJ)$. Đúng.
b) Trong tam giác $SBC$, $IJ$ là đường trung bình nên $IJ\parallel SB$. Góc giữa hai đường thẳng $IJ$ và $SA$ bằng góc giữa $SB$ và $SA$, tức là góc $\widehat{BSA}$. Đúng.
c) Do $BC\perp (SAJ)$ (ý a) nên $BC\perp SB$; mà $IJ\parallel SB$ nên $IJ\perp BC$. Đúng.
d) Giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABC)$ là $BC$. Vì $AJ\perp BC$ nên theo định lý ba đường vuông góc $SJ\perp BC$, do đó góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{SJA}$. Ta có $\tan \widehat{SJA}=\frac{SA}{AJ}=\frac{a\frac{\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{SJA}=30^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (2a=D, 2b=D, 2c=D, 2d=S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên trung tuyến $AJ\perp BC$; $SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$. Vậy $BC\perp (SAJ)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $IJ$ là đường trung bình tam giác $SBC$ nên $IJ\parallel SB$; góc giữa $IJ$ và $SA$ bằng góc giữa $SB$ và $SA$, tức góc $\widehat{BSA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ ý a), $BC\perp (SAJ)$ nên $BC\perp SB$; vì $IJ\parallel SB$ nên $IJ\perp BC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABC)$ là $BC$; $AJ\perp BC$ nên $SJ\perp BC$, góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{SJA}$. Với $\tan \widehat{SJA}=\frac{SA}{AJ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ suy ra $\widehat{SJA}=30^{\circ }\ne 60^{\circ }$, nên phát biểu Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ mà $BC\subset (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Khẳng định C đúng. Các phương án khác không suy ra được từ giả thiết: $SA\perp SB$ chỉ đúng khi thêm $AB\perp SB$ (không có dữ kiện); $SB\perp SC$ không được cho; tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nghĩa là $AB\perp BC$, không phải $AC\perp BC$. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001, câu 10: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ và $AB\subset (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Tam giác $ABC$ đều nên $AB$ không vuông góc $AC$; các cặp $SA\perp SC$, $SA\perp SB$ sai vì góc giữa $SA$ với $SB$, $SC$ khác $90^{\circ }$ (tam giác $SAB$, $SAC$ vuông tại $A$ có góc ở đỉnh $S$ nhọn). Đáp án khớp mã đề 1012: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ mà $AB\subset (ABC)$ nên theo định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, $SA\perp AB$. Các mệnh đề khác sai: tam giác $ABC$ đều nên $AB$ không vuông góc $AC$; $SA$ không vuông góc $SB$ hay $SC$ vì $SB,SC$ không nằm trong $(ABC)$. Đáp án khớp với mã đề 1011, câu 3: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Vậy $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã 111, Câu 12: B).

Hướng dẫn chấm (1 điểm):

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về tính duy nhất: trong không gian, qua một điểm $O$ cho trước luôn tồn tại duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ cho trước. Do đó đáp án là A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm chiếu, do đó $SA\perp AB$, $SA\perp AC$, $SA\perp BC$ (các đường thẳng $AB$, $AC$, $BC$ đều nằm trong $(ABC)$). Vậy A, C, D đúng. Riêng $SA\perp SB$ sai vì $SA$ và $SB$ cắt nhau tại $S$ và không thể vuông góc (tam giác $SAB$ vuông tại $A$, góc $ASB$ nhọn). Khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, đỉnh S nằm trên đường vuông góc với đáy đi qua tâm O, nên đường cao của chóp là SO, suy ra $SO\perp (ABCD)$ — khẳng định D đúng. Các khẳng định khác sai: $SA$ không vuông góc với đáy vì góc giữa SA và đáy khác 90° (C sai); $AC$ không vuông góc với $(SCD)$ vì $AC$ không vuông góc với $SD$ (A sai); $AC$ không vuông góc với $(SBC)$ vì $AC$ không vuông góc với $SB$ (B sai). Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Theo định nghĩa hình chóp đều, đường cao đi qua tâm đáy, tức $SO\perp (ABCD)$. Xét các phương án khác: $SA$ không vuông góc với đáy (chỉ $SO$ vuông góc); $AC$ không thể vuông góc với $(SBC)$ vì $AC$ cắt mặt $(SBC)$ tại $C$ và góc giữa $AC$ với mặt này khác $90^{\circ }$; tương tự $AC$ không vuông góc với $(SCD)$ (nếu $AC\perp (SCD)$ thì $AC\perp CD$, nhưng $AC$ là đường chéo hình vuông nên $AC$ tạo với $CD$ góc $45^{\circ }$). Vậy khẳng định đúng là $SO\perp (ABCD)$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 111, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ cùng vuông góc với mặt đáy $(ABC)$. Do đó các mệnh đề A, B, C đều đúng. Cạnh $A{C}^{\prime }$ là đường chéo của mặt bên (nối đỉnh $A$ của đáy với đỉnh $C^{\prime }$ của mặt trên), không phải cạnh bên nên không vuông góc với $(ABC)$ — mệnh đề D sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1004, Câu 1: D).