Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

Lời giải (nguồn: trang 20, bảng hướng dẫn giải mã đề 1002, 1004):

$△SAB$ đều có $SK$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $SK\perp AB$

Ta có $\{\begin{array}{l}(SAB)\perp (ABCD)\\ AB=(SAB)\cap (ABCD)\\ SK\subset (SAB)\\ SK\perp AB\end{array}$



$\Rightarrow SK\perp (ABCD)$

Mà $CD\subset (ABCD)$

$\Rightarrow SK\perp CD$

[Hình cần kiểm tra lại: p17_f1]

Tam giác $SAB$ đều có $SI$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $SI\perp AB$

Ta có $\{\begin{array}{l}(SAB)\perp (ABCD)\\ AB=(SAB)\cap (ABCD)\\ SI\subset (SAB)\\ SI\perp AB\end{array}$

$\Rightarrow SI\perp (ABCD)$

Mà $BC\subset (ABCD)$

$\Rightarrow SI\perp BC$

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ cùng vuông góc với mặt đáy $(ABC)$. Do đó các mệnh đề A, B, D đều đúng. Đường chéo $A{C}^{\prime }$ nằm nghiêng so với mặt đáy (không song song với cạnh bên), nên $A{C}^{\prime }$ không vuông góc với $(ABC)$; mệnh đề C sai. Khớp với đáp án nguồn: C.

$△ABC$ đều có $SK$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $SK\perp AB$

Ta có $\{\begin{array}{l}(SAB)\perp (ABCD)\\ AB=(SAB)\cap (ABCD)\\ SK\subset (SAB)\\ SK\perp AB\end{array}$



$\Rightarrow SK\perp (ABCD)$

Mà $CD\subset (ABCD)$

$\Rightarrow SK\perp CD$

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ cùng vuông góc với mặt đáy $(ABC)$. Do đó các mệnh đề A, B, D đều đúng. Còn $A{C}^{\prime }$ là đường chéo của mặt bên $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$, không vuông góc với $(ABC)$ (vì nó không song song với các cạnh bên). Vậy mệnh đề sai là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1002, Câu 4 = C).

[Hình cần kiểm tra lại: p17_f1]

$△ABC$ đều có $SI$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $SI\perp AB$

Ta có $\{\begin{array}{l}(SAB)\perp (ABCD)\\ AB=(SAB)\cap (ABCD)\\ SI\subset (SAB)\\ SI\perp AB\end{array}$

$\Rightarrow SI\perp (ABCD)$

Mà $BC\subset (ABCD)$

$\Rightarrow SI\perp BC$

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$, $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ đều đúng. Đường chéo $A{C}^{\prime }$ không phải cạnh bên nên không vuông góc với $(ABC)$ — mệnh đề C sai. Khớp đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp AB$, $SA\perp AC$ và $AB,AC$ là hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, nên theo định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $SA\perp (ABC)$. Các phương án khác sai vì: $AB$ không vuông góc với $SA$ trong $(SAC)$ (thực tế $AB$ chỉ vuông góc $SA$, không vuông góc với cả $AC$ nói chung), $BC$ không vuông góc $(SAC)$, $AC$ không vuông góc $(SBC)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$, tức $SA$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $AC$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, nên theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $SA\perp (ABC)$. Các phương án khác sai: $AB$ chỉ vuông góc với $SA$ chứ không vuông góc với toàn mặt phẳng $(SAC)$ (vì $AB$ không vuông góc với $AC$); tương tự $AC$ không vuông góc với $(SBC)$; và không có dữ kiện để kết luận $BC\perp (SAC)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã 1101, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$. Do đó $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$. Các mặt bên như $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ chứa $C{C}^{\prime }$ nên không thể vuông góc với $C{C}^{\prime }$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2204, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Do đó $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$. Các mặt bên như $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ đều chứa $C{C}^{\prime }$ nên không thể vuông góc với $C{C}^{\prime }$. Đáp án khớp với mã đề 2102: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tam giác đều $S.ABC$, $O$ là tâm đáy, $I$ là trung điểm $AB$.
a) Đúng. Vì $S.ABC$ đều nên $SO\perp (ABC)$, do đó mặt phẳng $(SCO)$ chứa $SO$ vuông góc với $(ABC)$.
b) Đúng. Tam giác $ABC$ đều nên $CI\perp AB$, mà $OI\subset CI$ nên $AB\perp (SIC)$ (vì $AB\perp SI$ theo tam giác $SAB$ cân và $AB\perp OI$). Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SIC)$ là $SI$, nên góc $\widehat{SIO}$ là góc phẳng của nhị diện $[S,AB,C]$.
c) Đúng. $OI\perp AB$ (chứng minh trên) và $OI\perp SO$ (vì $SO\perp (ABC)$), $OI$ cắt cả $SO$ (tại $O$) và $AB$ (tại $I$), nên $OI$ là đường vuông góc chung của $SO$ và $AB$.
d) Sai. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{△ABC}$, thiếu hệ số $\frac{1}{3}$.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0102 câu 13: Đ-Đ-Đ-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SO\perp (ABC)$ nên $(SCO)\perp (ABC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB\perp (SIC)$, giao tuyến là $SI$, nên $\widehat{SIO}$ là góc phẳng của $[S,AB,C]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$OI\perp AB$ và $OI\perp SO$, cắt cả hai đường thẳng nên là đường vuông góc chung.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thể tích là $V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{△ABC}$, không phải $SO\cdot S_{△ABC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $△OAB$ đều nên đường trung tuyến $OI\perp AB$. Vì $△ABC$ đều nên đường trung tuyến $CI\perp AB$. Trong mặt phẳng $(OIC)$ có hai đường thẳng cắt $OI$ và $CI$ cùng vuông góc với $AB$, nên $AB\perp (OIC)$. Các khẳng định khác không suy ra được: $OI$ không chắc vuông góc $(ABC)$ (chỉ khi thêm điều kiện), $AB$ không vuông góc $(OBC)$ vì $AB$ không vuông góc $OB$, và $CI$ không chắc vuông góc $(OAB)$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0102: câu 6 là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $△ABC$ và $△OAB$ đều chung cạnh $AB$ nên $CI\perp AB$ và $OI\perp AB$ (đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Suy ra $AB\perp (OIC)$. Các khẳng định B, C, D sai vì $CI$ không vuông góc $OI$ nên không thể vuông góc mặt $(OAB)$ hay $(ABC)$; tương tự $AB$ không vuông góc $(OBC)$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$; mặt khác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Suy ra $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SA$. Đúng.
b) $BC\perp SA$ và $BC\perp AB$ với $SA,AB\subset (SAC)$, hai đường thẳng cắt nhau, nên $BC\perp (SAC)$. Đúng.
c) Hình chiếu của $SC$ trên $(ABC)$ là $AC$ (vì $SA\perp (ABC)$), nên góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=BC=a$ nên $AC=a\sqrt{2}$. Khi đó $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{SCA}=45^{\circ }$. Đúng.
d) $S_{ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{a^2}{2}$, nên $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\ne \frac{a^3\sqrt{2}}{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$; kết hợp $BC\perp AB$ suy ra $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp SA$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp SA$ và $BC\perp AB$, với $SA,AB\subset (SAC)$ cắt nhau tại $A$, nên $BC\perp (SAC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc cần tìm là $\widehat{SCA}$ với $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow 45^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$, không bằng $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$; mặt khác $AB\perp BC$ (đáy là hình vuông) nên $BC\perp (SAB)$ → A đúng. Tương tự $SA\perp CD$ và $AD\perp CD$ nên $CD\perp (SAD)$ → C đúng. Vì $SA\perp BD$ và $AC\perp BD$ (hai đường chéo hình vuông cắt nhau tại $O$) nên $BD\perp (SAC)$ → B đúng. Xét D: nếu $SC\perp (SBD)$ thì $SC\perp SB$. Nhưng do $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp SB$, suy ra tam giác $SBC$ vuông tại $B$ (có $BC\perp SB$), nên góc tại $S$ không thể là góc vuông, tức $SC$ không vuông góc với $SB$. Vậy khẳng định D sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $A$, không phải $B$ → sai. b) $BC\perp AB$ (tam giác vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$), $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ nên $BC\perp (SAB)$ → đúng. c) Hình chiếu của $S$ là $A$ nên góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$: $AC=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$, nên $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ⇒ góc bằng $30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$ → sai. d) $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\cdot a\sqrt{2}}{2}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ là $A$, không phải $B$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ (đáy vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$), với $AB\cap SA=A$ nên $BC\perp (SAB)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$ với $AC=a\sqrt{3}$, $\tan \widehat{SCA}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên góc bằng $30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\cdot a\sqrt{2}}{2}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$; lại có $AD\perp CD$ (hình vuông) nên $CD\perp (SAD)$ → A đúng. Tương tự $BC\perp (SAB)$ → B đúng. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$, mà $BD\perp AC$ nên $BD\perp (SAC)$ → D đúng. Với C: nếu $SC\perp (SBD)$ thì $SC\perp SB$, nhưng tam giác $SBC$ có $\widehat{SBC}=90^{\circ }$ (vì $BC\perp (SAB)$), nên $SC$ không thể vuông góc với $SB$ → C sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$ (một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng). Đúng.
b) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$; lại có $BC\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$). Vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$ nên $BC\perp (SAB)$. Đúng.
c) Hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $A$, nên góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4a^2+12a^2}=4a$. Khi đó $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{4a\sqrt{3}}{4a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCA}=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$. Sai.
d) $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a\sqrt{3}=2a^2\sqrt{3}$, nên $V=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\sqrt{3}\cdot 4a\sqrt{3}=8a^3\sqrt{3}\ne 4a^3\sqrt{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ (tam giác vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{4a\sqrt{3}}{4a}=\sqrt{3}\Rightarrow$ góc bằng $60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\sqrt{3}\cdot 4a\sqrt{3}=8a^3\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$, $SA\perp CD$, $SA\perp BD$. Đáy là hình vuông nên $BC\perp AB$, $CD\perp AD$, $BD\perp AC$.
- $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$, với $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ $\Rightarrow BC\perp (SAB)$: đúng.
- $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ $\Rightarrow CD\perp (SAD)$: đúng.
- $BD\perp AC$ và $BD\perp SA$ $\Rightarrow BD\perp (SAC)$: đúng.
- Xét $SC$ và $(SBD)$: giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SO$. Nếu $SC\perp (SBD)$ thì $SC\perp SO$. Nhưng trong tam giác $SOC$, $SO\perp OC$ (tính chất đường chéo hình vuông) nên tam giác $SOC$ vuông tại $O$, do đó $SC$ là cạnh huyền, không thể vuông góc với $SO$. Vậy $SC$ không vuông góc với $(SBD)$, khẳng định B là sai.