Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{xf(x)}{x+1}=f(x)\cdot \frac{x}{x+1}$. Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2022$ và ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{x+1}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1$, theo tính chất giới hạn của tích: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{xf(x)}{x+1}=2022\cdot 1=2022$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=2x^2-3x+1$ là đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$, nên ${\lim }_{x\to 1}(2x^2-3x+1)=2(1{)}^2-3(1)+1=2-3+1=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của giới hạn: ${\lim }_{x\to 3}\left[f(x)+4x-1\right]={\lim }_{x\to 3}f(x)+{\lim }_{x\to 3}(4x-1)=-2+4\cdot 3-1=-2+12-1=9$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $C(x)=30000+8x$ (USD).

a) Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là:
$$\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{30000+8x}{x}=\frac{30000}{x}+8\text{ (USD/sản phẩm)},x\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

b) Khi $x\to +\infty$ thì $\frac{30000}{x}\to 0$, do đó:
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{30000}{x}+8\right)=8\text{ (USD)}.$$

Vậy chi phí trung bình giảm dần và tiến tới 8 USD khi sản lượng tăng vô hạn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ vì mẫu $x^2-4=-3\ne 0$. Thay trực tiếp: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+1)(2x-3)}{x^2-4}=\frac{(1+1)(2-3)}{1-4}=\frac{2\cdot (-1)}{-3}=\frac{2}{3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Để giới hạn ${\lim }_{x\to 6}\frac{x^2+ax+b}{x-6}=-5$ tồn tại (mẫu số tiến tới 0), tử số phải triệt tiêu tại $x=6$: $36+6a+b=0$. Khi đó giới hạn bằng đạo hàm của tử tại $x=6$: $2\cdot 6+a=12+a=-5$, suy ra $a=-17$. Do đó $b=-36-6a=-36+102=66$. Kiểm tra: $x^2-17x+66=(x-6)(x-11)$, nên giới hạn bằng $6-11=-5$. Vậy $-2a-b=-2(-17)-66=34-66=-32$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<-1$ thì $f(x)=x-2$; với $x\ge -1$ thì $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.
a) $x\to -2$ nằm trong miền $x<-1$, nên ${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}(x-2)=-4\ne \sqrt{5}$ → Sai.
b) ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to -1^{-}}(x-2)=-1-2=-3$ → Đúng.
c) ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$ → Đúng.
d) Vì giới hạn trái $-3$ khác giới hạn phải $\sqrt{2}$ nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to -2<-1$ nên dùng nhánh $f(x)=x-2$, giới hạn bằng $-4\ne \sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{-}}(x-2)=-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{+}}\sqrt{x^2+1}=\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái $-3$ khác giới hạn phải $\sqrt{2}$ nên giới hạn tại $x=-1$ không tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình là $\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{2x+55}{x}=2+\frac{55}{x}$. Khi $x\to +\infty$ thì $\frac{55}{x}\to 0$, do đó $\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)=2$. Vậy chi phí trung bình càng gần với 2 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\sqrt{2-2}+3=3$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=2a-1$. Để $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$ tồn tại thì hai giới hạn một bên phải bằng nhau: $2a-1=3\iff a=2$. Vậy $a=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 127: Tính các giới hạn dạng 0/0 bằng phân tích nhân tử.

a) $x^2+x-30=(x-5)(x+6)$; $2x^2-9x-5=(x-5)(2x+1)$. Với $x\to 5$, $x\ne 5$ nên
$$\underset{x\to 5}{\lim }\frac{(x-5)(x+6)}{(x-5)(2x+1)}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x+6}{2x+1}=\frac{11}{11}=1.$$

b) $2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)$; $4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$. Với $x\to \frac{1}{2}$, $x\ne \frac{1}{2}$ nên
$$\underset{x\to 1/2}{\lim }\frac{(2x-1)(x-2)}{(2x-1)(2x+1)}=\underset{x\to 1/2}{\lim }\frac{x-2}{2x+1}=\frac{\frac{1}{2}-2}{1+1}=-\frac{1}{2}.$$

c) $2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1)$; $-x^2+4x+5=-(x^2-4x-5)=-(x-5)(x+1)=(5-x)(x+1)$. Với $x\to -1$, $x\ne -1$ nên
$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(2x+1)(x+1)}{(5-x)(x+1)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x+1}{5-x}=\frac{-2+1}{5+1}=-\frac{1}{6}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 128:

a) Phân tích mẫu: $x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$ (vì $x=1$ là nghiệm kép) và $x^3-x^2-x+1=(x-1{)}^2(x+1)$. Do đó
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1{)}^2(x+2)}{(x-1{)}^2(x+1)}=\frac{1+2}{1+1}=\frac{3}{2}.$$

b) Tại $x=-1$: tử $=-1-1-2+4=0$, mẫu $=1+3-4=0$ (dạng $\frac{0}{0}$). Phân tích: $x^3-x^2+2x+4=(x+1)(x^2-2x+4)$ và $x^2-3x-4=(x+1)(x-4)$. Vậy
$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2-2x+4}{x-4}=\frac{1+2+4}{-5}=-\frac{7}{5}.$$

c) Tại $x=-3$: tử $=81-54-27=0$, mẫu $=-27+27-3+3=0$ (dạng $\frac{0}{0}$). Phân tích: $x^4-6x^2-27=(x^2-9)(x^2+3)=(x-3)(x+3)(x^2+3)$ và $x^3+3x^2+x+3=(x+3)(x^2+1)$. Vậy
$$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{(x-3)(x^2+3)}{x^2+1}=\frac{(-6)(12)}{10}=-\frac{36}{5}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 129:

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}$: cả tử và mẫu triệt tiêu tại $x=1$. Phân tích:
$x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$; $x^4-4x+3=(x-1{)}^2(x^2+2x+3)$.
Vậy giới hạn $=\frac{1+2}{1+2+3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4x^2+x-18}{x^3-8}$: tại $x=2$ cả hai đều bằng 0. Phân tích:
$4x^2+x-18=(x-2)(4x+9)$; $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.
Vậy giới hạn $=\frac{4\cdot 2+9}{2^2+2\cdot 2+4}=\frac{17}{12}$.

c) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^4-x^2-72}{x^2-2x-3}$: tại $x=3$ cả hai đều bằng 0. Phân tích:
$x^4-x^2-72=(x^2-9)(x^2+8)=(x-3)(x+3)(x^2+8)$; $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$.
Vậy giới hạn $=\frac{(3+3)(3^2+8)}{3+1}=\frac{6\cdot 17}{4}=\frac{102}{4}=\frac{51}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 130 (lời giải do AI cung cấp, trang 27 chỉ in đề):

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$

Khi $x\to 1$: tử số $1-\sqrt{x^2+3}\to 1-\sqrt{4}=-1\ne 0$; mẫu số $-x^2+3x-2=-(x-1)(x-2)\to 0$.

Xét dấu hai phía:
- Với $x\to 1^{-}$: $(x-1)(x-2)>0$ nên mẫu số âm, do đó $\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}\to \frac{-1}{0^{-}}=+\infty$.
- Với $x\to 1^{+}$: $(x-1)(x-2)<0$ nên mẫu số dương, do đó biểu thức $\to \frac{-1}{0^{+}}=-\infty$.

Hai giới hạn một bên khác nhau, nên $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$ không tồn tại.

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-4}$

Nhân liên hợp:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(4x+1)-9}{(x^2-4)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4(x-2)}{(x-2)(x+2)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4}{(x+2)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\frac{4}{4\cdot 6}=\frac{1}{6}.$$

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-\sqrt{x+2}}{x^3-8}$

Nhân liên hợp với $x+\sqrt{x+2}$:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-(x+2)}{(x^3-8)\left(x+\sqrt{x+2}\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x^2+2x+4)\left(x+\sqrt{x+2}\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+1}{(x^2+2x+4)\left(x+\sqrt{x+2}\right)}=\frac{3}{12\cdot 4}=\frac{1}{16}.$$

Kết quả: a) không tồn tại (trái $+\infty$, phải $-\infty$); b) $\frac{1}{6}$; c) $\frac{1}{16}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: a) Thay trực tiếp $x=2$: $\frac{2^2+2-2}{2-1}=\frac{4}{1}=4\ne 3$, nên khẳng định a) SAI. b) Với $x\ne 1$: $\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2$, do đó $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }(x+2)=3$, khẳng định b) ĐÚNG. c) $f(1)=2a-1$ phụ thuộc tham số $a$, không cố định bằng $1$, nên khẳng định c) SAI. d) Với $a=2$ thì $f(1)=2\cdot 2-1=3=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$, nên $f$ liên tục tại $x=1$; khẳng định d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=2$: $\frac{4+2-2}{2-1}=4\ne 3$, nên SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$, $\frac{x^2+x-2}{x-1}=x+2$, nên $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=3$: ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=2a-1$ phụ thuộc $a$, không chắc bằng $1$: SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=2$, $f(1)=3=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ nên $f$ liên tục tại $x=1$: ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 1$, $x\ne 1$ nên $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 2$, $x\ne 2$ nên $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to 2+2=4$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 3$, $x\ne 3$ nên $\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\to 3+3=6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của giới hạn: $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[3f(x)-4g(x)\right]=3\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)-4\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=3\cdot 2-4\cdot (-1)=6+4=10$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=x^2+3x-4$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó giới hạn tại $x=2$ bằng giá trị của hàm tại đó: $\underset{x\to 2}{\lim }(x^2+3x-4)=2^2+3\cdot 2-4=4+6-4=6$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -3$, tử số $2x+5\to 2(-3)+5=-1<0$, mẫu số $(x+3{)}^2\to 0^{+}$ (luôn dương). Do đó $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{2x+5}{(x+3{)}^2}=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$. Vậy đáp án là C.