Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $f(x)=\frac{(3x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{x+1}$ với $x\ne 1,x\ne -1$. a) ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\lim \frac{3x-1}{x+1}=3$ → đúng. b) ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{3-1}{1+1}=1$ → đúng. c) ${\lim }_{x\to -2}f(x)=\frac{-6-1}{-2+1}=\frac{-7}{-1}=7$ → đúng. d) SAI: mẫu số bằng 0 tại $x=-1$ với tử bằng 8, nên hàm không xác định và không liên tục tại $x=-1\in (-\infty ;1)$; do đó hàm không liên tục trên khoảng $(-\infty ;1)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x^2$: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{3-4/x+1/x^2}{1-1/x^2}=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$, rút gọn $f(x)=\frac{(3x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{x+1}$, thay $x=1$: $\frac{2}{2}=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)=\frac{3(-2)-1}{-2+1}=\frac{-7}{-1}=7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x^2-1=0$ tại $x=\pm 1$. Tại $x=-1$: tử bằng $3(-1{)}^2-4(-1)+1=8\ne 0$, nên $f$ không xác định tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại (không thể khử nhân tử). Vì $-1\in (-\infty ;1)$, hàm số không liên tục trên khoảng $(-\infty ;1)$ → ý d SAI. (Rút gọn $f(x)=\frac{3x-1}{x+1}$ chỉ hợp lệ khi $x\ne 1$ và $x\ne -1$.)

a) Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-3n}{4n^2-2n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2\left(-\frac{3}{n}\right)}{n^2\left(4-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-\frac{3}{n}}{4-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}=0$. : 0,5 điểm
b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x}{\sqrt{9+x}-3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x\left(\sqrt{9+x}+3\right)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left[4\left(\sqrt{9+x}+3\right)\right]=24$. : 0,5 điểm

a) Ta có: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n+2}{n^2+n+1}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^2\left(1+\frac{2}{n}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}=0$. : 0,5 điểm
b) ${\lim }_{x\to 2}\frac{x-2}{\sqrt{7+x}-3}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)\left(\sqrt{7+x}+3\right)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\left(\sqrt{7+x}+3\right)=6$. : 0,5 điểm

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$, nên $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\frac{-1}{2}$. Mặt khác $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}$ và $f(1)=-\frac{1}{2}$.
a) Sai: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$.
b) Đúng: $g(x)=x^2-3x+1$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục tại $x_0=1$ (và $g(1)=-1$).
c) Sai: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}$ còn $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=g(1)=-1\ne \frac{1}{2}$.
d) Đúng: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=-\frac{1}{2}$ nên $f$ liên tục tại $x_0=1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn với $x>1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$, nên $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\frac{-1}{2}\ne \frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=x^2-3x+1$ là hàm đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$, nên liên tục tại $x_0=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}$ (hai giới hạn trái phải đều bằng $-\frac{1}{2}$), còn $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=g(1)=-1\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}=f(1)$ nên $f$ liên tục tại $x_0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x+1}$ liên tục tại $x=1$ vì mẫu số $x+1=2\ne 0$. Do đó thay trực tiếp $x=1$: tử số $1^2-2\cdot 1+3=2$, mẫu số $1+1=2$, nên giới hạn bằng $\frac{2}{2}=1$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{17x^2+12x+2025}\sim \sqrt{17}|x|=-\sqrt{17}x$. Để giới hạn tồn tại (bằng 0), cần $a=\sqrt{17}$. Khi đó:
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{17x^2+12x+2025}-\sqrt{17}x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{17x^2+12x+2025-17x^2}{\sqrt{17x^2+12x+2025}+\sqrt{17}|x|}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{12x+2025}{-2\sqrt{17}x}=\frac{12}{-2\sqrt{17}}=-\frac{6}{\sqrt{17}}.$$
Vậy $b=-\frac{6}{\sqrt{17}}$ và $a+b=\sqrt{17}-\frac{6}{\sqrt{17}}=\frac{11}{\sqrt{17}}\approx \frac{11}{4.1231}\approx 2.67$.

(AI giải đề cho tôi)
Phân thức dạng 0/0 khi $x\to -2$. Phân tử: $-2x^2-6x-4=-2(x^2+3x+2)=-2(x+1)(x+2)$; phân mẫu: $5x+10=5(x+2)$. Vậy $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{-2(x+1)(x+2)}{5(x+2)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{-2(x+1)}{5}=\frac{-2(-1)}{5}=\frac{2}{5}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích tử số: $3x^2-4x-4=(3x+2)(x-2)$. Với $x\to 2$, $x\ne 2$ nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(3x+2)(x-2)}{4(x-2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3x+2}{4}=\frac{6+2}{4}=2$. Vậy đáp án A.

a) hàm số ${\lim }_{x\to 2}\left(3x^3-2x+1\right)=3.2^3-2.2+1=21\Rightarrow$ ĐÚNG

b) Hàm số xác định khi $2x-3\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{3}{2}\Rightarrow$ hàm số không liên tục tại $x_0=1\Rightarrow$ SAI

c) ${\lim }_{x\to 1}\left[3f(x)-2g(x)+2025\right]=3{\lim }_{x\to 1}f(x)-2{\lim }_{x\to 1}g(x)+{\lim }_{x\to 1}2025=2009\Rightarrow$ ĐÚNG

d) ${\lim }_{x\to -\infty }\left(\sqrt{2025x^2+bx+1}+ax\right)=-\frac{1}{90}\Rightarrow {\lim }_{x\to -\infty }\left(\frac{2025x^2+bx+1-(ax{)}^2}{\sqrt{2025x^2+bx+1}-ax}\right)=-\frac{1}{90}$

$\Rightarrow {\lim }_{x\to -\infty }\left[\frac{(2025-a^2)x^2+x\left(b+\frac{1}{x}\right)}{-x\left(\sqrt{2025+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}}+a\right)}\right]=-\frac{1}{90}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2025-a^2=0\\ \frac{b}{-(45+a)}=-\frac{1}{90}\end{array}(a\ne -45)\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=45\\ b=1\end{array}$

$\Rightarrow a+b=46\Rightarrow$ SAI
a) a) hàm số ${\lim }_{x\to 2}\left(3x^3-2x+1\right)=3.2^3-2.2+1=21\Rightarrow$ ĐÚNG
b) b) Hàm số xác định khi $2x-3\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{3}{2}\Rightarrow$ hàm số không liên tục tại $x_0=1\Rightarrow$ SAI
c) c) ${\lim }_{x\to 1}\left[3f(x)-2g(x)+2025\right]=3{\lim }_{x\to 1}f(x)-2{\lim }_{x\to 1}g(x)+{\lim }_{x\to 1}2025=2009\Rightarrow$ ĐÚNG
d) d) ${\lim }_{x\to -\infty }\left(\sqrt{2025x^2+bx+1}+ax\right)=-\frac{1}{90}\Rightarrow {\lim }_{x\to -\infty }\left(\frac{2025x^2+bx+1-(ax{)}^2}{\sqrt{2025x^2+bx+1}-ax}\right)=-\frac{1}{90}$

$\Rightarrow {\lim }_{x\to -\infty }\left[\frac{(2025-a^2)x^2+x\left(b+\frac{1}{x}\right)}{-x\left(\sqrt{2025+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}}+a\right)}\right]=-\frac{1}{90}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2025-a^2=0\\ \frac{b}{-(45+a)}=-\frac{1}{90}\end{array}(a\ne -45)\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=45\\ b=1\end{array}$

$\Rightarrow a+b=46\Rightarrow$ SAI

Chọn B
Bấm máy (màn hình máy tính hiển thị: $2x^3-x^2+1$ với kết quả $-2.000000001\times 10^{27}$)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(x+3{)}^2-9=x^2+6x+9-9=x^2+6x=x(x+6)$. Với $x\to 0$ và $x\ne 0$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{x(x+6)}{x}={\lim }_{x\to 0}(x+6)=6$. Vậy giới hạn bằng $6$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của giới hạn: $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[3f(x)-4g(x)\right]=3\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)-4\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=3\cdot 2-4\cdot 3=6-12=-6$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x+1}$ liên tục tại $x=1$ vì mẫu $x+1=2\ne 0$. Do đó thay trực tiếp $x=1$: tử số $1^2-2\cdot 1+3=2$, mẫu $1+1=2$, nên giới hạn bằng $\frac{2}{2}=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x$ (với $x\to -\infty$): $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x+1}{-x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4+\frac{1}{x}}{-1+\frac{1}{x}}=\frac{4}{-1}=-4$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, ta có $\sqrt{x^4-x}\sim \sqrt{x^4}=x^2$ (vì $x^4$ trội) và mẫu $1-2x\to +\infty$ với $1-2x\sim -2x$. Do đó $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^4-x}}{1-2x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{-2x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{x}{2}\right)=+\infty .$$ Vậy mệnh đề đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 0^{+}$ thì $x>0$ nên $\frac{1}{x}\to +\infty$, do đó mệnh đề A đúng và mệnh đề B sai. Với $x\to 0^{+}$, $x^5>0$ nên $\frac{1}{x^5}\to +\infty$ (C đúng); $\sqrt{x}>0$ nên $\frac{1}{\sqrt{x}}\to +\infty$ (D đúng). Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1^{+}$ thì tử số $4x-3\to 4\cdot 1-3=1>0$, còn mẫu số $x-1\to 0^{+}$ (dương vì $x>1$). Do đó $\frac{4x-3}{x-1}$ là phân số có tử dương và mẫu dương tiến đến 0, nên $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{4x-3}{x-1}=+\infty$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{4x+1}-1=\frac{4x}{\sqrt{4x+1}+1}$. Do đó $K=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x}{x(x-3)\left(\sqrt{4x+1}+1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4}{(x-3)\left(\sqrt{4x+1}+1\right)}=\frac{4}{(-3)(1+1)}=-\frac{2}{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -2$, tử số $x+1\to -1$ (khác 0) và mẫu số $(x+2{)}^2\to 0^{+}$ (luôn dương vì là bình phương). Do đó $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+1}{(x+2{)}^2}=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$. Vậy đáp án A.