Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là tâm đáy. AC = 2√2 nên AO = √2. Tam giác SOA vuông tại O: SO = √(SA² − AO²) = √(9 − 2) = √7. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là φ = SAO, nên tanφ = SO/AO = √7/√2 = √(7/2) (loại B), và cosφ = AO/SA = √2/3. Vậy D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$. Đáy hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$. Do đó $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}/3}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra $\widehat{SCA}=30^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B$ là hình chiếu của $B^{\prime }$ lên $(ABCD)$. Góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $AB$, tức góc $B^{\prime }AB$. Trong tam giác vuông $AB{B}^{\prime }$ vuông tại $B$ với $AB=B{B}^{\prime }$ (cạnh hình lập phương), ta có $\tan \widehat{B^{\prime }AB}=\frac{B{B}^{\prime }}{AB}=1$, suy ra góc bằng $45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$. Đáy là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$. Khi đó $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, suy ra $\widehat{SCA}=30^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy $(ABC)$. Do đó hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$ là $AC$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó trên $(ABC)$, tức là góc giữa $SC$ và $AC$ (góc $SCA$). Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Do đó $AB$ (nằm trong $(ABC)$) là hình chiếu của đường thẳng $SB$ trên $(ABC)$. Theo định nghĩa, góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu của nó, tức là góc giữa $SB$ và $AB$ (cũng chính là góc $\widehat{SBA}$ trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường bay trong 1 phút: $s=240\cdot \frac{1}{60}=4$ km. Góc cất cánh $\alpha$ thỏa $\sin \alpha =\frac{1,035}{4}=0,25875$, suy ra $\alpha =\arcsin (0,25875)\approx 15,0^{\circ }$. Vậy góc cất cánh làm tròn đến hàng đơn vị là $15^{\circ }$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $BC=4a$ nên đường trung bình $AM=\frac{BC}{2}=2a$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AM$ là hình chiếu của $SM$ lên $(ABC)$, góc giữa $SM$ và $(ABC)$ là $\widehat{SMA}$. Trong tam giác vuông $SAM$ (vuông tại $A$): $\tan \widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=\frac{2a}{2a}=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt đáy, do đó góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $SBA$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA=2$, $AB=2$ (cạnh tam giác đều), nên $\tan (SBA)=\frac{SA}{AB}=\frac{2}{2}=1$, suy ra góc $SBA=45^0$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $C$ là hình chiếu của $C^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$. Đường thẳng $A{C}^{\prime }$ cắt $(ABCD)$ tại $A$, hình chiếu của nó trên $(ABCD)$ là $AC$. Do đó góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $AC$, tức là $\angle C^{\prime }AC$. (Chú ý: $\angle C^{\prime }CA$ là góc giữa $A{C}^{\prime }$ với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.) Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $B$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$. Hình chiếu của $C$ trên $(ABCD)$ là chính nó, do đó hình chiếu của $SC$ là $BC$. Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SC$ và $BC$, tức là góc $SCB$ (cũng là góc $SCD$ nhưng chỉ có $SCB$ trong các đáp án). Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy. Đường thẳng $SC$ cắt mặt đáy tại $C$, hình chiếu của $SC$ trên mặt đáy là $AC$. Do đó góc giữa $SC$ và mặt đáy là góc giữa $SC$ và $AC$, tức là $\widehat{SCA}$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD).
a) Vì SA ⊥ (ABCD) nên AB là hình chiếu của SB lên mặt đáy, do đó góc giữa SB và mặt đáy là góc giữa SB và AB, tức là góc SBA. Đúng.
b) ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD; lại SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD. Từ đó BD ⊥ (SAC). Mà BD nằm trong (SBD), nên (SAC) ⊥ (SBD). Đúng.
c) Vì SA ⊥ (ABCD) nên góc giữa SA và mặt đáy là góc vuông (90°), không phải góc nhọn. Sai.
d) SA ⊥ (ABCD) tại A nên khoảng cách từ S đến mặt đáy là SA. Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB là hình chiếu của SB trên mặt đáy (vì SA ⊥ (ABCD)), nên góc giữa SB và mặt đáy là góc SBA.
b) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD (hình vuông) và SA ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC), suy ra (SAC) ⊥ (SBD).
c) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) nên góc giữa SA và mặt đáy bằng 90°, là góc vuông chứ không nhọn.
d) (AI giải đề cho tôi)
SA vuông góc với mặt đáy tại A nên d(S,(ABCD)) = SA.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Khi đó $B$ là hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$, nên góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là góc giữa $SC$ và $SB$, tức là $\widehat{BSC}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

a) Ta có:
$$\{\begin{array}{l}(A^{\prime }AB)\perp (ABC)\\ (A^{\prime }AC)\perp (ABC)\\ (A^{\prime }AB)\cap (A^{\prime }AC)=A{A}^{\prime }\end{array}\}\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp (ABC)$$

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

b) $A{A}^{\prime }\perp (ABC)\Rightarrow \left(A^{\prime }B,(ABC)\right)=\left(A^{\prime }B,AB\right)=\widehat{AB{A}^{\prime }}$
Tam giác $A{A}^{\prime }B$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{AB{A}^{\prime }}=\frac{A{A}^{\prime }}{AB}=\frac{a}{a}=1\Rightarrow \widehat{AB{A}^{\prime }}=45^{\circ }$
Vậy $\left(A^{\prime }B,(ABC)\right)=45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$ (cùng vuông với $SA$ và $AB$). Do đó $BS$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng $(SAB)$, nên góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là $\widehat{BSC}$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $A^{\prime }C$ lên $(ABCD)$, góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }CA}$. Trong $(ABCD)$: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$. Tam giác $A^{\prime }AC$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}=\frac{3a}{a\sqrt{3}}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{A^{\prime }CA}=60^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AD$ là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$, góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$. Trong tam giác vuông $SAD$ (vuông tại $A$): $AD=BC=1$, $SA=\sqrt{3}$, nên $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{SDA}=60^0$. (Kiểm tra: $SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=2$.) Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=\sqrt{3}a$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{3a}{\sqrt{3}a}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{SCA}=60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB=\sqrt{2}a$ nên $AC=AB\sqrt{2}=2a$. Trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$): $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{2a}{2a}=1$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Vậy đáp án là B.