Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì AB ∥ CD nên góc giữa SC và AB bằng góc giữa SC và CD, tức góc SCD. Tam giác SCD cân tại S với SC = SD = 219m, CD = 230m. Gọi H là trung điểm CD thì CH = 115m, SH ⊥ CD, nên cos(SCD) = CH/SC = 115/219 ≈ 0,5251. Suy ra góc SCD ≈ 58,33° ≈ 58°. Vậy góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB khoảng 58°.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian: góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ là góc giữa hai đường thẳng $a^{\prime }$ và $b^{\prime }$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với $a$ và $b$. Do đó đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hình lập phương cạnh $a$ với tọa độ $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $A^{\prime }(0,0,a)$, $B^{\prime }(a,0,a)$, $C^{\prime }(a,a,a)$. Khi đó $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a,0,a)$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a,a,0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=a^2+0+0=a^2\ne 0$... kiểm tra lại: thực chất $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a,a,0)$, tích vô hướng $=a^2+0+0=a^2$. Xét lại cẩn thận: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a,0,a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a,a,0)$, tích vô hướng $a\cdot a+0\cdot a+a\cdot 0=a^2$, $\cos =\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, suy ra góc bằng $60^{\circ }$. Vậy góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $60^{\circ }$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBC$, $I$ là trung điểm $SC$, $J$ là trung điểm $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel SB$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $IJ$ và $SC$ bằng góc giữa $SB$ và $SC$, tức là góc $\widehat{BSC}$ của tam giác $SBC$. Vì tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng $a$ nên tam giác $SBC$ cân tại $S$ với $SB=SC=a$ và $BC=a$, tức là tam giác đều. Vậy $\widehat{BSC}=60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $SC$, $J$ là trung điểm $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SBC$, suy ra $IJ\parallel SB$. Do đó góc $(IJ,CD)=(SB,CD)$. Vì $ABCD$ là hình vuông (tất cả cạnh bằng $a$) nên $CD\parallel AB$, do đó $(SB,CD)=(SB,AB)$. Tam giác $SAB$ có $SA=SB=AB=a$ là tam giác đều, nên góc giữa $SB$ và $AB$ bằng $60^{\circ }$. Vậy góc $(IJ,CD)=60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A: $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (hai đường chéo của hai mặt song song) và $BD\perp AC$ (hai đường chéo vuông góc của hình vuông $ABCD$), nên góc giữa $AC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Đúng.
- B: $B^{\prime }{D}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ song song với đáy, còn $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mặt phẳng này, nên $A{A}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$, góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$. Khẳng định SAI.
- C: $AD\parallel BC$, tam giác $B^{\prime }BC$ vuông cân tại $B$ ($B^{\prime }B=BC$) nên góc giữa $BC$ và $B^{\prime }C$ bằng $45^{\circ }$. Đúng.
- D: $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và $BD\perp AC$, nên góc giữa $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Đúng.
Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Khối gỗ có hai đáy ABCD và A'B'C'D' là hình chữ nhật song song (cắt theo mặt phẳng (P) qua C song song với (A'B'C'D')). Các cạnh bên: AA' = BB' = 1 m, CC' = DD' = 65 cm = 0,65 m; AD = B'C' = 4 m. Mặt cắt (P) giao với mặt bên B'C'CB theo đường thẳng qua C song song với B'C' — đây là đường lưỡi cắt. Trong hình thang vuông B'C'CB (hai đáy song song BC và B'C' cùng dài 4 m, hai cạnh bên BB' = 1 m và CC' = 0,65 m), độ chênh cao giữa B' và C' là 1 − 0,65 = 0,35 m trên chiều dài ngang 4 m. Góc giữa BC và lưỡi cắt thỏa tan θ = 0,35/4 = 0,0875, nên θ = arctan(0,0875) ≈ 5,00°. Vậy bác Minh cần đặt mép BC tạo với lưỡi cắt một góc khoảng 5°.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng vuông góc trong không gian có thể cắt nhau (giao nhau tạo góc 90°) hoặc chéo nhau (góc giữa chúng bằng 90°). Ví dụ: trong hình lập phương, cạnh AB vuông góc với cạnh BC (cắt nhau) và AB cũng vuông góc với cạnh D₁C₁ (chéo nhau). Do đó đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp BC$ và $SB\perp BA$ với $BA,BC$ cắt nhau tại $B$ nên $SB\perp (ABCD)$. Do $DA\parallel BC$, góc giữa $SC$ và $DA$ bằng góc giữa $SC$ và $BC$, tức là góc $\widehat{SCB}$ trong tam giác $SBC$ vuông tại $B$. Ta có $SB=\sqrt{5}a$, $BC=a$ nên $SC=\sqrt{S{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6}a$. Khi đó $\cos \widehat{SCB}=\frac{BC}{SC}=\frac{1}{\sqrt{6}}$, suy ra góc $\approx 65,91^{\circ }$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, trong không gian hai đường thẳng $a,b$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$ (kể cả khi chúng cắt nhau hoặc chéo nhau). Do đó đáp án đúng là B. Các phương án A, C, D chỉ là các trường hợp đặc biệt hoặc không đủ điều kiện để kết luận vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(0;2;0)$, $S(0;0;2)$ (vì $SA\perp (ABC)$). Khi đó $O$ trung điểm $BC$ là $O(1;1;0)$. Ta có $\overrightarrow{SB}=(2;0;-2)$, $\overrightarrow{AO}=(1;1;0)$. Vậy $\cos (SB,AO)=\frac{|2+0+0|}{\sqrt{8}\sqrt{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Suy ra góc giữa $SB$ và $AO$ bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, vì $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ và $AB=BC=a$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, do đó $C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $D=B+C-A=\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$. Vì $SA=SB=SC=a$ nên $S$ nằm trên đường thẳng qua tâm đều $O\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{6};0\right)$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với $(ABC)$, với $SO=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}$. Vậy $S\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{6};a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$. Suy ra $\overrightarrow{SD}=\left(a;\frac{a\sqrt{3}}{3};-a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$, $|SD{|}^2=a^2+\frac{a^2}{3}+\frac{2a^2}{3}=2a^2\Rightarrow |SD|=a\sqrt{2}$. Vì $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$ song song với trục $Ox$: $\cos (SD,AB)=\frac{|\overrightarrow{SD}\cdot \overrightarrow{AB}|}{|SD|\cdot |AB|}=\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng a và b (kể cả khi song song) có số đo α thỏa mãn $0^0\le \alpha \le 90^0$. Nếu hai đường thẳng vuông góc thì α = 90°, nếu song song hoặc trùng nhau thì α = 0°. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel AB$ nên góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $AB$, tức là góc $A^{\prime }BA$. Tam giác $A^{\prime }BA$ vuông tại $A$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$) và $A{A}^{\prime }=AB$ (cạnh hình lập phương), nên tam giác vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat{A^{\prime }BA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $AB\perp BC$ (vì $ABCD$ là hình vuông). Suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp BC$. Kiểm tra các phương án khác: đặt cạnh lập phương bằng 1 với hệ trục $B(0,0,0)$, $C(1,0,0)$, $A(0,1,0)$, $D^{\prime }(1,1,1)$ thì $\overrightarrow{BC}=(1,0,0)$; $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(1,1,1)$ có tích vô hướng với $\overrightarrow{BC}$ bằng $1\ne 0$; $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(1,0,1)$ tích vô hướng bằng $1\ne 0$; $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(1,0,1)$ tích vô hướng bằng $1\ne 0$. Vậy chỉ có $A^{\prime }{B}^{\prime }$ vuông góc với $BC$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$. Xét từng phương án: $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B{B}^{\prime }\perp BC$, mà $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ nên $B{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ (chúng cắt nhau tại $B^{\prime }$). Các phương án khác: $A^{\prime }D$ chéo nhau với $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và không vuông góc; $AC$ không vuông góc với $BC$ nên không vuông góc với $B^{\prime }{C}^{\prime }$; $A{D}^{\prime }$ chéo nhau với $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và không vuông góc. Vậy đáp án là $B{B}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $D{D}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $D{D}^{\prime }\perp AB$ (vì $AB\subset (ABCD)$). Kiểm tra các phương án khác: $AC$ tạo với $AB$ góc $45^{\circ }$ nên không vuông góc; $BD$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và cắt $AB$ tại $B$ với góc $45^{\circ }$ nên không vuông góc; $A{B}^{\prime }$ tạo với $AB$ góc $45^{\circ }$ (tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông cân tại $B$) nên không vuông góc. Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),D^{\prime }(0,1,1)$, khi đó $\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$; $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(0,0,1)$ có tích vô hướng bằng $0$ nên vuông góc; còn $\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$, $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1,1,1)$ đều có tích vô hướng với $\overrightarrow{AB}$ khác $0$. Vậy chỉ có $D{D}^{\prime }\perp AB$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $D{D}^{\prime }\perp D^{\prime }{C}^{\prime }$. Suy ra $A{A}^{\prime }\perp D^{\prime }{C}^{\prime }$ (đường thẳng song song với một đường thẳng vuông góc thì cũng vuông góc). Kiểm tra các phương án khác: $D^{\prime }{B}^{\prime }$ nằm trong mặt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và tạo với $D^{\prime }{C}^{\prime }$ góc $45^{\circ }$ (không vuông góc); $AC$ và $BD$ nằm trong mặt đáy $(ABCD)$, chéo vuông góc với $B{D}^{\prime }$ chứ không vuông góc với $D^{\prime }{C}^{\prime }$ (chiếu của $AC$ lên mặt trên là $A^{\prime }{C}^{\prime }$, mà $A^{\prime }{C}^{\prime }$ không vuông góc $D^{\prime }{C}^{\prime }$). Vậy đáp án là $A{A}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, $BC\perp AB$ và $BC\perp B{B}^{\prime }$ nên $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Do đó $BC$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, đặc biệt $BC\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ (vì $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$). Kiểm tra các phương án khác: $B{C}^{\prime }$ và $B{D}^{\prime }$ tạo với $BC$ góc nhọn (không vuông góc); $A{D}^{\prime }$ không vuông góc với $BC$ vì chiếu của $A{D}^{\prime }$ lên đáy là $AD$, mà $AD$ không vuông góc với $BC$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD\perp CD$. Đường thẳng $AD$ cắt cả $SA$ (tại $A$) và $CD$ (tại $D$), đồng thời vuông góc với cả hai, nên $AD$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $CD$. Đáp án A.