Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận mỗi tháng: $P(x)=(x-40)(120-x)=-x^2+160x-4800$, với $40\le x\le 120$ (để có lãi và bán được giày). $P^{\prime }(x)=-2x+160=0\Rightarrow x=80$. Vì $P(x)$ là parabol bậc hai với hệ số $a=-1<0$ nên đạt cực đại tại $x=80$, khi đó $P(80)=40\cdot 40=1600$ đô la. Vậy cửa hàng nên bán mỗi đôi giày với giá 80 đô la để thu lãi cao nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $R(x)=x\cdot T(x)=x(-200x+560)=-200x^2+560x$ (triệu đồng), với $x\ge 0$. Hàm bậc hai với $a=-200<0$ đạt max tại $x=-\frac{560}{2(-200)}=1,4$ (nghìn sản phẩm). Khi đó $R(1,4)=-200(1,96)+560(1,4)=-392+784=392$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (392).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-4;5]$: hàm số đồng biến trên $[-4;-2]$, nghịch biến trên $[-2;4]$, đồng biến trên $[4;5]$. So sánh các giá trị: $f(-4)=\frac{2}{3}$, $f(-2)=\frac{46}{3}$, $f(4)=-\frac{62}{3}$, $f(5)=-\frac{52}{3}$. Vậy $M=\max f=f(-2)=\frac{46}{3}$, $N=\min f=f(4)=-\frac{62}{3}$. Do đó $M+N=\frac{46}{3}-\frac{62}{3}=-\frac{16}{3}$. Khớp đáp án A và bảng đáp án chính thức (mã đề 1202, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-4;5]$, hàm số đạt các giá trị: $f(-4)=\frac{2}{3}$, $f(-2)=\frac{46}{3}$ (cực đại), $f(4)=-\frac{62}{3}$ (cực tiểu), $f(5)=-\frac{52}{3}$. So sánh: giá trị lớn nhất $M=\frac{46}{3}$, giá trị nhỏ nhất $N=-\frac{62}{3}$. Vậy $M+N=\frac{46}{3}-\frac{62}{3}=-\frac{16}{3}$. Kết quả trùng với đáp án B trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ xác định trên $[1;2]$ vì $x+1\ne 0$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [1;2]$, nên hàm số đồng biến tăng trên đoạn này. Do đó giá trị lớn nhất đạt tại $x=2$: $y(2)=\frac{4-1}{2+1}=\frac{3}{3}=1$. (Kiểm tra: $y(1)=\frac{2-1}{1+1}=\frac{1}{2}<1$.) Vậy GTLN là $1$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: $f(-1)=0$, $f(0)=5$ (cực đại), $f(2)=1$ (cực tiểu), $f(3)=4$. Hàm số đồng biến trên $[-1;0]$, nghịch biến trên $[0;2]$, đồng biến trên $[2;3]$. So sánh các giá trị tại hai đầu đoạn và các điểm cực trị: giá trị nhỏ nhất là $\min \{f(-1);f(0);f(2);f(3)\}=\min \{0;5;1;4\}=0=f(-1)$. Giá trị lớn nhất là $5=f(0)$. Do đó khẳng định đúng là $\underset{[-1;3]}{\min }f(x)=f(-1)$, tức phương án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;4)$, $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=2$ (thuộc khoảng). Với $x\in (0;2)$ thì $f^{\prime }<0$, với $x\in (2;4)$ thì $f^{\prime }>0$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2$: $f(2)=2+\frac{4}{2}=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1252, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ xác định trên $[0;3]$ (mẫu khác 0). Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên $[0;3]$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$: $y(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1$. Kiểm tra $y(3)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}>-1$. Vậy $\underset{[0;3]}{\min }y=-1$, khớp với đáp án B trong bảng mã đề 2346.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $P(q)=-q^3+24q^2+780q-5000$ trên $[0;50]$. Có $P^{\prime }(q)=-3q^2+48q+780=-3(q^2-16q-260)=-3(q-26)(q+10)$. Trên $[0;50]$, $P^{\prime }(q)>0$ khi $0\le q<26$ và $P^{\prime }(q)<0$ khi $26<q\le 50$. a) Sai: trên $(26;50]$ hàm số nghịch biến nên sản xuất thêm lợi nhuận giảm. b) Đúng: $P$ đạt cực đại (và là GTLN trên $[0;50]$) tại $q=26$ kg, $P(26)=-17576+16224+20280-5000=13928$ nghìn đồng. c) Đúng: với $q>26$, $P^{\prime }(q)<0$ nên lợi nhuận giảm. d) Đúng: $P(10)=-1000+2400+7800-5000=4200$ nghìn đồng. Kết quả khớp đáp án nguồn SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(q)=-3(q-26)(q+10)$; trên $(26;50]$ thì $P^{\prime }(q)<0$ nên hàm nghịch biến, sản xuất nhiều hơn thì lợi nhuận giảm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(q)=0\Rightarrow q=26$ (nhận $q=-10$ loại). $P$ tăng trên $[0;26)$, giảm trên $(26;50]$ nên GTLN tại $q=26$, $P(26)=13928$ nghìn đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $q\in (26;50]$, $P^{\prime }(q)<0$ nên lợi nhuận giảm dần khi sản xuất thêm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(10)=-1000+2400+7800-5000=4200$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ xác định trên $[0;3]$ (mẫu khác 0). Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;3]$, nên hàm số đồng biến trên đoạn này. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$: $y(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1$. Kiểm tra: $y(3)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}>-1$. Vậy $\underset{[0;3]}{\min }y=-1$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 2345, câu 12: D).

Ta có $y^{\prime }=\frac{1-\ln x}{x^2}$.

$y^{\prime }=0\iff 1-\ln x=0\iff x=e$.

Tính $y(1)=0;y(e)=\frac{1}{e};y(4)=\frac{\ln 4}{4}$.

KL: $\underset{[1;4]}{\max }y=y(e)=\frac{1}{e}$ và $\underset{[1;4]}{\min }y=y(1)=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;2]$: hàm số đạt giá trị lớn nhất ${\max }_{[-2;2]}f(x)=f(-1)=4$ (điểm cực đại) và giá trị nhỏ nhất ${\min }_{[-2;2]}f(x)=f(1)=-4$ (điểm cực tiểu). Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là $4+(-4)=0$. Kết quả khớp với đáp án A trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x+5}{x+1}=\frac{2(x+1)+3}{x+1}=2+\frac{3}{x+1}$. Trên đoạn $[0;1]$, $f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x+1{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến. Do đó $\min f=f(1)=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$ và $\max f=f(0)=2+3=5$. Tổng $\max f+\min f=5+\frac{7}{2}=\frac{17}{2}=8,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;0]$ ta có $f(-1)=1$, $f(0)=-1$, và hàm số giảm trên đoạn này (đi từ điểm có tung độ $1$ tại $x=-1$ xuống điểm cực tiểu có tung độ $-1$ tại $x=0$). Do đó $M={\max }_{[-1;0]}f(x)=1$ và $m={\min }_{[-1;0]}f(x)=-1$. Suy ra $2025M-2026m=2025\cdot 1-2026\cdot (-1)=2025+2026=4051$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$, hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=5$ (tại $x=0$) và giá trị nhỏ nhất $m=0$ (tại $x=-1$). Do đó $M-2m=5-2\cdot 0=5$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án trang 9, hàng mã đề 1102, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[0;4]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=4$ với $f(4)=6$, và giá trị nhỏ nhất tại $x=2$ với $f(2)=1$. Vậy $M=6$, $m=1$, do đó $M+2m=6+2\cdot 1=8$. Đáp án B, trùng với đáp án của đề (mã 0101, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-2;3]$: giá trị lớn nhất $M=4$ đạt tại $x=-1$; giá trị nhỏ nhất $m=-3$ đạt tại $x=-2$ (điểm thấp nhất của đồ thị, thấp hơn điểm $-2$ tại $x=1$). Vậy $m+M=-3+4=1$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 209, Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2;3]$: giá trị lớn nhất $M=4$ đạt tại $x=-1$ (đỉnh của nhánh parabol, có đường nét đứt chỉ tới $y=4$); giá trị nhỏ nhất $m=-3$ đạt tại $x=-2$ (điểm đầu mút trái, thấp hơn điểm $y=-2$ tại $x=1$). Vậy $m+M=-3+4=1$. Kết quả khớp với đáp án B và với bảng đáp án chính thức (Câu 12, Mã đề 132: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+9=3(t-1{)}^2+6$. Với $t>0$, $v(t)\ge 6$ và đạt giá trị nhỏ nhất $v=6$ khi $t=1$ giây. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^4-4x^2+9$ trên $[-2;3]$. Ta có $y^{\prime }=4x^3-8x=4x(x^2-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{2}$ (đều thuộc $[-2;3]$). Tính giá trị: $y(0)=9$; $y(\pm \sqrt{2})=4-8+9=5$; $y(-2)=16-16+9=9$; $y(3)=81-36+9=54$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $5$, đạt tại $x=\pm \sqrt{2}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3: B).