Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Gắn hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.



Giả sử phương trình $(P)$ có dạng $y=a{x}^2+bx+c$.
Sử dụng giả thiết $(P)$ có đỉnh $I(0;20)$ và qua $H(6;14)$ tìm được phương trình $(P)$: $y=-\frac{1}{6}{x}^2+20$.
Gọi $C\left(c;-\frac{1}{6}{c}^2+20\right)$ là đỉnh của hình chữ nhật ABCD (đk $0<c<2\sqrt{30}$).
Suy ra diện tích hình chữ nhật là: $S=2c.\left(-\frac{1}{6}{c}^2+20-4\right)=-\frac{1}{3}{c}^3+32c$.
Tính $S^{\prime }=-c^2+32$, xét dấu và kết luận S đạt gtln khi $c=4\sqrt{2}$.
Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật: $S=120,7m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có đáy $(120-2x)\times (50-2x)$ và chiều cao $x$, với điều kiện $0<x<25$. Thể tích: $V(x)=x(120-2x)(50-2x)=4x^3-340x^2+6000x$.

$V^{\prime }(x)=12x^2-680x+6000=0\iff x=\frac{680\pm \sqrt{680^2-4\cdot 12\cdot 6000}}{24}=\frac{680\pm \sqrt{174400}}{24}$.

Vì $\sqrt{174400}\approx 417,61$, hai nghiệm là $x\approx 10,93$ và $x\approx 45,73$. Chỉ $x\approx 10,93$ thuộc $(0;25)$.

Trên $(0;25)$: $V^{\prime }(x)>0$ khi $x<10,93$ và $V^{\prime }(x)<0$ khi $x>10,93$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x\approx 10,93$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $x=11$ (cm). Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 1: 11).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $N(t)=\frac{10000}{1+99e^{-0.46t}}$ là hàm logistic. Tốc độ lây lan $N^{\prime }(t)=\frac{10000\cdot 99\cdot 0.46e^{-0.46t}}{(1+99e^{-0.46t}{)}^2}>0$. Tốc độ lây lan của hàm logistic đạt lớn nhất khi $1+99e^{-0.46t}=2$, tức $99e^{-0.46t}=1\Rightarrow t=\frac{\ln 99}{0.46}\approx \frac{4.5951}{0.46}\approx 9.99\approx 10$ tuần. Cách khác: $N^{\prime }(t)$ lớn nhất khi $N^{\prime \prime }(t)=0$, giải tương tự được cùng kết quả. Vậy vào khoảng tuần thứ 10 tốc độ lây lan lớn nhất, khớp với đáp án nguồn (10).

Gắn hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ .

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Giả sử phương trình $(P)$ có dạng $y=a{x}^2+bx+c$.
Sử dụng giả thiết $(P)$ có đỉnh $I(0;15)$ và qua $H(5;10)$ tìm được phương trình $(P)$: $y=-\frac{1}{5}{x}^2+15$.
Gọi $C(c;-\frac{1}{5}{c}^2+15)$ là đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$ (đk $0<c<\sqrt{75}$).
Suy ra diện tích hình chữ nhật là: $S=2c.\left(-\frac{1}{5}{c}^2+15-3\right)=-\frac{2}{5}{c}^3+24c$.
Tính $S^{\prime }=-\frac{6}{5}{c}^2+24$, xét dấu và kết luận $S$ đạt gtln khi $c=2\sqrt{5}$.
Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật: $S=71,6m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí gồm chi phí cố định 10 triệu đồng, chi phí biến đổi $0,05x$ triệu đồng và chi phí xử lý rác thải, hao mòn $0,001x^2$ triệu đồng, nên $C(x)=0,001x^2+0,05x+10$ với $0\le x\le 300$ → a) Đúng.
Với $x=50$: $C(50)=0,001\cdot 2500+0,05\cdot 50+10=2,5+2,5+10=15$ triệu đồng, không phải 12,5 triệu đồng → b) Sai.
Chi phí trung bình $\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=0,001x+0,05+\frac{10}{x}$, khác biểu thức $0,001x+10+\frac{0,05}{x}$ đã cho → c) Sai.
Xét $\overline{C}(x)=0,001x+\frac{10}{x}+0,05$ trên $(0;300]$, có ${\overline{C}}^{\prime }(x)=0,001-\frac{10}{x^2}=0\iff x=100$; $\overline{C}$ giảm trên $(0;100)$ và tăng trên $(100;300)$ nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=100$, với $\overline{C}(100)=0,1+0,1+0,05=0,25$ triệu đồng/sản phẩm → d) Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 1204, Câu 1): a)Đ - b)S - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$C(x)=10+0,05x+0,001x^2=0,001x^2+0,05x+10$ (triệu đồng), đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$C(50)=0,001\cdot 50^2+0,05\cdot 50+10=2,5+2,5+10=15$ triệu đồng, không phải 12,5 triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overline{C}(x)=\frac{0,001x^2+0,05x+10}{x}=0,001x+0,05+\frac{10}{x}$, khác biểu thức đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\overline{C}}^{\prime }(x)=0,001-\frac{10}{x^2}=0\Rightarrow x=100$; $\overline{C}$ giảm trên $(0;100)$, tăng trên $(100;300)$ nên chi phí trung bình nhỏ nhất tại $x=100$ sản phẩm/ngày.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí sản xuất $x{m}^3$ mỗi ngày gồm: chi phí cố định 3 triệu đồng, chi phí sản phẩm $0,15x$ triệu đồng và chi phí bảo dưỡng $0,0003x^2$ triệu đồng, với $0\le x\le 200$.
a) $C(x)=0,0003x^2+0,15x+3$, không phải $+5$ → Sai.
b) $C(100)=0,0003\cdot 100^2+0,15\cdot 100+3=3+15+3=21$ triệu đồng $\ne 18$ → Sai.
c) $\overline{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$ với $0<x\le 200$ → Đúng.
d) Xét $\overline{c}(x)=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$ trên $(0;200]$. ${\overline{c}}^{\prime }(x)=0,0003-\frac{3}{x^2}=0\iff x^2=10000\iff x=100$ (nhận). Vì ${\overline{c}}^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{x^3}>0$ nên $\overline{c}$ đạt nhỏ nhất tại $x=100$, giá trị nhỏ nhất $\overline{c}(100)=0,03+0,15+0,03=0,21$ triệu đồng/m³ → Đúng. Khớp đáp án nguồn (mã 1203, Câu 4): a)S - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C(x)=0,0003x^2+0,15x+3$ (chi phí cố định là 3 triệu đồng, không phải 5).
b) (AI giải đề cho tôi)
$C(100)=3+15+3=21$ triệu đồng, không phải 18 triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$ với $0<x\le 200$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\overline{c}}^{\prime }(x)=0,0003-\frac{3}{x^2}=0\iff x=100\in (0;200]$ và ${\overline{c}}^{\prime \prime }(100)>0$, nên chi phí trung bình nhỏ nhất tại $x=100m^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $x(200-x)$. Chi phí biến đổi: $100x$, chi phí cố định: $1200$. Lợi nhuận $P(x)=x(200-x)-100x-1200=-x^2+100x-1200=-{\left(x-50\right)}^2+1300$. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=50$ (thuộc $[10;100]$), khi đó lợi nhuận lớn nhất là $1300$ nghìn đồng. Vậy cần bán $50$ chiếc áo, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1203, Câu 5 = 50).

(AI giải đề cho tôi)
a) Vụ vừa qua thả mật độ 1 kg/m² trên 100 m² nên thả 100 kg → đúng.
b) Giảm 200 g/m² tương ứng giảm 20 kg trên 100 m² (x = 20), sản lượng đạt 2,2 tấn = 2200 kg → đúng.
c) Dữ kiện nguồn chỉ cho F(0) = 2000 và F(20) = 2200. Thay x = 20 vào biểu thức proposed $F(x)=2000+\frac{35}{2}x-\frac{5}{8}{x}^2$ được $F(20)=2100\ne 2200$ → sai.
d) Từ dữ kiện, mỗi kg thả ít đi (trên 100 m²) làm sản lượng tăng 10 kg nên $F(x)=2000+10x$ đồng biến trên $(0;100)$; sản lượng lớn nhất khi thả ít đi nhiều nhất, không phải khi thả 86 kg → sai. Kết quả khớp đáp án nguồn mã đề 102: 4a Đúng, 4b Đúng, 4c Sai, 4d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mật độ 1 kg/m² nhân diện tích 100 m² cho 100 kg tôm giống.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giảm 200 g/m² trên 100 m² tương ứng giảm 20 kg tôm giống (x = 20), khi đó sản lượng là 2,2 tấn = 2200 kg.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ dữ kiện nguồn: F(0) = 2000 và F(20) = 2200. Với hàm proposed $F(x)=2000+\frac{35}{2}x-\frac{5}{8}{x}^2$ ta có $F(20)=2000+350-250=2100\ne 2200$, nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo dữ kiện, cứ giảm 200 g/m² (tức 20 kg trên 100 m²) thì sản lượng tăng thêm 200 kg, tức mỗi kg thả ít đi làm sản lượng tăng 10 kg: $F(x)=2000+10x$ trên $(0;100)$. Hàm này đồng biến nên sản lượng lớn nhất khi thả ít đi nhiều nhất (x tiến tới 100, tức thả gần 0 kg tôm giống), không phải thả 86 kg → mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính nửa đường tròn $R=20$ cm. Gọi $x$ là nửa chiều dài đáy hình chữ nhật ($0<x<20$), khi đó chiều cao $y=\sqrt{400-x^2}$. Diện tích $S(x)=2x\sqrt{400-x^2}$. Xét $S^2=4x^2(400-x^2)$, đạo hàm theo $x^2$ cho giá trị lớn nhất khi $x^2=200$, tức $x=10\sqrt{2}$, khi đó $y=10\sqrt{2}$ và $S_{\max }=2\cdot 10\sqrt{2}\cdot 10\sqrt{2}=400$ cm${}^2$. Khớp đáp án C (mã đề 102, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Diện tích ao 100 m², mật độ thả 1 kg/m² nên số tôm giống thả vụ vừa qua là 100·1 = 100 kg. Đúng.
b) Giảm x kg trên 100 m² tương ứng giảm mật độ 10x g/m². Theo kinh nghiệm, giảm 200 g/m² (tức x = 20 kg) thì sản lượng đạt 2,2 tấn = 2200 kg. Đúng.
c) Từ dữ kiện: giảm 20 kg tôm giống làm sản lượng tăng từ 2000 kg lên 2200 kg, tức mỗi kg giảm bớt cho thêm 10 kg sản lượng. Vậy hàm sản lượng là F(x) = 2000 + 10x, không phải F(x) = 2000 + (35/2)x − (5/8)x² (hàm này cho F(20) = 2100 ≠ 2200). Sai.
d) Với F(x) = 2000 + 10x đồng biến trên (0; 100), sản lượng lớn nhất đạt khi x tiến tới 100 (thả càng ít càng tốt), không phải tại x = 14 hay tương ứng thả 86 kg. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mật độ 1 kg/m² nhân diện tích 100 m² cho 100 kg tôm giống.
b) (AI giải đề cho tôi)
x = 20 kg ứng với giảm 200 g/m², theo đề sản lượng khi đó là 2,2 tấn = 2200 kg.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ dữ kiện suy ra F(x) = 2000 + 10x (giảm 20 kg cho tăng 200 kg). Hàm F(x) = 2000 + (35/2)x − (5/8)x² cho F(20) = 2100 ≠ 2200 nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
F(x) = 2000 + 10x đồng biến trên (0; 100) nên không đạt cực đại tại điểm thả 86 kg; sản lượng lớn nhất khi x tiến tới 100.

(AI giải đề cho tôi)
Tại mỗi đỉnh lục giác đều cạnh 90 cm cắt hai tam giác vuông bằng nhau có cạnh góc vuông nhỏ bằng $x$ dọc theo cạnh, nên cạnh đáy lục giác sau khi cắt là $a=90-2x$ với $0<x<45$. Khi gập lên, chiều cao lăng trụ là cạnh góc vuông còn lại của tam giác vuông (góc $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$): $h=x\sqrt{3}$.

Thể tích lăng trụ lục giác đều:
$$V(x)=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^{2}h=\frac{3\sqrt{3}}{2}(90-2x{)}^2\cdot x\sqrt{3}=\frac{9}{2}x(90-2x{)}^2.$$

Xét $f(x)=x(90-2x{)}^2$ trên $(0;45)$:
$$f^{\prime }(x)=(90-2x{)}^2-4x(90-2x)=(90-2x)(90-6x).$$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=45$ (loại) hoặc $x=15$. Trên $(0;15)$ có $f^{\prime }(x)>0$, trên $(15;45)$ có $f^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=15$.

Vậy $x=15$ (cm), trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 101, Câu 6 = 15).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bán kính đường tròn là $R=20$ cm. Đặt hình chữ nhật có cạnh đáy nằm trên đường kính, hai đỉnh trên cung bán nguyệt tại vị trí cách tâm $O$ một khoảng $x$ ($0<x<20$). Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là $2x$, chiều cao là $y=\sqrt{400-x^2}$. Diện tích $S=2x\sqrt{400-x^2}$, nên $S^2=4x^2(400-x^2)$. Đặt $t=x^2\in (0;400)$, hàm $f(t)=4t(400-t)$ đạt max tại $t=200$ với giá trị $f(200)=4\cdot 200\cdot 200=160000$, tức $S_{\max }=\sqrt{160000}=400$ cm${}^2$. Vậy diện tích lớn nhất là $400$ cm${}^2$, khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: $A^{\prime }B=x$, tổng khoảng cách ngang từ $D$ tới $A^{\prime }$ là $15$ km nên $CD=15-x$, và $AB=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A^{\prime }{B}^2}=\sqrt{64+x^2}$. Tổng thời gian: $\frac{\sqrt{64+x^2}}{31}+\frac{1}{3,7}+\frac{15-x}{30}=1$, tức $\frac{\sqrt{64+x^2}}{31}+\frac{15-x}{30}=1-\frac{1}{3,7}\approx 0,72973$. Thử $x=0,9$: $\sqrt{64,81}\approx 8,0505$, $\frac{8,0505}{31}\approx 0,25969$; $\frac{14,1}{30}=0,47$; tổng $\approx 0,72969\approx 0,72973$. Vậy $x\approx 0,9$ km, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ P(1)=136: -1+15+m+50=136 ⟹ m=72. Vậy P(t)=-t³+15t²+72t+50.
a) P'(t)=-3t²+30t+72 ≠ -3t²+30t+50 ⟹ sai.
b) P'(t)=-3(t-12)(t+2)>0 với mọi t∈[1;12], hàm đồng biến nên lợi nhuận max tại t=12, không phải t=3 ⟹ sai.
c) P(2)=-8+60+144+50=246 triệu đồng ⟹ đúng.
d) Tốc độ thay đổi lợi nhuận là P'(t)=-3t²+30t+72; P”(t)=-6t+30=0 tại t=5, P”>0 với t<5 và P”<0 với t>5 nên P' đạt max tại t=5 (P'(5)=147) ⟹ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì m=72 nên P'(t)=-3t²+30t+72, không phải -3t²+30t+50.
b) (AI giải đề cho tôi)
P'(t)=-3(t-12)(t+2)>0 trên [1;12] nên P đồng biến, đạt max tại t=12.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(2)=-8+60+144+50=246 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
P”(t)=-6t+30 đổi dấu tại t=5, nên P'(t) đạt giá trị lớn nhất tại t=5.

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình vuông $ABCD$: $a^2=144\Rightarrow a=12$ m. Theo hình vẽ, đáy bể là hình chữ nhật $AMEN$ với $M\in AB$, $N\in AD$, $E\in BD$ là đỉnh đối diện với $A$. Gọi $AM=AN=x$ ($0<x<12$) thì các kích thước đáy là $x$ và $12-x$ (do $E$ nằm trên đường chéo $BD$ nên $MB=ND=12-x$).

Diện tích đáy: $S(x)=x(12-x)=12x-x^2$.
$S^{\prime }(x)=12-2x=0\Rightarrow x=6$; vì $S^{\prime \prime }(x)=-2<0$ nên $S$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=6$, khi đáy là hình vuông cạnh 6 m, $S_{max}=36$ m².

Chi phí lát nền: $36\times 1.000.000=36$ triệu đồng.

Diện tích thành bể (4 mặt bên): chu vi đáy $2(6+6)=24$ m, nhân độ sâu 1,5 m: $24\times 1,5=36$ m². Chi phí lát thành: $36\times 500.000=18$ triệu đồng (đơn vị m³ trong đề là lỗi đánh máy, lát gạch tính theo diện tích m²).

Tổng chi phí: $36+18=54$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $T(x)=x\cdot C(x)=9x^2-300x+400$. Khi chính phủ đánh thuế $15\%$ trên một đơn vị sản phẩm, chi phí mỗi đơn vị tăng thêm $15\%$, tức tổng chi phí mới là $1,15T(x)=10,35x^2-345x+460$. Lợi nhuận: $$P(x)=R(x)-1,15T(x)=460x+6,85x^2-10,35x^2+345x-460=-3,5x^2+805x-460.$$ Đây là hàm bậc hai với hệ số $a=-3,5<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{-805}{2\cdot (-3,5)}=\frac{805}{7}=115$. Vậy cần bán $115$ sản phẩm để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $L(x)=220x-C(x)=-x^3+3x^2+240x-500$ với $1\le x\le 18$. $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=-3(x-10)(x+8)$. Trên $[1;18]$, $L^{\prime }(x)>0$ khi $x<10$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $x>10$, nên $L$ đạt max tại $x=10$. $L(10)=-1000+300+2400-500=1200$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận mỗi tháng: $f(x)=x\cdot P(x)-140-31x=x(46-0,002x^2)-31x-140=15x-0,002x^3-140$, với $0<x\le 120$. Có $f^{\prime }(x)=15-0,006x^2=0\Rightarrow x=50$ (thỏa mãn). Trên $(0;120)$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<50$ và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>50$ nên $f$ đạt max tại $x=50$. Lợi nhuận cao nhất: $f(50)=15\cdot 50-0,002\cdot 50^3-140=750-250-140=360$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ dây gồm 4 đoạn dây bằng nhau từ các điểm A, B, C, D trên trần hội tụ tại điểm I trên trần, rồi đoạn dây IM thẳng đứng xuống đèn M. Vì M cách trần 60 cm và IM thẳng đứng nên IM = 60 cm cố định. Tổng chiều dài dây: L = IA + IB + IC + ID + 60. Do I nằm trong mặt phẳng trần, IA + IC ≥ AC và IB + ID ≥ BD (đẳng thức khi I là giao hai đường chéo, tức tâm hình chữ nhật). Với AB = 60, BC = 80, đường chéo AC = BD = √(60² + 80²) = 100 cm. Chọn I là tâm O của hình chữ nhật thì IA = IB = IC = ID = 50 cm, tổng 4 đoạn dây = 200 cm. Vậy L_min = 200 + 60 = 260 cm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng đáy là $x$ (dm), chiều dài là $\frac{5x}{3}$ (dm), chiều cao là $h$ (dm). Thể tích: $x\cdot \frac{5x}{3}\cdot h=60\Rightarrow h=\frac{36}{x^2}$.

Tổng diện tích: $S=2\left(xy+xh+yh\right)=2\left(\frac{5x^2}{3}+x\cdot \frac{36}{x^2}+\frac{5x}{3}\cdot \frac{36}{x^2}\right)=\frac{10x^2}{3}+\frac{192}{x}$, với $x>0$.

Xét $S^{\prime }(x)=\frac{20x}{3}-\frac{192}{x^2}=0\Rightarrow x^3=28,8\Rightarrow x=\sqrt[3]{28,8}\approx 3,066$.

Khi đó $S_{\min }=\frac{10}{3}{\left(28,8\right)}^{2/3}+\frac{192}{\sqrt[3]{28,8}}\approx 31,33+62,62\approx 93,95\approx 94$ dm${}^2$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ (làm tròn đến hàng đơn vị) là $94$ dm${}^2$, khớp với đáp án nguồn.