Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ là điểm trên bờ đối diện gần $A$ nhất, $AC=3$ km, $BC=8$ km. Gọi $CD=x$ (km) với $0\le x\le 8$, khi đó $DB=8-x$. Thời gian: $T(x)=\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\frac{8-x}{8}$. Đạo hàm $T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{8}=0\Rightarrow 8x=6\sqrt{9+x^2}\Rightarrow 64x^2=36(9+x^2)\Rightarrow 28x^2=324\Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}}$ (thỏa $0\le x\le 8$). Khi đó $T=\frac{\sqrt{9+81/7}}{6}+\frac{8-9/\sqrt{7}}{8}=\frac{12/\sqrt{7}}{6}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=1+\frac{7}{8\sqrt{7}}=1+\frac{\sqrt{7}}{8}$. Vậy $a=1,b=1,c=8,d=7\Rightarrow a+b+c+d=17$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mảnh vườn: $xy=200\Rightarrow y=\frac{200}{x}$ với $x>0$, nên ý a) Đúng. Tổng độ dài lưới rào ba cạnh (hai cạnh vuông góc và một cạnh song song với bờ tường): $L=2x+y=2x+\frac{200}{x}$, nên ý d) Sai (công thức $2x+\frac{100}{x}$ sai). Xét $L^{\prime }(x)=2-\frac{200}{x^2}=0\iff x=10$; vì $L^{\prime }(x)<0$ khi $x<10$ và $L^{\prime }(x)>0$ khi $x>10$ nên $L$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=10$ m, ý b) Đúng. Khi đó $L_{\min }=2\cdot 10+\frac{200}{10}=40$ m, số tiền tối thiểu là $40\times 250000=10000000$ đồng $=10$ triệu đồng, không phải 2,5 triệu đồng, nên ý c) Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)Đ - c)S - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì diện tích $xy=200m^2$ nên $y=\frac{200}{x}$ với $x>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$L=2x+\frac{200}{x}$; $L^{\prime }(x)=2-\frac{200}{x^2}=0\iff x=10$. Do $L$ giảm trên $(0;10)$ và tăng trên $(10;+\infty )$, $L$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=10$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$L_{\min }=2\cdot 10+\frac{200}{10}=40$ m, số tiền tối thiểu là $40\times 250000=10$ triệu đồng, không phải 2,5 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Rào ba cạnh: hai cạnh dài $x$ và một cạnh dài $y$, nên $L=2x+y=2x+\frac{200}{x}$, không phải $2x+\frac{100}{x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AX=x$ (m), $0\le x\le 800$. Quãng đường bơi $XC=\sqrt{(800-x{)}^2+400^2}$ (m). Tổng thời gian (giờ): $T(x)=\frac{x}{30000}+\frac{\sqrt{(800-x{)}^2+400^2}}{6000}$. Xét $f(x)=\frac{x}{30}+\frac{\sqrt{(800-x{)}^2+400^2}}{6}$ (đơn vị km). $f^{\prime }(x)=\frac{1}{30}-\frac{800-x}{6\sqrt{(800-x{)}^2+400^2}}=0\Rightarrow \sqrt{(800-x{)}^2+400^2}=5(800-x)\Rightarrow (800-x{)}^2+160000=25(800-x{)}^2\Rightarrow 24(800-x{)}^2=160000\Rightarrow 800-x=\frac{400}{\sqrt{24}}\approx 81,65\Rightarrow x\approx 718,35$. Kiểm tra: $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x\approx 718,35$ nên là điểm cực tiểu (cận biên cho $T$ lớn hơn). Làm tròn: $X$ cách $A$ khoảng $718$ m. Khớp đáp án nguồn 718.

(AI giải đề cho tôi)
Sau khi cắt bốn hình vuông cạnh $x$ ở bốn góc và gập lên, đáy hộp là hình vuông cạnh $3-2x$, chiều cao $x$, với $0<x<\frac{3}{2}$.

Thể tích: $V(x)=x(3-2x{)}^2=9x-12x^2+4x^3$.

$V^{\prime }(x)=9-24x+12x^2=3(3-2x)(3-6x)$.

$V^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{1}{2}$ (nhận, vì $x=\frac{3}{2}$ ngoài miền xác định).

Trên $(0;\frac{1}{2})$ có $V^{\prime }(x)>0$, trên $(\frac{1}{2};\frac{3}{2})$ có $V^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{1}{2}$.

$V_{\max }=V\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot (3-1{)}^2=\frac{1}{2}\cdot 4=2$ (decimét khối).

Kết quả trùng với đáp án nguồn: 2.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy hình vuông là $x$ (dm), $x>0$, chiều cao là $h$ (dm). Thể tích $x^{2}h=10$ (lít $=10\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$) nên $h=\frac{10}{x^2}$. Diện tích toàn phần: $S=2x^2+4xh=2x^2+\frac{40}{x}$. Xét $S^{\prime }(x)=4x-\frac{40}{x^2}=0\iff x^3=10\iff x=\sqrt[3]{10}$. Với $0<x<\sqrt[3]{10}$ thì $S^{\prime }<0$, với $x>\sqrt[3]{10}$ thì $S^{\prime }>0$, nên $S$ đạt nhỏ nhất tại $x=\sqrt[3]{10}$. Khi đó $S_{\min }=2\cdot 10^{2/3}+\frac{40}{10^{1/3}}=6\cdot 10^{2/3}\approx 27,8495\approx 27,8\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2$. Kết quả trùng với đáp án đề cho (27,8).

Câu 1. (1,5 điểm)
Cách 1: Giả sử khách sạn tăng giá 40x (nghìn đồng) → Giá 1 phòng thuê / ngày là 400+40x
Số phòng có khách thuê là 100-8x
Doanh thu của khách sạn là $f(x)=(100-8x)(400+40x)=-320x^2+800x+40000$, $x\ge 0$
$$f^{\prime }(x)=-640x+800=0\leftrightarrow x=1,25$$
Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x=1,25
Giá thuê 1 phòng /ngày là 400 + 1,25.40 = 450 (nghìn đồng).

Cách 2: Giả sử khách sạn cho thuê phòng / ngày là x (nghìn đồng)
→ số phòng khách thuê là $100-\frac{x-400}{40}.8$
Doanh thu của khách sạn là $f(x)=\left(100-\frac{x-400}{40}.8\right)x$, $x\ge 400$
Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x=450
Giá thuê 1 phòng /ngày là 450 (nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
a) p(100)=354/(1+1)=177 nghìn đồng → đúng. b) p=354/(1+0,01x) là hàm nghịch biến theo x nên khi x tăng thì p giảm → sai. c) Doanh thu R(x)=x·p=354x/(1+0,01x) → đúng. d) R'(x)=354/(1+0,01x)^2>0 nên R tăng; lim R=354 (nghìn đồng) khi x→+∞, tức doanh thu tiệm cận 354 nghìn đồng, nhỏ hơn 36 triệu đồng nên không thể đạt mức 36 triệu đồng → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
p(100)=354/(1+0,01·100)=354/2=177 nghìn đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
p(x)=354/(1+0,01x) nghịch biến trên [0;+∞) nên khi x tăng thì p giảm.
c) (AI giải đề cho tôi)
R(x)=x·p(x)=354x/(1+0,01x).
d) (AI giải đề cho tôi)
R'(x)=354/(1+0,01x)^2>0 nên doanh thu tăng; lim_{x→+∞}R(x)=354 nghìn đồng < 36 triệu đồng nên doanh thu không thể đạt 36 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ tăng thể tích là $V^{\prime }(t)=-900t^2+600t$. Xét $f(t)=-900t^2+600t$ trên $[0;0,5]$: $f^{\prime }(t)=-1800t+600=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}$. Ta có $f(0)=0$, $f(0,5)=-900\cdot 0,25+600\cdot 0,5=75$, $f\left(\frac{1}{3}\right)=-900\cdot \frac{1}{9}+600\cdot \frac{1}{3}=-100+200=100$. Vậy tốc độ tăng thể tích xăng tối đa là $100$ lít/phút.

(AI giải đề cho tôi)
Sau khi cắt mỗi góc hình vuông cạnh $x$, đáy hộp có kích thước $(8-2x)\times (3-2x)$, chiều cao $x$.

a) Cần $3-2x>0$ và $8-2x>0$, tức $0<x<\frac{3}{2}$. Đúng.

b) Diện tích mặt đáy là $(8-2x)(3-2x)$. Đúng.

c) Thể tích là $V(x)=x(8-2x)(3-2x)$, không phải $(8-2x{)}^2(3-2x)$. Sai.

d) $V(x)=4x^3-22x^2+24x$, $V^{\prime }(x)=12x^2-44x+24=4(3x-2)(x-3)$. Trên $(0;\frac{3}{2})$, $V^{\prime }(x)=0$ khi $x=\frac{2}{3}$; $V^{\prime }>0$ với $x<\frac{2}{3}$ và $V^{\prime }<0$ với $x>\frac{2}{3}$, nên $V$ đạt max tại $x=\frac{2}{3}$ (m). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cần $3-2x>0$ và $8-2x>0$ nên $0<x<\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đáy hộp có hai cạnh là $8-2x$ và $3-2x$, nên diện tích đáy là $(8-2x)(3-2x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thể tích $V=x(8-2x)(3-2x)$ (chiều cao $x$), không phải $(8-2x{)}^2(3-2x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V(x)=4x^3-22x^2+24x$, $V^{\prime }(x)=4(3x-2)(x-3)$; trên $(0;\frac{3}{2})$ hàm đạt cực đại (max) tại $x=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D$ là điểm trên bờ mà người đó đi đường bộ đến, với $AD=x$ (km), $0\le x\le 40$. Khi đó $DB=40-x$ và vì $CB\perp AB$, $CB=10$ nên quãng đường thủy $DC=\sqrt{(40-x{)}^2+10^2}$.

Kinh phí: $f(x)=3x+5\sqrt{(40-x{)}^2+100}$.

$f^{\prime }(x)=3-\frac{5(40-x)}{\sqrt{(40-x{)}^2+100}}$.

$f^{\prime }(x)=0⟺3\sqrt{(40-x{)}^2+100}=5(40-x)⟺9((40-x{)}^2+100)=25(40-x{)}^2⟺900=16(40-x{)}^2⟺40-x=7,5⟺x=32,5$.

Kiểm tra: $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<32,5$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>32,5$, nên $x=32,5$ cho kinh phí nhỏ nhất. So sánh: $f(32,5)=97,5+5\cdot 12,5=160$ USD nhỏ hơn đi thuyền trực tiếp $5\sqrt{1700}\approx 206,16$ USD.

Vậy người đó phải đi đường bộ một khoảng $32,5$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol qua A(-40;0), B(40;0) với đỉnh (0;60): $y=60-\frac{3x^2}{80}$. Độ dài cột tại hoành độ $x$ là $g(x)=\left(60-\frac{3x^2}{80}\right)-\left(\frac{x^3}{25600}-\frac{3x}{16}+35\right)=25-\frac{3x^2}{80}-\frac{x^3}{25600}+\frac{3x}{16}$.
$g^{\prime }(x)=-\frac{3x}{40}-\frac{3x^2}{25600}+\frac{3}{16}=0\Rightarrow x^2+640x-1600=0\Rightarrow x=\frac{-640+\sqrt{416000}}{2}\approx 2,4905$.
$MN=g(2,4905)\approx 25,2338$ (lớn nhất). Điểm đối xứng $Q$ có hoành độ $x\approx -2,4905$: $PQ=g(-2,4905)\approx 24,3010$.
Tổng $MN+PQ\approx 49,53\approx 50$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(x)=-0,0002x^3+0,024x^2+1,2x-32$ với $x\ge 0$.

$P^{\prime }(x)=-0,0006x^2+0,048x+1,2$. Cho $P^{\prime }(x)=0\iff x^2-80x-2000=0\iff x=100$ (nhận, vì $x\ge 0$; nghiệm kia $x=-20$ loại).

Xét dấu: với $0\le x<100$ thì $P^{\prime }(x)>0$, với $x>100$ thì $P^{\prime }(x)<0$, nên hàm số đạt cực đại (và là GTLN trên $[0;+\infty )$) tại $x=100$.

$P(100)=-0,0002\cdot 100^3+0,024\cdot 100^2+1,2\cdot 100-32=-200+240+120-32=128$.

Vậy lợi nhuận lớn nhất là $128$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=-t^2+34t+580$. Yêu cầu $f^{\prime }(t)>860$ tức $-t^2+34t+580>860\iff t^2-34t+280<0$. Phương trình $t^2-34t+280=0$ có nghiệm $t=\frac{34\pm \sqrt{1156-1120}}{2}=\frac{34\pm 6}{2}$, tức $t=14$ hoặc $t=20$. Vậy bất phương trình nghiệm khi $14<t<20$. Với $t\in \mathbb{N}$, $t\le 30$, các giá trị thỏa mãn là $t=15,16,17,18,19$, tức có 5 ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 860.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=x^3-3x^2$ trên đoạn $[-2;1]$. Ta có $g^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$; trên $[-2;1]$: $g^{\prime }(x)>0$ với $x\in (-2;0)$ và $g^{\prime }(x)<0$ với $x\in (0;1)$, nên $g$ đạt cực đại tại $x=0$ với $g(0)=0$. Giá trị hai đầu: $g(-2)=-8-12=-20$, $g(1)=1-3=-2$. Vậy $g(x)\in [-20;0]$ trên đoạn đã cho. Đặt $t=m-2$, yêu cầu ${\max }_{[-2;1]}|g(x)+t|<20$, tức $-20<g(x)+t<20$ với mọi $g(x)\in [-20;0]$. Điều kiện dưới (xấu nhất tại $g=-20$): $-20+t>-20\Rightarrow t>0$. Điều kiện trên (xấu nhất tại $g=0$): $0+t<20\Rightarrow t<20$. Kết hợp $0<t<20$, tức $2<m<22$, các giá trị nguyên $m\in \{3,4,\dots ,21\}$ gồm 19 giá trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Miền xác định: $0<x\le 1500$.
a) $P(x)=40-0,00001x^2$ nghịch biến trên $(0;1500]$ nên giá bán thấp nhất tại $x=1500$: $P(1500)=40-0,00001\cdot 1500^2=40-22,5=17,5$ (USD). Đúng.
b) $C(1000)=\frac{10000}{1000}+10=20$ (USD). Đúng.
c) Doanh thu khi bán $x$ sản phẩm là $D(x)=x\cdot P(x)$; công thức $xP(x)-C(x)$ sai (trừ chi phí của một sản phẩm chứ không phải tổng chi phí, và đó là công thức liên quan lợi nhuận). Sai.
d) Lợi nhuận $L(x)=xP(x)-xC(x)=40x-0,00001x^3-10000-10x=30x-0,00001x^3-10000$. $L^{\prime }(x)=30-0,00003x^2=0\Rightarrow x=1000$ (thỏa mãn). $L(1000)=30000-10000-10000=10000$ (USD), là giá trị lớn nhất vì $L^{\prime }(x)>0$ khi $x<1000$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $x>1000$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(x)$ nghịch biến trên $(0;1500]$, min tại $x=1500$: $P(1500)=17,5$ USD.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C(1000)=10000/1000+10=20$ USD.
c) (AI giải đề cho tôi)
Doanh thu là $D(x)=xP(x)$, không phải $xP(x)-C(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$L(x)=30x-0,00001x^3-10000$, max tại $x=1000$, $L(1000)=10000$ USD.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $P(x)=x\cdot p(x)-C(x)=2012x-7x^2-18000-500x+1,6x^2-0,005x^3=1512x-5,4x^2-0,005x^3-18000$. Điều kiện: $x>0$ và $p(x)=2012-7x>0\Rightarrow x<\frac{2012}{7}\approx 287,4$. $P^{\prime }(x)=1512-10,8x-0,015x^2=0\Rightarrow x^2+720x-100800=0\Rightarrow x=\frac{-720+960}{2}=120$ (nhận, vì $0<120<287,4$). Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $x<120$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $120<x<287,4$ nên $P$ đạt max tại $x=120$. Vậy nhà máy nên sản xuất 120 sản phẩm mỗi tháng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $4a$ là độ dài đoạn dây thứ nhất, $2\pi r$ là độ dài đoạn dây thứ hai, với $4a+2\pi r=60$, tức $a=15-\frac{\pi r}{2}$, $0\le r\le \frac{30}{\pi }$. Tổng diện tích $S(r)=a^2+\pi r^2={\left(15-\frac{\pi r}{2}\right)}^2+\pi r^2$. Ta có $S^{\prime }(r)=2\left(15-\frac{\pi r}{2}\right)\left(-\frac{\pi }{2}\right)+2\pi r=-15\pi +\frac{{\pi }^{2}r}{2}+2\pi r$. Cho $S^{\prime }(r)=0\Rightarrow r\left(\frac{\pi }{2}+2\right)=15\Rightarrow r=\frac{30}{\pi +4}$, khi đó $a=15-\frac{\pi }{2}\cdot \frac{30}{\pi +4}=\frac{60}{\pi +4}$. Vì $S^{\prime \prime }(r)=\frac{{\pi }^2}{2}+2\pi >0$ nên đây là giá trị nhỏ nhất. Vậy $\frac{a}{r}=\frac{60/(\pi +4)}{30/(\pi +4)}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy là $a$ và chiều cao là $h$ ($a,h>0$). Tổng diện tích các mặt: $2a^2+4ah=96\Rightarrow h=\frac{96-2a^2}{4a}=\frac{24}{a}-\frac{a}{2}$.

Thể tích: $V=a^{2}h=24a-\frac{a^3}{2}$.

Xét $V^{\prime }(a)=24-\frac{3a^2}{2}=0\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=4$ (vì $a>0$).

Vì $V^{\prime }(a)>0$ khi $a<4$ và $V^{\prime }(a)<0$ khi $a>4$ nên $V$ đạt max tại $a=4$. Khi đó $h=\frac{24}{4}-2=4$ và $V_{\max }=4^2\cdot 4=64c{m}^3$.

Vậy đáp án B (đơn vị trong đề ghi $c{m}^2$ nhưng thực chất phải là $c{m}^3$).

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi tuần bán 1000 cái với giá 14 triệu; cứ giảm 0,5 triệu thì bán thêm 100 cái. Vậy nếu bán $x$ cái thì số lần giảm giá là $\frac{x-1000}{100}$, nên $p(x)=14-0,5\cdot \frac{x-1000}{100}=19-\frac{x}{200}$ (triệu đồng), với $x\ge 1000$ (và $p(x)>0\Rightarrow x<3800$).

Doanh thu: $R(x)=xp(x)=19x-\frac{x^2}{200}$.
Lợi nhuận: $L(x)=R(x)-C(x)=19x-\frac{x^2}{200}-12000+3x=22x-\frac{x^2}{200}-12000$.

$L^{\prime }(x)=22-\frac{x}{100}=0\Rightarrow x=2200$ (thỏa mãn miền xác định). Vì $L^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{100}<0$ nên lợi nhuận lớn nhất tại $x=2200$.

Giá bán tương ứng: $p(2200)=19-\frac{2200}{200}=19-11=8$ (triệu đồng).

Vậy cửa hàng nên bán mỗi cái điện thoại A với giá 8 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $G(x)=0,25x^2(30-x)=7,5x^2-0,25x^3$ với $x>0$. Tính đạo hàm: $G^{\prime }(x)=15x-0,75x^2=0,75x(20-x)$. Cho $G^{\prime }(x)=0$ ta được $x=20$ (vì $x>0$). Xét dấu: $G^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<20$ và $G^{\prime }(x)<0$ khi $x>20$, nên hàm số đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất trên $(0;+\infty )$) tại $x=20$. Khi đó $G(20)=0,25\cdot 400\cdot 10=1000$. Vậy liều lượng cần tiêm là $20mg$. Đáp án B.