Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài $2x$ (m), chiều cao $h$ (m) với $x>0$, $h>0$. Bể không nắp nên diện tích kính: đáy $2x^2$ cộng 4 mặt bên $2(2xh)+2(xh)=6xh$. Do đó $2x^2+6xh=8\Rightarrow h=\frac{8-2x^2}{6x}=\frac{4-x^2}{3x}$, điều kiện $0<x<2$. Thể tích $V=2x^{2}h=\frac{2x(4-x^2)}{3}=\frac{8x-2x^3}{3}$. Có $V^{\prime }(x)=\frac{8-6x^2}{3}$, $V^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ (thỏa mãn). Vì $V^{\prime }(x)>0$ khi $x<\frac{2}{\sqrt{3}}$ và $V^{\prime }(x)<0$ khi $x>\frac{2}{\sqrt{3}}$ nên thể tích lớn nhất tại $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$: $V_{\max }=\frac{8\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}-2\cdot \frac{8}{3\sqrt{3}}}{3}=\frac{32}{9\sqrt{3}}\approx 2,0528\approx 2,05{\mathrm{m}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $x^{2}h=4000\Rightarrow h=\frac{4000}{x^2}$ với $x>0$. Hộp không nắp nên diện tích bìa các tông gồm đáy và 4 mặt bên: $S=x^2+4xh=x^2+\frac{16000}{x}$. Xét hàm $S(x)$ trên $(0;+\infty )$: $S^{\prime }(x)=2x-\frac{16000}{x^2}$. Cho $S^{\prime }(x)=0\Rightarrow x^3=8000\Rightarrow x=20$. Với $0<x<20$ thì $S^{\prime }(x)<0$, với $x>20$ thì $S^{\prime }(x)>0$, nên $S$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=20$. Vậy $x=20$ cm, khớp đáp án nguồn (đề 1020, Phần III câu 4: 20).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt ngang của khúc gỗ là hình tròn bán kính $R=20$ cm. Thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông nội tiếp đường tròn nên cạnh $a=R\sqrt{2}=20\sqrt{2}$ cm, nửa cạnh $\frac{a}{2}=10\sqrt{2}\approx 14,1421$ cm.

Xét một tấm ván ở một trong bốn phần còn lại (ví dụ phía trên hình vuông): tấm ván là hình chữ nhật có chiều rộng $x$ (song song với cạnh hình vuông) và chiều cao $h$, hai đỉnh phía ngoài nằm trên đường tròn. Chọn hệ trục tọa độ gốc tại tâm hình vuông, cạnh trên của tấm ván có tung độ $u=\frac{a}{2}+h=10\sqrt{2}+h$, nên hai đỉnh trên thỏa mãn ${\left(\frac{x}{2}\right)}^2+u^2=400$, tức $x=2\sqrt{400-u^2}$ với $10\sqrt{2}\le u<20$.

Diện tích mặt cắt: $S=xh=2\left(u-10\sqrt{2}\right)\sqrt{400-u^2}$.

Đạo hàm: $S^{\prime }(u)=2\sqrt{400-u^2}-\frac{2u\left(u-10\sqrt{2}\right)}{\sqrt{400-u^2}}=0\Rightarrow 400-u^2-u\left(u-10\sqrt{2}\right)=0\Rightarrow 2u^2-10\sqrt{2}u-400=0$.

Giải: $u=\frac{10\sqrt{2}+\sqrt{200+3200}}{4}=\frac{5\sqrt{2}+5\sqrt{34}}{2}\approx 18,1129$ cm (nghiệm dương, thỏa điều kiện).

Suy ra $h\approx 18,1129-14,1421=3,9708$ cm và $x=2\sqrt{400-18,1129^2}\approx 16,9616$ cm.

Vậy $S_{\max }=x\cdot h\approx 16,9616\times 3,9708\approx 67,35$ cm${}^2$, làm tròn đến hàng phần chục là $67,3$ cm${}^2$ (theo quy tắc làm tròn của đề, kết quả khớp với đáp án $67,3$).

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận (nghìn đồng): P(x) = F(x) − x·G(x) = −2x² + 1312x − (x³ − 77x² + 1000x + 40000) = −x³ + 75x² + 312x − 40000. P'(x) = −3x² + 150x + 312 = 0 ⇔ x² − 50x − 104 = 0 ⇔ x = 52 (nhận, vì 1 ≤ x ≤ 300; nghiệm −2 loại). P(52) = −140608 + 202800 + 16224 − 40000 = 38416 nghìn đồng = 38,416 triệu đồng ≈ 38 triệu đồng. Khớp đáp án nguồn (bảng đáp án đề 1020, câu 6 = 38).

Đáp án: 38. Chi phí sản xuất cho $x$ sản phẩm là $xG(x)=x^3-77x^2+1000x+40000$ (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp: $h(x)=-2x^2+1312x-\left(x^3-77x^2+1000x+40000\right)=-x^3+75x^2+312x-40000$ (nghìn đồng). Ta có: $h^{\prime }(x)=-3x^2+150x+312$. Xét $h^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=52\\ x=-2\end{array}\right]$. Bảng biến thiên trên $[1;300]$: $h^{\prime }(x)$ dương trên $(1;52)$, âm trên $(52;300)$; $h(x)$ tăng đến $h(52)=38416$ rồi giảm. Vậy lợi nhuận lớn nhất của doanh nghiệp khoảng 38 triệu đồng.

Đáp án: 20. Điều kiện $x>0$. Ta có thể tích của chiếc hộp là $V=x^2.h$. Theo giả thiết thể tích chiếc hộp bằng $4000{\text{cm}}^3$ nên ta có $x^2.h=4000\iff h=\frac{4000}{x^2}$. Ta có diện tích xung quanh và đáy của chiếc hộp là $S=x^2+4xh=x^2+4x.\frac{4000}{x^2}=x^2+\frac{16000}{x}$. Ta khảo sát hàm số $f\left(x\right)=x^2+\frac{16000}{x}$. Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=2x-\frac{16000}{x^2}$, $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=20$. Bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ âm trên $(0;20)$, dương trên $(20;+\infty )$; $f(x)$ giảm đến $1200$ rồi tăng. Ta có $x=20\left(\text{cm}\right)$ thì chiếc hộp làm ra tốn ít bìa nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bán kính đáy là $r$ (cm), chiều cao là $h$ (cm). Dung tích $V=\pi r^{2}h=500$ cm³ nên $h=\frac{500}{\pi r^2}$. Diện tích vật liệu (có nắp và đáy): $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{1000}{r}$, với $r>0$. Tìm cực tiểu: $S^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{1000}{r^2}=0\Rightarrow r^3=\frac{250}{\pi }$. Khi đó $h=\frac{500}{\pi r^2}=2r=2\sqrt[3]{\frac{250}{\pi }}\approx 2\sqrt[3]{79,577}\approx 2\cdot 4,301\approx 8,6$ cm. Vậy chiều cao lon để chi phí vật liệu nhỏ nhất là khoảng $8,6$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $MI=x$ với $0\le x\le 4$. Khi đó $CI=CM-MI=4-x$ và vì $C$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $CM\perp AB$ tại $M$, với $MA=MB=2$ km ta có $IA=IB=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{x^2+4}$.

Tổng độ dài đường ống: $f(x)=CI+IA+IB=4-x+2\sqrt{x^2+4}$.

$f^{\prime }(x)=-1+\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}$. Cho $f^{\prime }(x)=0$: $2x=\sqrt{x^2+4}\Rightarrow 4x^2=x^2+4\Rightarrow x^2=\frac{4}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ (thỏa $0\le x\le 4$).

Với $x<\frac{2}{\sqrt{3}}$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>\frac{2}{\sqrt{3}}$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$.

$f\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=4-\frac{2}{\sqrt{3}}+2\sqrt{\frac{4}{3}+4}=4-\frac{2}{\sqrt{3}}+2\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=4+\frac{6}{\sqrt{3}}=4+2\sqrt{3}\approx 7,4641$.

Vậy tổng độ dài đường ống nhỏ nhất bằng $4+2\sqrt{3}\approx 7,46$ km.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: đơn giá bán là 120 euro/chiếc nên $B(x)=120x$, không phải $130x$. b) Sai: $L(x)=B(x)-C(x)=120x-(0,02x^3-3x^2+174x+2400)=-0,02x^3+3x^2-54x-2400$ (dấu của $3x^2$ là dương, không phải âm). c) Đúng: $L^{\prime }(x)=-0,06x^2+6x-54=-0,06(x-10)(x-90)$; $L^{\prime }(x)>0$ khi $10<x<90$, vậy lợi nhuận tăng khi sản xuất từ 10 đến 90 chiếc. d) Đúng: trên $[0;130]$, $L$ giảm trên $(90;130)$ và đạt giá trị lớn nhất tại $x=90$: $L(90)=-0,02\cdot 729000+3\cdot 8100-54\cdot 90-2400=-14580+24300-4860-2400=2460$ euro. Kết quả khớp đáp án chính thức mã 201: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đơn giá 120 euro/chiếc nên $B(x)=120x$, không phải $130x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$L(x)=120x-C(x)=-0,02x^3+3x^2-54x-2400$, hệ số của $x^2$ phải là $+3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$L^{\prime }(x)=-0,06(x-10)(x-90)>0$ trên $(10;90)$ nên lợi nhuận tăng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$L$ đạt max tại $x=90$ với $L(90)=2460$ euro.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+24t+4$. Đây là parabol bậc hai với hệ số $a=-3<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại $t=-\frac{24}{2\cdot (-3)}=4$ (giây). Khi đó $v(4)=-3\cdot 16+24\cdot 4+4=-48+96+4=52$ (m/s). Vậy vận tốc lớn nhất là $52$ m/s, trùng với đáp án nguồn (mã đề 201, câu 5: 52).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích: $V=\pi r^{2}h=500\Rightarrow h=\frac{500}{\pi r^2}$. Diện tích toàn phần: $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{1000}{r}$. Xét $S^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{1000}{r^2}=0\Rightarrow r^3=\frac{250}{\pi }$. Với $\pi \approx 3,14$: $r^3\approx 79,62\Rightarrow r\approx 4,30$ cm. Vì $S^{\prime }(r)<0$ khi $r<\sqrt[3]{250/\pi }$ và $S^{\prime }(r)>0$ khi $r>\sqrt[3]{250/\pi }$ nên $S$ đạt nhỏ nhất tại $r\approx 4,3$ cm, khớp đáp án đề cho.

(AI giải đề cho tôi)
B(x)=220x (đúng). L(x)=B(x)-C(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500, nên khẳng định b (viết 220x-500) là sai. L'(x)=-3x^2+6x+240=-3(x-10)(x+8); trên [1;18], L tăng trên [1;10] và giảm trên [10;18], nên sản xuất trên 10 mét thì lợi nhuận giảm (c đúng). Lmax=L(10)=-1000+300+2400-500=1200 nghìn đồng, không phải 1000 (d sai). Khớp đáp án chính thức: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá bán 220 nghìn đồng/mét nên B(x)=220x (nghìn đồng).
b) (AI giải đề cho tôi)
L(x)=B(x)-C(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500, khác biểu thức đã cho (thừa số 20x).
c) (AI giải đề cho tôi)
L'(x)=-3x^2+6x+240=-3(x-10)(x+8); với x>10 thì L'(x)<0 nên lợi nhuận giảm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận lớn nhất tại x=10: L(10)=-1000+300+2400-500=1200 nghìn đồng, không phải 1000 nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi khung gồm: nửa đường tròn $\pi r$, hai cạnh dọc $2h$, hai cạnh ngang $2r$ (không có đoạn $EC$). Vậy $\pi r+2h+2r=250\Rightarrow h=\frac{250-\pi r-2r}{2}$.

Diện tích khung: $S=2rh+\frac{\pi r^2}{2}=r(250-\pi r-2r)+\frac{\pi r^2}{2}=250r-\left(2+\frac{\pi }{2}\right)r^2$.

$S^{\prime }=250-(4+\pi )r=0\Rightarrow r=\frac{250}{4+\pi }\approx 34,9849cm$ (điểm cực đại vì $S^{\prime \prime }=-(4+\pi )<0$).

Khi đó $S_{max}=250r-\left(2+\frac{\pi }{2}\right)r^2\approx 8746,23-3,5708\cdot 1223,94\approx 4375,7\approx 4376c{m}^2$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn 4376.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AB=a$, $AD=b$ với $ab=20m^2$. Đặt hệ trục tọa độ gốc tại $A$: $N$ thuộc $AD$ với $AN=x$, $M$ thuộc $AB$ với $AM=y$. Vì $AMHN$ là hình chữ nhật nên $H$ có tọa độ $(x;y)$ và $H$ thuộc đường chéo $BD$ có phương trình $\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$. Diện tích miền trồng hoa là $S=xy$. Theo BĐT Cô-si: $\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\ge 2\sqrt{\frac{xy}{ab}}$, suy ra $1\ge 2\sqrt{\frac{S}{20}}$, tức $S\le 5m^2$. Dấu bằng khi $\frac{x}{b}=\frac{y}{a}=\frac{1}{2}$, tức $H$ là trung điểm $BD$ (thỏa điều kiện đề bài). Vậy diện tích lớn nhất là $5m^2$, số tiền lớn nhất là $5\times 50=250$ nghìn đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn 250.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại phương trình đường cong: với $t=x+1>0$ ta có $y=x+\frac{1}{x+1}=t-1+\frac{1}{t}$, nên $M=(t-1,t-1+\frac{1}{t})$. Khoảng cách từ $M$ đến trạm $I(-1;-1)$: $M{I}^2=t^2+{\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2=2t^2+2+\frac{1}{t^2}$. Thuyền thu sóng tốt nhất khi $MI$ nhỏ nhất. Xét $f(t)=2t^2+\frac{1}{t^2}$, $f^{\prime }(t)=4t-\frac{2}{t^3}=0\Rightarrow t^4=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ (với $t>0$; $f^{\prime }(t)<0$ khi $t<t_0$ và $f^{\prime }(t)>0$ khi $t>t_0$ nên đây là điểm cực tiểu, cũng là giá trị nhỏ nhất). Vậy $x_0=t-1=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}-1$, suy ra $a=2,n=4,b=-1$. Do đó $P=ab+n=2\cdot (-1)+4=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 20, mã đề 2102: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$. Đặt $t=x+1>0$, khi đó điểm $M$ trên $(C)$ là $M(t-1,t-1+\frac{1}{t})$. Bình phương khoảng cách từ $M$ đến trạm $I(-1;-1)$: $M{I}^2=t^2+{\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2=2t^2+2+\frac{1}{t^2}$. Xét $f(t)=2t^2+\frac{1}{t^2}$, $f^{\prime }(t)=4t-\frac{2}{t^3}=0\Rightarrow t^4=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ (điểm cực tiểu vì $f$ giảm rồi tăng). Vậy $x_0=t-1=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}-1$, suy ra $a=2,n=4,b=-1$. Do đó $P=ab+n=2\cdot (-1)+4=2$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $AB=a$, $AD=b$ với $ab=20{\mathrm{m}}^2$. Chọn hệ trục $B(0;0)$, $A(0;b)$, $D(a;b)$, khi đó đường chéo $BD$ có phương trình $y=\frac{b}{a}x$.

Hình chữ nhật trồng hoa có hai đỉnh đối diện $A$ và $H$, với $M$ trên $AB$, $N$ trên $AD$. Gọi $H(x;y)$ với $x=AM$, $y=AN$. Vì $H$ thuộc $BD$ nên $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$, tức $y=b\left(1-\frac{x}{a}\right)$.

Diện tích miền trồng hoa: $S=xy=bx\left(1-\frac{x}{a}\right)=b\left(x-\frac{x^2}{a}\right)$.

Hàm $f(x)=x-\frac{x^2}{a}$ đạt cực đại tại $x=\frac{a}{2}$ với giá trị $\frac{a}{4}$, khi đó $y=\frac{b}{2}$ và $S_{\max }=\frac{a}{4}\cdot \frac{b}{2}\cdot 2=\frac{ab}{4}=\frac{20}{4}=5{\mathrm{m}}^2$.

Chi phí lớn nhất: $5\times 50=250$ nghìn đồng.

Đối chiếu bảng đáp án mã đề 2101: Câu 22 = 250, khớp với kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2e^{2x}(x^2-2)+2x{e}^{2x}=2e^{2x}(x^2+x-2)=2e^{2x}(x+2)(x-1)$. Trên đoạn $[-1;2]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=1$ (vì $x=-2$ ngoài đoạn). Tính giá trị: $f(-1)=(-1)e^{-2}=-e^{-2}$, $f(1)=(-1)e^2=-e^2$, $f(2)=2e^4$. So sánh: $-e^2\approx -7,39$ nhỏ nhất, vậy $m=-e^2=0+(-1)e^2$, tức $a=0,b=-1$. Suy ra $2a+b=0-1=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ lây lan là $N^{\prime }(t)=-3t^2+24t=-3t(t-8)$, với $0\le t\le 12$. Xét $g(t)=N^{\prime }(t)$ trên $[0;12]$: $g^{\prime }(t)=-6t+24=0\iff t=4$. Ta có $g(0)=0$, $g(4)=-3\cdot 16+24\cdot 4=48$, $g(12)=-3\cdot 144+24\cdot 12=-144$. Vậy $N^{\prime }(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $48$ tại $t=4$, tức virus lây lan nhanh nhất vào tuần thứ $4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201: câu 16 = 4).