Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Chọn D.
Dựa vào bảng biến thiên, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-2;2]$ là $f(2)=-4$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 5 (Phần III) có đáp số là $45$.

Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá bán mỗi chiếc khăn tắm ($30<x\le 50$). Số lượng bán ra là $1000+100(50-x)=6000-100x$. Lợi nhuận $L(x)=(x-30)(6000-100x)=100(x-30)(60-x)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=\frac{30+60}{2}=45$ (nghìn đồng).

Chọn D

Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-3;3]$, giá trị lớn nhất của hàm số là $f(3)=8$.

Trên đoạn $[-1;3]$, ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.

Khi đó ${\min }_{[-1;3]}f(x)=f(1)=-2-m$ và ${\max }_{[-1;3]}f(x)=f(3)=18-m$.

Để mọi bộ ba số phân biệt $a,b,c\in [-1;3]$ có $f(a),f(b),f(c)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác (với $a,b$ phân biệt nên $f(a)+f(b)>2(-2-m)$), điều kiện cần và đủ là:
$\{\begin{array}{l}-2-m>0\\ 2(-2-m)\ge 18-m\end{array}\iff m\le -22$.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 21, mã đề 301; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $[-1;2]$, hàm số đạt giá trị lớn nhất là $M=3$ (tại $x=1$) và giá trị nhỏ nhất là $m=-2$ (tại $x=2$). Khi đó $M+2m=3+2(-2)=-1$.

Trên đoạn $[1;5]$, ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=0\iff x=3\in [1;5]$. Ta tính $y(1)=-12,y(3)=-28,y(5)=4$. Vậy $M=4,m=-28\Rightarrow T=2M-m=36$.

Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn $[0;2]$, điểm cao nhất đạt tại $x=0$ với giá trị tung độ tương ứng là $y=2$. Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$ bằng 2. Chọn C.

Chọn A
Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 1 .

16
1

Chọn C
+ Bảng biến thiên của hàm số f ( x )

+ Xét hàm số g ( x ) = f ( 2 + sin x ) + m . Đặt t = 2 + sin x , khi đó 1 \le t \le 3 với mọi x $\in$ $\mathbb{R}$ .
Ta có, bảng biến thiên của hàm số g ( x ) .

+ Từ bảng biến thiên ta suy ra giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) có thể là -1 + m hoặc 3 + m
[ -1 + m = 2023 [ m = 2024
* Trường hợp 1: -1 + m = 2023 $\Rightarrow$  $\Rightarrow$  . Thử lại m = -2022 thoả
[ -1 + m = -2023 [ m = -2022
mãn.
[3 + m = 2023 [ m = 2021
* Trường hợp 2: 3 + m = 2023 $\Rightarrow$  $\Rightarrow$  . Thử lại m = 2021 thoả mãn.
[3 + m = -2023 [ m = -2026
Vậy có hai giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán là m = -2022 và m = 2021 .

Trên khoảng $(0;3)$, $f^{\prime }(x)\le 0$ (chỉ bằng $0$ tại $x=1$) nên $f(x)$ nghịch biến trên $[0;3]$; trên $\left(3;\frac{7}{2}\right)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến trên $\left[3;\frac{7}{2}\right]$. Vậy ${\min }_{\left[0;\frac{7}{2}\right]}f(x)=f(3)$ tại $x_0=3$.

$y^{\prime }=0$ ⇔ x=0, x=±1; $y(\pm 1)=2025$, $y(0)=2024$ ⇒ max 2025. Chọn A.

Chọn D

Chọn A

Chọn D

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 6), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $4,74$.

Gọi $f(x)=\frac{1}{2}x(40-x{)}^2$ (nghìn đồng) là số tiền thu được khi chở $x$ người ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast },0<x\le 16$). Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(40-x)(40-3x)=0⟺x=\frac{40}{3}\in (13;14)$.



So sánh $f(13)=4738,5$ và $f(14)=4732$, ta có ${\max }_{(0;16]}f(x)=4738,5$ (nghìn đồng) $\approx 4,74$ (triệu đồng).

Chọn D
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ -3;3] bằng -6 .

Chọn B
Xét hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) + 8 x

[ 1 ]
Đặt t = 2 x vì x  - ;1 $\Rightarrow$ t $\in$  -1; 2 $\Rightarrow$ g ( t ) = f ( t ) + 4t
[ 2 ]
$\Rightarrow$ g ' ( t ) = 2 f ' ( t ) + 4 \ge 0$\forall$ t $\in$  -1; 2 $\Rightarrow$ g ( t ) đồng biến trên khoảng ( -1; 2 ) .

Maxg ( t ) = g ( 2 ) = f ( 2 ) + 8 .
 -1;2

Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm 1$.
Bảng biến thiên trên $[-1;3]$:

Suy ra $M=66,m=2\Rightarrow M+m=68$.
Chọn D.