Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau phải cắt cả hai đường thẳng (đi qua điểm trên $a$ và điểm trên $b$), còn $d$ chỉ vuông góc với cả $a$ và $b$ thì chưa đủ (có thể không cắt chúng). B sai vì qua một điểm nằm trong mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đó (chỉ duy nhất khi điểm nằm ngoài mặt phẳng). C đúng theo định lý về hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(\alpha )\perp (\beta )$, giao tuyến là $c$, đường thẳng $a\subset (\alpha )$, $a\perp c$ thì $a\perp (\beta )$. D sai vì trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba có thể chéo nhau hoặc cắt nhau (ví dụ các cạnh của hình lập phương). Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$. Ta có: $AB\perp SA$ và $AB\subset (ABCD)$ nên $(SAB)\perp (ABCD)$ (đúng, phương án B đúng). Tương tự $AC\subset (ABCD)$, $SA\perp AC$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$ (đúng, phương án C đúng). Với hình vuông $ABCD$: $BD\perp AC$ (hai đường chéo vuông góc) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), suy ra $BD\perp (SAC)$, mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$ (đúng, phương án D đúng). Xét phương án A: trong $(SAB)$, $AB\perp SA$ nhưng $AB$ không vuông góc với $AC$ (vì $ABCD$ là hình vuông, góc $BAC=45^{\circ }$), nên không có đường thẳng nào trong $(SAB)$ vuông góc với $(SAC)$ tại giao tuyến $SA$; nói cách khác góc giữa $(SAB)$ và $(SAC)$ không phải $90^{\circ }$. Vậy khẳng định A là khẳng định SAI, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1145, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Suy ra $BD\perp (SAC)$ (vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ trong $(SAC)$). Mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, hai đường chéo $AC\perp BD$ tại $O$ và $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AC$. Vì $AC\perp BD$ và $AC\perp SO$ với $BD,SO$ nằm trong $(SBD)$ và cắt nhau tại $O$, suy ra $AC\perp (SBD)$. Mà $AC\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Các khẳng định B, C, D sai vì không có cơ sở vuông góc tương ứng (ví dụ giao tuyến của $(SAB)$ và $(SAC)$ là $SA$, góc giữa hai mặt này không phải $90^{\circ }$; $AC$ không vuông góc với $(SAB)$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ và $SA\subset (SAD)$, theo định lý: mặt phẳng chứa một đường vuông góc với mặt phẳng khác thì vuông góc với mặt phẳng đó, suy ra $(SAD)\perp (ABCD)$. Vậy khẳng định B đúng.

Các phương án khác sai:
- A: Không có cơ sở kết luận $(SCF)\perp (SBE)$; hai mặt phẳng này không vuông góc với nhau.
- C: Xét $(SAB)$ và $(SAC)$ có giao tuyến $SA$. $AB\perp SA$ nhưng $AB$ không vuông góc với $(SAC)$ (vì $AB$ không vuông góc với $AC$), nên không có cơ sở kết luận hai mặt phẳng vuông góc.
- D: $EF\parallel BD$ và không có đường vuông góc chung giữa $(SBC)$ và $(SEF)$, nên không có cơ sở kết luận chúng vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp AD$. Mà $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Từ đó $CD\perp (SAD)$ (vì $CD$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$). Vì $CD\subset (SCD)$ nên $(SCD)\perp (SAD)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$. Mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng đó, do đó $(SAC)\perp (ABCD)$. Các mặt phẳng $(SBD),(SCD),(SBC)$ không chứa đường thẳng nào vuông góc với đáy nên không vuông góc với $(ABCD)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$, $SA\perp AD$. Đáy là hình vuông nên $AB\perp BC$, $AB\perp AD$, $AC\perp BD$.
- A đúng: $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, mà $BC\subset (SBC)$, do đó $(SBC)\perp (SAB)$.
- B đúng: $(SAB)$ chứa đường thẳng $SA\perp (ABCD)$ nên $(SAB)\perp (ABCD)$.
- C đúng: $(SAC)$ chứa $SA\perp (ABCD)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$.
- D sai: $(SAC)$ chứa $SA\perp (SAD)$... xét giao tuyến $SA$: cần $AD\perp (SAC)$ hoặc $AC\perp (SAD)$. Ta có $AD\perp SA$ nhưng $AD$ không vuông góc với $AC$ (vì $\angle DAC=45^{\circ }\ne 90^{\circ }$), nên $AD/\perp (SAC)$; tương tự $AC\perp AB$ nhưng $AC$ không vuông góc với $SA$ hay $AD$ đủ điều kiện... thực tế $AC$ không vuông góc với $(SAD)$. Vậy không có cơ sở kết luận $(SAC)\perp (SAD)$, khẳng định này sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$. Từ đó $BD\perp (SAC)$ (vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AC$ trong mp(SAC)). Mà $BD\subset (SBD)$, nên theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, $(SBD)\perp (SAC)$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$, khi đó $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$. Tam giác $SAC$ cân tại $S$ ($SA=SC$) có $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$. Tam giác $SBD$ cân tại $S$ ($SB=SD$) có $O$ là trung điểm $BD$ nên $SO\perp BD$. Vì $AC$ và $BD$ là hai đường chéo cắt nhau tại $O$ trong mặt phẳng $(ABCD)$, suy ra $SO\perp (ABCD)$. Mà $SO\subset (SAC)$, nên $(SAC)\perp (ABCD)$. Vậy khẳng định đúng là $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp BC$. Do đó $(SAB)\perp (ABC)$ (B đúng) và $(SAC)\perp (ABC)$ (C đúng). Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$; kết hợp $BC\perp SA$ suy ra $BC\perp (SAB)$, mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$ (D đúng). Khẳng định $(SAB)\perp (SAC)$ không đúng vì giao tuyến $SA$ của hai mặt này, góc giữa hai mặt không phải $90^{\circ }$ nói chung. Vậy khẳng định sai là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(\alpha )\perp (\beta )$ với giao tuyến $d$ thì mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và vuông góc với $d$ sẽ vuông góc với $(\beta )$. Do đó mệnh đề A đúng. B sai vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau (ví dụ hai mặt tường của một căn phòng cùng vuông góc với sàn). C sai vì đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ nhưng song song hoặc trùng giao tuyến thì không vuông góc với $(\beta )$. D sai vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể vuông góc hoặc cắt nhau không vuông góc. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1014, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (A) Sai — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau (ví dụ hai tường của một căn phòng cùng vuông góc với sàn nhưng cắt nhau dọc theo cạnh). (B) Sai — chỉ những đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến mới vuông góc với mặt phẳng kia; đường thẳng song song với giao tuyến thì không vuông góc. (C) Đúng — theo tính chất của hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(P)\perp (Q)$, giao tuyến là $d$, đường thẳng $a\subset (P)$, $a\perp d$ thì $a\perp (Q)$. (D) Sai — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng không nhất thiết vuông góc với nhau. Vậy mệnh đề đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1013: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ mà $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Mặt khác $A{A}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, do đó theo định lý về mặt phẳng vuông góc, $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Chọn B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ và $SA$ vuông góc với giao tuyến $AC$ của $(SAC)$ và $(ABC)$. Theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, ta có $(SAC)\perp (ABC)$. Khẳng định B đúng. Các khẳng định A, C, D không có cơ sở vuông góc tương ứng (ví dụ $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, không dẫn đến các cặp mặt phẳng nêu trên). Đáp án khớp với bảng đáp án (Câu 8, mã đề 246: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 123: A). Các phương án B, C, D đều sai: $(SMB)$ không vuông $(SAB)$, $(SBC)$ không vuông $(SAC)$ (góc giữa chúng không phải $90^{\circ }$), và $(SBM)$ không vuông $(ABC)$ vì chỉ vuông góc đáy khi có đường thẳng trong mặt phẳng đó vuông góc với giao tuyến, điều này không xảy ra ở đây.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ và $A{A}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, ta có $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(SBD)\perp (ABCD)$, giao tuyến của hai mặt phẳng này là $BD$. Trong hình thoi $ABCD$ ta có $AC\perp BD$, mà $AC\subset (ABCD)$. Theo tính chất mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia, suy ra $AC\perp (SBD)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1354, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, mặt phẳng $(A^{\prime }B{B}^{\prime })$ chính là mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. Ta có $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$ (cạnh bên vuông góc với mặt đáy) mà $B{B}^{\prime }\subset (A^{\prime }B{B}^{\prime })$, mặt phẳng $(A^{\prime }B{B}^{\prime })$ cắt $(ABC)$ theo giao tuyến $AB$. Theo định lý: nếu một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc, suy ra $(A^{\prime }B{B}^{\prime })\perp (ABC)$. Vậy đáp án là $(ABC)$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là lăng trụ đứng nên các cạnh bên $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ đều vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Cụ thể $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ mà $A{A}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, ta có $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$. Tương tự các mặt bên khác như $(CD{D}^{\prime })$ cũng vuông góc với $(ABCD)$ nhưng đáp án A lại khẳng định $(CD{D}^{\prime })\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }BA)$ — hai mặt bên này không vuông góc với nhau (chúng cắt nhau theo giao tuyến song song với cạnh bên, góc giữa chúng bằng góc giữa $CD$ và $AB$, tức bằng góc của hình bình hành, không phải $90^{\circ }$). Các phương án B, C: mặt phẳng $(AD{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ chứa đường chéo đáy nên không vuông góc với đáy. Vậy khẳng định đúng là D.