Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Do đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$. Vậy khẳng định đúng là $(SAB)\perp (SBC)$, chọn C. Các phương án khác không suy ra được từ giả thiết.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý: hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Do đó đáp án C. A sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba có thể song song hoặc cắt nhau; B chỉ là điều kiện song song; D đúng với mọi hai mặt phẳng cắt nhau, không đòi hỏi vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$. Vậy khẳng định đúng là $(SAB)\perp (SBC)$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ nên hai đường chéo $AC\perp BD$ tại $O$. Mặt khác $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp BD$. Vì $BD\perp AC$, $BD\perp SO$ và $AC\cap SO=O$, $AC,SO\subset (SAC)$ nên $BD\perp (SAC)$. Mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Vậy đáp án là $(SAC)$, khớp với đáp án nguồn B (mã đề 1102).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc nhau tại $O$ và cắt nhau tại $O$ thuộc $AC$. Gọi $O$ là giao điểm $AC\cap BD$. Trong mặt phẳng đáy: $BD\perp AC$. Hơn nữa $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp BD$. Từ đó $BD\perp (SAC)$ vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SO$ trong mặt phẳng $(SAC)$. Mà $BD\subset (SBD)$, nên theo định lý về hai mặt phẳng vuông góc, $(SBD)\perp (SAC)$. Các mặt phẳng $(SBC)$, $(SCD)$, $(SAB)$ không vuông góc với $(SAC)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 7 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc tại $O$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, ta có $AC\perp BD$ và $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AC$. Từ đó $AC\perp (SBD)$ vì $AC$ vuông góc với hai đường thẳng $BD$ và $SO$ cắt nhau trong mặt phẳng $(SBD)$. Mặt phẳng $(SAC)$ chứa đường thẳng $AC\perp (SBD)$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Các mặt phẳng $(SBC)$, $(SCD)$, $(SAB)$ không vuông góc với $(SBD)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Mặt phẳng $(SAB)$ chứa đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $A$, do đó $(SAB)\perp (ABCD)$. Các mặt phẳng $(SBD),(SCD),(SBC)$ không chứa đường thẳng nào vuông góc với $(ABCD)$ nên không kết luận được vuông góc. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ và $SA\subset (SAC)$, theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc (mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc), ta có $(SAC)\perp (ABCD)$. Các mặt phẳng $(SCD)$, $(SBC)$, $(SBD)$ không chứa đường thẳng nào vuông góc với $(ABCD)$ nên không kết luận được vuông góc. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ và $SA\subset (SAC)$, theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc (mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc), ta có $(SAC)\perp (ABCD)$. Các mặt phẳng $(SBD)$, $(SCD)$, $(SBC)$ không chứa đường thẳng nào vuông góc với $(ABCD)$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật, các cạnh $SB,SC,SD$ không vuông góc với đáy). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$, $SA\perp AC$, $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$), suy ra $(SBC)\perp (SAB)$: phương án D đúng. Vì $SA\subset (SAB)$ và $SA\perp (ABC)$ nên $(SAB)\perp (ABC)$: phương án B đúng. Vì $SA\subset (SAC)$ và $SA\perp (ABC)$ nên $(SAC)\perp (ABC)$: phương án C đúng. Xét phương án A: hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ cắt nhau theo giao tuyến $SC$; không có cơ sở khẳng định chúng vuông góc (điều kiện cần như $BC\perp (SAC)$ hay $AC\perp (SBC)$ đều không thỏa mãn nói chung). Vậy kết luận sai là A.

Khẳng định A sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì chúng có thể cắt nhau (ví dụ: hai mặt phẳng tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt sàn).

Ta có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow (SAC)\perp (ABCD)$ (B đúng); $BD\perp AC$ và $BD\perp SA\Rightarrow BD\perp (SAC)\Rightarrow (SAC)\perp (SBD)$ (A đúng); $BC\perp AB$ và $BC\perp SA\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$ (C đúng). Khẳng định sai là $(SBC)\perp (SCD)$. Chọn D.

Trong hình chóp đều $S.ABC$, hai mặt bên $(SAB)$ và $(SBC)$ không vuông góc với nhau nên mệnh đề $(SAB)\perp (SBC)$ là sai. Chọn A.

- Vì $BD\perp AC$ và $BD\perp SA$ nên $BD\perp (SAC)\Rightarrow (SBD)\perp (SAC)$.
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$.
- Vì $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$.
Vậy khẳng định sai là $(SBC)\perp (SCD)$.

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Khi đó $d$ cũng vuông góc với $(Q)$ vì $(P)\parallel (Q)$.
Mọi mặt phẳng đi qua đường thẳng $d$ đều vuông góc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
Vì có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ nên có vô số mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Chọn đáp án B.

Mỗi mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện là một mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều. Vì tứ diện đều có $6$ cạnh nên có $6$ mặt phẳng đối xứng.

Ta có: $CD\perp AD$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật).
$SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp CD$.
$SA\cap AD=A\Rightarrow CD\perp (SAD)$.
Mà $CD\subset (SCD)$ nên $(SCD)\perp (SAD)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 2 chọn đáp án A.

Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- $AC\perp BD$ (hai đường chéo của hình vuông $ABCD$).
- $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)\Rightarrow B{B}^{\prime }\perp AC$.
Suy ra $AC\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.
Mà $AC\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, do đó $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.

Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ đứng nên $B{B}^{\prime }\perp (ABC)\Rightarrow B{B}^{\prime }\perp AB$. Lại có $AB\perp BC$ (tam giác $ABC$ vuông tại $B$) nên $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Do $AB\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Chọn C.

Vì $CD\perp AD$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật) và $CD\perp SA$ (do $SA\perp (ABCD)$) nên $CD\perp (SAD)$. Mà $CD\subset (SCD)$ nên $(SCD)\perp (SAD)$. Chọn C.