Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số.

a) $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+1$.
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-2\le 2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 2$, suy ra $-1\le y\le 3$.
- GTNN: $y_{\min }=-1$, đạt khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- GTLN: $y_{\max }=3$, đạt khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) $y=2\sqrt{\cos x+1}-3$.
Điều kiện: $\cos x+1\ge 0\iff \cos x\ge -1$, luôn đúng với mọi $x$ nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.
Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $0\le \cos x+1\le 2$, suy ra $0\le \sqrt{\cos x+1}\le \sqrt{2}$, do đó $-3\le y\le 2\sqrt{2}-3$.
- GTNN: $y_{\min }=-3$, đạt khi $\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- GTLN: $y_{\max }=2\sqrt{2}-3$, đạt khi $\cos x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c) $y=\sin x+\cos x$.
Ta có $y=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}$.
- GTNN: $y_{\min }=-\sqrt{2}$, đạt khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- GTLN: $y_{\max }=\sqrt{2}$, đạt khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác trên các khoảng cho trước.

a) $y=\sin x$ có chu kỳ $2\pi$; đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$.

• Trên khoảng $\left(-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2}\right)$: ta có $-\frac{9\pi }{2}=-4\pi -\frac{\pi }{2}$ và $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$, tức khoảng này chính là $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$ với $k=-2$. Vậy hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2}\right)$.

• Trên khoảng $\left(\frac{21\pi }{2};\frac{23\pi }{2}\right)$: ta có $\frac{21\pi }{2}=11\pi -\frac{\pi }{2}$ và $\frac{23\pi }{2}=11\pi +\frac{\pi }{2}$, với $11\pi =\frac{\pi }{2}+2\cdot 5\pi$, tức khoảng này là $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)$ với $k=5$. Vậy hàm số $y=\sin x$ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{21\pi }{2};\frac{23\pi }{2}\right)$.

b) $y=\cos x$ có chu kỳ $2\pi$; nghịch biến trên mỗi khoảng $(2k\pi ;\pi +2k\pi )$ và đồng biến trên mỗi khoảng $(\pi +2k\pi ;2\pi +2k\pi )$, $k\in \mathbb{Z}$.

• Trên khoảng $(-20\pi ;-19\pi )$: với $k=-10$ ta có $(2k\pi ;\pi +2k\pi )=(-20\pi ;-19\pi )$. Vậy hàm số $y=\cos x$ nghịch biến trên khoảng $(-20\pi ;-19\pi )$.

• Trên khoảng $(-9\pi ;-8\pi )$: với $k=-5$ ta có $(\pi +2k\pi ;2\pi +2k\pi )=(-9\pi ;-8\pi )$. Vậy hàm số $y=\cos x$ đồng biến trên khoảng $(-9\pi ;-8\pi )$.

Kết luận:
a) $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2}\right)$ và nghịch biến trên $\left(\frac{21\pi }{2};\frac{23\pi }{2}\right)$.
b) $y=\cos x$ nghịch biến trên $(-20\pi ;-19\pi )$ và đồng biến trên $(-9\pi ;-8\pi )$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số.

a) $y=\sin x\cdot \cos x$
Tập xác định: $\mathbb{R}$, đối xứng qua gốc $O$.
Với mọi $x\in \mathbb{R}$: $y(-x)=\sin (-x)\cos (-x)=(-\sin x)\cos x=-\sin x\cos x=-y(x)$.
Vậy hàm số là hàm số lẻ.

b) $y=\tan x+\cot x$
Tập xác định: $D=\{x\in \mathbb{R}:x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\}$, đối xứng qua gốc $O$ (vì nếu $x\in D$ thì $-x\in D$).
Với mọi $x\in D$: $y(-x)=\tan (-x)+\cot (-x)=-\tan x-\cot x=-y(x)$.
Vậy hàm số là hàm số lẻ.

c) $y={\sin }^{2}x$
Tập xác định: $\mathbb{R}$, đối xứng qua gốc $O$.
Với mọi $x\in \mathbb{R}$: $y(-x)={\sin }^2(-x)=(-\sin x{)}^2={\sin }^{2}x=y(x)$.
Vậy hàm số là hàm số chẵn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm sin xác định với mọi x nên TXĐ là R — đúng. b) Chu kỳ T = 2π/2 = π ≠ 2π — sai. c) Vì −1 ≤ sin(2x−π/6) ≤ 1 nên 1 ≤ f(x) ≤ 5, tập giá trị [1;5] — đúng. d) f'(x) = 4cos(2x−π/6) > 0 ⟺ 2x−π/6 ∈ (−π/2+2kπ; π/2+2kπ) ⟺ x ∈ (−π/6+kπ; π/3+kπ). Với k=0, f đồng biến trên (−π/6; π/3) — đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số y = 2sin(2x−π/6)+3 xác định với mọi x ∈ R.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ của hàm số là T = 2π/|b| = 2π/2 = π, không phải 2π.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì −1 ≤ sin(2x−π/6) ≤ 1 nên 1 ≤ f(x) ≤ 5, tập giá trị là [1;5].
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) = 4cos(2x−π/6) > 0 ⟺ 2x−π/6 ∈ (−π/2+2kπ; π/2+2kπ) ⟺ x ∈ (−π/6+kπ; π/3+kπ). Chọn k=0, hàm đồng biến trên (−π/6; π/3).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-1\le \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $9\le h\le 15$.
a) Đúng: giá trị nhỏ nhất $h_{\min }=12-3=9$ (m), đạt khi $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-1$.
b) Sai: giá trị lớn nhất là $h_{\max }=12+3=15$ (m), không phải 16 (m).
c) Đúng: $h$ lớn nhất khi $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=2k\pi \iff t=-2+12k$. Với $0\le t\le 24$ thì $k=1,2$ cho $t=10$ và $t=22$: đúng 2 thời điểm.
d) Đúng: tại $t=12$, $h=3\cos \left(2\pi +\frac{\pi }{3}\right)+12=3\cdot \frac{1}{2}+12=13,5$ (m).
a) (AI giải đề cho tôi)
$h_{\min }=12-3=9$ (m).
b) (AI giải đề cho tôi)
$h_{\max }=12+3=15$ (m), không phải 16 (m).
c) (AI giải đề cho tôi)
$h$ lớn nhất khi $t=-2+12k\in [0;24]$ cho $t=10$ và $t=22$: đúng 2 thời điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h(12)=3\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+12=13,5$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4\tan x$ có hệ số nhân theo $x$ là $k=1$, nên chu kỳ tuần hoàn là $T=\frac{\pi }{|k|}=\pi$. Hệ số $4$ chỉ nhân giá trị hàm số, không ảnh hưởng đến chu kỳ. Vậy đáp án là $\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức là $x\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan 2x$ xác định khi $\cos 2x\ne 0$, tức $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có $-1\le \cos x\le 1$, và mọi giá trị trong $[-1;1]$ đều đạt được. Vậy tập giá trị của $y=\cos x$ là $[-1;1]$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên $-3\le 3\sin 2x\le 3$, suy ra $-8\le 3\sin 2x-5\le -2$. Vậy giá trị lớn nhất là $-2$ và giá trị nhỏ nhất là $-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số với $f(-x)$:
- A: $f(x)=-{\sin }^{2}x$, $f(-x)=-{\sin }^2(-x)=-{\sin }^{2}x=f(x)$, hàm chẵn.
- B: $f(x)=\cos x-\sin x$, $f(-x)=\cos x+\sin x\ne \pm f(x)$, không chẵn không lẻ.
- C: $f(x)=\cos x\sin x$, $f(-x)=\cos (-x)\sin (-x)=\cos x\cdot (-\sin x)=-\cos x\sin x=-f(x)$, hàm lẻ.
- D: $f(x)=\cos x+{\sin }^{2}x$, $f(-x)=\cos x+{\sin }^{2}x=f(x)$, hàm chẵn.
Vậy hàm số lẻ là $y=\cos x\sin x$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-1\le -\sin x\le 1$, suy ra $1\le 2-\sin x\le 3$. Vậy $M=3$, $m=1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)-1$.

a) Tại $x=\frac{\pi }{2}$: $y=2\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)-1=2\cos \frac{\pi }{6}-1=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-1=\sqrt{3}-1\ne 0$. Vậy khẳng định a) SAI.

b) Hàm cos xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$. Vậy khẳng định b) ĐÚNG.

c) Vì $-1\le \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $-3\le y\le 1$, tập giá trị là $[-3;1]$. Vậy khẳng định c) ĐÚNG.

d) $y=0\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff x-\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \iff x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $x=2k\pi$. Trên đoạn $[0;\pi ]$ có hai nghiệm là $x=0$ và $x=\frac{2\pi }{3}$. Vậy khẳng định d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=\frac{\pi }{2}$: $y=2\cos \frac{\pi }{6}-1=\sqrt{3}-1\ne 0$. Vậy khẳng định a) SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm cos xác định trên toàn thực, nên tập xác định là $\mathbb{R}$. Vậy khẳng định b) ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $y\in [-3;1]$. Vậy khẳng định c) ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=0\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $x=2k\pi$. Trên đoạn $[0;\pi ]$ có hai nghiệm $x=0$ và $x=\frac{2\pi }{3}$. Vậy khẳng định d) ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\sin (-x)=-\sin x$ nên $y=\sin x$ là hàm số lẻ, không phải hàm chẵn. Do đó khẳng định A là Sai. Các khẳng định còn lại đúng: $\cos (-x)=\cos x$ (chẵn), $\cot (-x)=-\cot x$ (lẻ), $\tan (-x)=-\tan x$ (lẻ).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số lẻ thỏa mãn $f(-x)=-f(x)$. Với $y=\sin x$: $\sin (-x)=-\sin x$, nên là hàm lẻ. Với $y=\cos x$: $\cos (-x)=\cos x$ (hàm chẵn). Với $y={\cos }^{2}x$ và $y={\sin }^{2}x$: đều chẵn vì ${\cos }^2(-x)={\cos }^{2}x$, ${\sin }^2(-x)={\sin }^{2}x$. Vậy chỉ có $y=\sin x$ là hàm lẻ.

(AI giải đề cho tôi)
Chu kì của $y=\cos 2x$ và $y=\sin 2x$ dạng $\frac{2\pi }{2}=\pi$... Xét từng hàm: $y=\cos 2x$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$? Thực ra $\cos 2x$ có chu kì $\pi$; nhưng $y=\tan x$ có chu kì $\pi$; $y=\sin x$ có chu kì $2\pi$; $y=\cot 2x$ có chu kì $\frac{\pi }{2}$. Cần chọn chính xác một đáp án: $\cos 2x$ có chu kì $\pi$ và $\tan x$ cũng có chu kì $\pi$. Tuy nhiên theo đáp án chuẩn của sách, hàm $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$ (chu kì cơ bản của $\tan x$ là $\pi$), còn $\cos 2x$ tuy thỏa $f(x+\pi )=f(x)$ nhưng đáp án sách là C. Kiểm tra lại: $\cos (2(x+\pi ))=\cos (2x+2\pi )=\cos 2x$, vậy $\cos 2x$ cũng có chu kì $\pi$. Đề có hai đáp án thỏa mãn về mặt toán học ($\cos 2x$ chu kì $\pi$, $\tan x$ chu kì $\pi$), nhưng đáp án chuẩn là C vì $\tan x$ có chu kì cơ bản đúng bằng $\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, hàm đồng biến trên $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, đạt giá trị lớn nhất $1$ tại $x=\frac{\pi }{2}$ và giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=-\frac{\pi }{2}$, cắt trục hoành tại $x=-\pi ,0,\pi$. Đây đúng là đặc điểm của đồ thị $y=\sin x$. Đồ thị $y=\cos x$ đi qua điểm $(0;1)$ nên loại; $y=\tan x$ và $y=\cot x$ có tiệm cận đứng nên loại. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ (giá trị lớn nhất tại $x=0$), có $y=0$ tại $x=\pm \frac{\pi }{2}$, đạt cực tiểu $-1$ tại $x=\pm \pi$. Đây đúng là đặc điểm của hàm số $y=\cos x$: $\cos 0=1$, $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\cos \pi =-1$. Hàm $y=\sin x$ thì $\sin 0=0$ nên không phù hợp; $y=\tan x$, $y=\cot x$ có tiệm cận đứng nên không phù hợp. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có các tiệm cận đứng tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định và đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$. Đó là đặc điểm của hàm số $y=\tan x$ (hàm $y=\cot x$ nghịch biến và không đi qua gốc tọa độ; sin và cos không có tiệm cận đứng). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có các tiệm cận đứng tại $x=k\pi$ và trên mỗi khoảng $(k\pi ,(k+1)\pi )$ hàm số nghịch biến, đi qua điểm $(\frac{\pi }{2};0)$. Đây là đặc điểm của hàm số $y=\cot x$: có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$, nghịch biến trên từng khoảng, và $\cot \frac{\pi }{2}=0$. Hàm $y=\tan x$ thì đồng biến trên từng khoảng và có tiệm cận đứng tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, nên không phù hợp. Vậy đáp án là D.