Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\cos 2x$. a) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$: Đúng. b) Hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$, không phải $2\pi$: Sai. c) Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ nên tập giá trị là $[-1;1]$, không phải $[-2;2]$: Sai. d) $\cos (2(-x))=\cos (-2x)=\cos 2x$ nên hàm số là hàm chẵn, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng: Đúng. Kết quả khớp với đáp án của đề (Đ S S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ là $T=\frac{2\pi }{2}=\pi \ne 2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ nên tập giá trị là $[-1;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (-2x)=\cos 2x$ nên hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa $f(-x)=f(x)$. Xét từng phương án: A) $y=\cot x-x$: $f(-x)=\cot (-x)+x=-\cot x+x=-f(x)$, hàm lẻ. B) $y={\sin }^{3}x$: $f(-x)={\sin }^3(-x)=-{\sin }^{3}x=-f(x)$, hàm lẻ. C) $y=\tan x$: $\tan (-x)=-\tan x$, hàm lẻ. D) $y=\cos x$: $\cos (-x)=\cos x=f(x)$, hàm chẵn. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cot x$, $y=\tan x$, $y=\sin x$ đều là các hàm số tuần hoàn (với chu kỳ lần lượt là $\pi ,\pi ,2\pi$). Với $y=\cos x+x$: giả sử hàm tuần hoàn với chu kỳ $T>0$ thì $\cos (x+T)+(x+T)=\cos x+x$ với mọi $x$, suy ra $T=0$ (so sánh hệ số của $x$) và $\cos (x+T)=\cos x$, mâu thuẫn. Vậy $y=\cos x+x$ không phải hàm số tuần hoàn. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 101: B).

Đáp án theo bảng đáp án chính thức (mã đề 0102, Câu 10): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Lời giải tham chiếu (AI solution agent, tách biệt với đáp án nguồn):
a) Đúng. Hàm số $y=4\cos 2x+3$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$.
b) Đúng. Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ nên $-4\le 4\cos 2x\le 4$, suy ra $-1\le y\le 7$. Tập giá trị là $[-1;7]$.
c) Sai. Hàm số $y=4\cos 2x+3$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$.
d) Theo bảng đáp án chính thức của nguồn, phát biểu này được ghi là Sai (S). Lưu ý: về mặt toán học $f(-x)=4\cos (-2x)+3=4\cos 2x+3=f(x)$ nên hàm số là hàm chẵn; đáp án được giữ nguyên theo nguồn (có thể nguồn nhầm hoặc key in sai).
a) Chu kì $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ (AI solution agent).
b) $-1\le \cos 2x\le 1\Rightarrow -1\le y\le 7$ (AI solution agent).
c) Tập xác định là $\mathbb{R}$ (AI solution agent).
d) Bảng đáp án chính thức ghi Sai (S). Về mặt toán học $f(-x)=f(x)$ nên hàm chẵn; đáp án giữ nguyên theo nguồn (AI solution agent, ghi chú mâu thuẫn).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Khớp với đáp án A (bảng đáp án mã đề 0101 cho Câu 3 là A).

Đáp án theo bảng đáp án chính thức (mã đề 0101, Câu 9): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $-4\le 4\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\le 4$, suy ra $-3\le y\le 5$. Vậy $M=5$, $m=-3$, do đó $M+m=5+(-3)=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 1: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: $y=\sin x$ là hàm lẻ ($\sin (-x)=-\sin x$) nhưng tuần hoàn với chu kì $2\pi$, nên A sai (chu kì $\pi$ sai) và B sai (không phải hàm chẵn). $y=\cos x$ là hàm chẵn ($\cos (-x)=\cos x$), tuần hoàn chu kì $2\pi$, nên C sai (không phải hàm lẻ). $y=\tan x$ là hàm lẻ ($\tan (-x)=-\tan x$) và tuần hoàn với chu kì $\pi$ vì $\tan (x+\pi )=\tan x$, nên D đúng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos x$ là hàm chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$, nên phát biểu ở phương án C là sai. Các hàm $y=\sin x$, $y=\tan x$, $y=\cot x$ đều là hàm lẻ vì thỏa mãn $f(-x)=-f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có $y^{\prime }=\cos x$, đồng biến khi $\cos x>0$, tức trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét các đáp án: A $\left(-\frac{\pi }{2};\pi \right)$ không đúng vì hàm nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$; B $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ là khoảng nghịch biến; C $\left(\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)=\left(-\frac{\pi }{2}+2\pi ;\frac{\pi }{2}+2\pi \right)$ đúng là khoảng đồng biến với $k=1$; D $(-2\pi ;-\pi )$ không phải khoảng đồng biến. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua gốc tọa độ O, đồng biến trên mỗi nhánh, có tiệm cận đứng tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2}$ và cắt trục hoành tại $x=k\pi$. Đây đúng là đặc điểm của hàm số $y=\tan x$ (tập xác định $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$). Hàm $y=\cot x$ có tiệm cận tại $x=k\pi$ và nghịch biến, còn $y=\sin x$, $y=\cos x$ là đồ thị sóng hình sin nên bị loại. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ xác định với mọi số thực $x$ vì cosin nhận giá trị trên toàn tập $\mathbb{R}$ (giá trị luôn nằm trong $[-1;1]$). Các đáp án B, C, D loại trừ các điểm $k\pi$, $\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k2\pi$ là tập xác định của $\tan x$, $\cot x$... chứ không phải của $\cos x$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}$, chọn A. Kết quả khớp với bảng đáp án chính thức (Câu 2 chọn A, trang 5) và đáp án gạch chân A trên trang lời giải (trang 8).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Cho $f(x)=\tan x$. a) Hàm $\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, và do $\tan x$ nhận mọi giá trị thực nên tập giá trị là $\mathbb{R}$ → đúng. b) $\tan (-x)=-\tan x\ne \tan x$ (với $x\ne 0$), hàm số là hàm lẻ, không phải hàm chẵn → sai. c) Đồ thị trong hình có các đường tiệm cận đứng tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\dots$ và mỗi nhánh đi qua điểm giữa $(-\pi ,0),(0,0),(\pi ,0),\dots$ tăng từ $-\infty$ đến $+\infty$, đúng là đồ thị $y=\tan x$ → đúng. d) Trên khoảng $$\begin{gathered} left(-\pi ;\frac{3\pi }{2} \\ right) \end{gathered}$$, $\tan x=0$ khi $x=k\pi$: các giá trị thuộc khoảng là $x=0$ và $x=\pi$ ($x=-\pi$ không thuộc khoảng vì khoảng mở) → chỉ có 2 nghiệm, không phải 3 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$; tập giá trị của $\tan x$ là $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=\tan (-x)=-\tan x=-f(x)$, hàm số là hàm lẻ nên $f(-x)=f(x)$ chỉ đúng khi $x=0$, không đúng với mọi $x\in \mathcal{D}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ có tiệm cận đứng tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\dots$ và các nhánh đi qua $(-\pi ,0),(0,0),(\pi ,0)$ tăng từ $-\infty$ đến $+\infty$: đúng là đồ thị $y=\tan x$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $$\begin{gathered} left(-\pi ;\frac{3\pi }{2} \\ right) \end{gathered}$$, $\tan x=0\iff x=k\pi$; chỉ có $x=0$ và $x=\pi$ thuộc khoảng ($x=-\pi$ không thuộc vì khoảng mở) → chỉ 2 nghiệm, không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua gốc toạ độ $O(0;0)$, liên tục, tuần hoàn $2\pi$, có giá trị lớn nhất $1$ tại $x=\frac{\pi }{2}$ và giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=-\frac{\pi }{2}$, đồng thời hàm số đồng biến trên khoảng quanh gốc. Đây chính là đặc điểm của đồ thị hàm số $y=\sin x$. Đồ thị $y=\cos x$ đi qua điểm $(0;1)$; $y=\tan x$ và $y=\cot x$ có tiệm cận đứng và không bị chặn trong $[-1;1]$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
D(t) đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{12}(t-10)+\frac{\pi }{6}\right)=1$, tức $\frac{\pi }{12}(t-10)+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Suy ra $\frac{t-10}{12}=\frac{1}{3}+2k$, tức $t=14+24k$. Với $0\le t<24$ thì $t=14$. Vậy lượng dữ liệu đạt mức cao nhất vào lúc 14 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có giá trị $f(0)=1$, đạt cực đại tại $x=0$ (và $x=\pm 2\pi$), cực tiểu bằng $-1$ tại $x=\pm \pi$, dao động trong đoạn $[-1;1]$ với chu kỳ $2\pi$. Đây đúng là đặc điểm của $y=\cos x$. Với $y=\sin x$ thì $f(0)=0$; còn $y=\tan x,y=\cot x$ có tiệm cận đứng và không bị chặn trong $[-1;1]$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm huyết áp: $p(t)=125+15\sin (160\pi t)$. Vì $-1\le \sin (160\pi t)\le 1$ nên $110\le p(t)\le 140$. Huyết áp tối đa (tâm thu) là $p_{max}=125+15=140$ mmHg, huyết áp tối thiểu (tâm trương) là $p_{min}=125-15=110$ mmHg. Vậy chỉ số huyết áp của người này là $140/110$, cao hơn chỉ số bình thường $120/80$ ở cả huyết áp tâm thu (140 > 120) và huyết áp tâm trương (110 > 80), tức huyết áp của người này cao hơn mức bình thường. Chuỗi dao động: $T=\frac{2\pi }{160\pi }=\frac{1}{80}$ phút, tức tim đập 80 nhịp mỗi phút.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16: a) Thay $t=91$: $\frac{2\pi }{365}\cdot 91-\frac{323\pi }{730}=\frac{364\pi }{730}-\frac{323\pi }{730}=\frac{41\pi }{730}\approx 0,1765$ (rad). Khi đó $\sin \left(\frac{41\pi }{730}\right)\approx 0,1756$, nên $d(91)=3,11\cdot 0,1756+12,19\approx 0,55+12,19=12,74$ giờ. Vậy ngày 1/4/2023 Boston có khoảng $12,74$ giờ có ánh sáng mặt trời.

b) $d(t)$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \left(\frac{2\pi }{365}t-\frac{323\pi }{730}\right)=1$, tức $\frac{2\pi }{365}t-\frac{323\pi }{730}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Với $k=0$: $\frac{2\pi }{365}t=\frac{\pi }{2}+\frac{323\pi }{730}=\frac{688\pi }{730}=\frac{344\pi }{365}$, suy ra $t=172$ (thỏa mãn $0\le t\le 365$). Vậy ngày thứ $172$ của năm 2023 là ngày Hạ chí (tương ứng ngày 21/6/2023, đúng ngày Hạ chí của bán cầu Bắc). Khi đó $d(172)=3,11+12,19=15,30$ giờ là số giờ ánh sáng lớn nhất trong năm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6. Tìm tập xác định:
a) $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$: điều kiện $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.
b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2-\cos x}}$: cần $\frac{1+\cos x}{2-\cos x}\ge 0$. Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $2-\cos x\ge 1>0$ và $1+\cos x\ge 0$ với mọi $x$. Do đó biểu thức dưới căn luôn không âm, $D=\mathbb{R}$.
c) $y=\frac{1-\cos x}{\sin x-1}$: điều kiện $\sin x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{2}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.
d) $y=\frac{\cos x}{\sin x+1}$: điều kiện $\sin x\ne -1\iff x\ne -\frac{\pi }{2}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.
e) $y=\frac{\cot x}{\cos x-1}$: cần $\cot x$ xác định tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$, và mẫu $\cos x\ne 1$. Nhưng khi $\cos x=1$ thì $\sin x=0$, đã bị loại bởi điều kiện $x\ne k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.
f) $y=\tan x+\cot x$: cần $\tan x$ xác định ($\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$) và $\cot x$ xác định ($\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$). Kết hợp lại $x\ne \frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.