Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos \sqrt{x}$ xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn không âm: $x\ge 0$. Với mọi $x\ge 0$, $\sqrt{x}$ xác định và $\cos \sqrt{x}$ cũng xác định. Vậy tập xác định là $D=[0;+\infty )$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án của đề (mã đề 102, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=\cos x>0$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên $f$ đồng biến → Đúng.
b) $\sin x=\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\iff 2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0\iff \sin x=\frac{1}{2}$ hoặc $\sin x=-1$. Nghiệm dương nhỏ nhất: $x=\frac{\pi }{6}$; nghiệm âm lớn nhất: $x=-\frac{\pi }{2}$. Tổng $=\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{3}\ne -\frac{\pi }{6}$ → Sai.
c) Trên $(0;\pi )$: $\sin x=\frac{1}{2}$ cho $x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$; $\sin x=-1$ cho $x=\frac{3\pi }{2}\notin (0;\pi )$. Vậy hai đồ thị cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt → Đúng.
d) $g(-x)=\cos (-2x)=\cos 2x=g(x)$, hàm chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng → Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 3 Phần II: Đ, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)=\cos x>0$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên hàm số đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Giải $\sin x=\cos 2x$ được $\sin x=\frac{1}{2}$ hoặc $\sin x=-1$. Nghiệm dương nhỏ nhất $\frac{\pi }{6}$, nghiệm âm lớn nhất $-\frac{\pi }{2}$, tổng bằng $-\frac{\pi }{3}\ne -\frac{\pi }{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên $(0;\pi )$ phương trình có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$, nên hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $g(-x)=\cos (-2x)=\cos 2x=g(x)$ nên $g$ là hàm chẵn, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-60)\right]+12$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-60)\right]=-1$, tức $\frac{\pi }{182}(t-60)=-\frac{\pi }{2}+k\cdot 2\pi$, suy ra $t=60-91+364k=-31+364k$. Với $k=0$: $t=-31$ (không thỏa $0<t\le 365$). Với $k=1$: $t=333$ (thỏa mãn). Kiểm tra: $\frac{\pi }{182}(333-60)=\frac{273\pi }{182}=1,5\pi$, $\sin (1,5\pi )=-1$, khi đó $d(333)=3(-1)+12=9$ giờ — nhỏ nhất. Vậy bạn Sáng nên chọn ngày thứ $333$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (333).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nhân với $\sqrt{2}>0$ ta được $-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin x\le \sqrt{2}$. Mặt khác với $x=\frac{\pi }{2}$ thì $y=\sqrt{2}$ và với $x=-\frac{\pi }{2}$ thì $y=-\sqrt{2}$, nên hàm số đạt mọi giá trị trong đoạn $\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$. Vậy tập giá trị là $\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $\tan (-x)=-\tan x$ (lẻ); $\sin (-x)=-\sin x$ (lẻ); $\cot (-x)=-\cot x$ (lẻ); $\cos (-x)=\cos x$ (chẵn). Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$, nên là hàm chẵn. $y=\sin x$ có $\sin (-x)=-\sin x$ (hàm lẻ). $y=\tan x$ và $y=\cot x$ đều có $f(-x)=-f(x)$ (hàm lẻ). Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$, khớp với đáp án A trong bảng mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức $\sin x\ne 0$. Ta có $\sin x=0\iff x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (C) trong bảng đáp án mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\sin x$ và $g(x)=\cos 2x$.
a) $g(x)=\cos 2x$ là hàm số chẵn ($g(-x)=\cos (-2x)=\cos 2x=g(x)$), nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=\cos x>0$ với mọi $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, nên $f(x)=\sin x$ đồng biến trên khoảng này. Đúng.
c) $f(x)=g(x)\iff \sin x=\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\iff 2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0\iff \sin x=\frac{1}{2}$ hoặc $\sin x=-1$. Với $x\in (0;\pi )$: $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}$; $\sin x=-1$ vô nghiệm. Vậy đồ thị hai hàm số cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc $(0;\pi )$. Đúng.
d) Nghiệm dương nhỏ nhất của $\sin x=\cos 2x$ là $x=\frac{\pi }{6}$; nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{2}$ (vì $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$). Tổng $\frac{\pi }{6}+\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{3}\ne -\frac{\pi }{6}$. Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\cos 2x$ là hàm chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\cos x>0$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên hàm số đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\cos 2x\iff 2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0\iff \sin x=\frac{1}{2}$ hoặc $\sin x=-1$. Trên $(0;\pi )$ có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{6},x=\frac{5\pi }{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{6}$, nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{2}$; tổng bằng $-\frac{\pi }{3}\ne -\frac{\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-60)\right]+12$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-60)\right]=-1$, tức $\frac{\pi }{182}(t-60)=-\frac{\pi }{2}+k\cdot 2\pi$, suy ra $t-60=-91+364k$, tức $t=-31+364k$. Với $k=0$: $t=-31$ (không thỏa $0<t\le 365$). Với $k=1$: $t=333$ (thỏa mãn). Vậy ngày thứ $333$ thành phố $T$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ($d(333)=9$ giờ), khớp với đáp án 333.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$. Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}\approx -1,414$, làm tròn đến hàng phần mười là $-1,4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-1,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ với mọi $x$, nhân với $\sqrt{2}>0$ ta được $-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin x\le \sqrt{2}$. Đẳng thức xảy ra khi $\sin x=1$ (tại $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$) và $\sin x=-1$ (tại $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$), nên hàm số đạt mọi giá trị trong đoạn $\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$. Vậy tập giá trị là $\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 101, câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án B (khớp bảng đáp án mã đề 122, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có tập giá trị $[-1;1]$, do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-1$, đạt được khi $x=\pi +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án đúng là B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 6, Mã đề 122: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, và mọi giá trị trong $[-1;1]$ đều đạt được (ví dụ $2x=\frac{\pi }{2}$ cho $y=1$), nên tập giá trị của hàm số $y=\sin 2x$ là $[-1;1]$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 111, câu 12: C.

(AI giải đề cho tôi)
L(t)=12+2,83 sin(2π/365 (t−80)) đạt giá trị lớn nhất khi sin(2π/365 (t−80))=1, tức 2π/365 (t−80)=π/2+k·2π. Với k=0: t−80=365/4=91,25 nên t=171,25. Vì t∈ℤ, 0<t≤365, so sánh hai giá trị nguyên lân cận: với t=171, góc là 2π/365·91=182π/365=π/2−π/730; với t=172, góc là 2π/365·92=184π/365=π/2+3π/730. Vì π/730<3π/730 nên 182π/365 gần π/2 hơn, do đó sin(182π/365)>sin(184π/365), suy ra L(171)>L(172). Vậy ngày thứ 171 là ngày duy nhất trong năm (t nguyên) có nhiều giờ ánh sáng nhất. Kết quả trùng với bảng đáp án của đề (Mã đề 111, Phần III, Câu 3): 171. Vậy bạn Ngọc nên đến thành phố A vào ngày thứ 171 của năm (khoảng 20 tháng 6).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Điều này khớp với đáp án B trong bảng đáp án chính thức (Mã đề 111, Câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\sin 2x$. a) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$: Đúng. b) Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$: Đúng. c) Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên tập giá trị là $[-1;1]$, không phải $[-2;2]$: Sai. d) $\sin 2(-x)=-\sin 2x$ nên hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ: Đúng. Khớp với đáp án nguồn Đề 102: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sin 2x$ xác định với mọi $x$ thực, tập xác định $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{|2|}=\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên tập giá trị là $[-1;1]$, không phải $[-2;2]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số là hàm lẻ: $\sin 2(-x)=-\sin 2x$, nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số lẻ thỏa mãn $f(-x)=-f(x)$. Xét từng hàm: $y=\sin x$: $\sin (-x)=-\sin x$, nên hàm lẻ. $y=\cos x$: $\cos (-x)=\cos x$, hàm chẵn. $y={\tan }^{2}x$: ${\tan }^2(-x)={\tan }^{2}x$, hàm chẵn. $y=x\cot x$: $(-x)\cot (-x)=x\cot x$, hàm chẵn. Vậy hàm số lẻ là $y=\sin x$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 102, Câu 4 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x\tan x$ không tuần hoàn vì nếu nó tuần hoàn với chu kỳ $T>0$ thì $x\tan x=(x+T)\tan (x+T)=(x+T)\tan x$ với mọi $x$ (do $\tan$ tuần hoàn chu kỳ $\pi$, nên $T=k\pi$), suy ra $T\tan x=0$ với mọi $x$, vô lý. Các hàm $y=\cot x$, $y=\cos x$, $y=\sin x$ đều tuần hoàn (chu kỳ lần lượt $\pi$, $2\pi$, $2\pi$). Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 5: C).