Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số.

1) $y=6\sin x-1$. Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-6\le 6\sin x\le 6$, do đó $-7\le y\le 5$.
$\max y=5$ khi $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$; $\min y=-7$ khi $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) $y=7-9\cos 5x$. Vì $-1\le \cos 5x\le 1$ nên $-9\le -9\cos 5x\le 9$, do đó $-2\le y\le 16$.
$\max y=16$ khi $\cos 5x=-1\iff 5x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}$; $\min y=-2$ khi $\cos 5x=1\iff x=\frac{k2\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.

3) $y=\sin 2x-\cos 2x-5=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-5$. Vì $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}-5\le y\le \sqrt{2}-5$.
$\max y=\sqrt{2}-5$ khi $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$; $\min y=-\sqrt{2}-5$ khi $2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

4) $y={\cos }^{2}x+\cos x-5$. Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$, khi đó $y=t^2+t-5={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{21}{4}$ trên đoạn $[-1;1]$.
Hàm đồng biến với $t\ge -\frac{1}{2}$ nên $\min y=-\frac{21}{4}$ khi $t=-\frac{1}{2}\iff \cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$.
So sánh tại hai đầu: $t=1\Rightarrow y=-3$; $t=-1\Rightarrow y=-5$, nên $\max y=-3$ khi $\cos x=1\iff x=k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kết luận: (1) $\max y=5$, $\min y=-7$; (2) $\max y=16$, $\min y=-2$; (3) $\max y=\sqrt{2}-5$, $\min y=-\sqrt{2}-5$; (4) $\max y=-3$, $\min y=-\frac{21}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Tìm chu kì của các hàm số:

1) $y=\sin 5x$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{|5|}=\frac{2\pi }{5}$.

2) $y=\cos \frac{2x}{3}$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{\left|\frac{2}{3}\right|}=\frac{2\pi }{\frac{2}{3}}=3\pi$.

3) $y=\tan \frac{x}{2}$ có chu kì $T=\frac{\pi }{\left|\frac{1}{2}\right|}=2\pi$.

4) $y=\cot 6x$ có chu kì $T=\frac{\pi }{|6|}=\frac{\pi }{6}$.

Kiểm tra: với $y=\sin 5x$, $\sin 5\left(x+\frac{2\pi }{5}\right)=\sin (5x+2\pi )=\sin 5x$ ✓; với $y=\cot 6x$, $\cot 6\left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\cot (6x+\pi )=\cot 6x$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7. Tìm max, min:
1) $y=6\sin x-1$: vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-7\le y\le 5$. Max $=5$ khi $\sin x=1$ tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$; Min $=-7$ khi $\sin x=-1$ tức $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
2) $y=7-9\cos 5x$: vì $-1\le \cos 5x\le 1$ nên $-2\le y\le 16$. Max $=16$ khi $\cos 5x=-1$ tức $5x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}$; Min $=-2$ khi $\cos 5x=1$ tức $x=\frac{k2\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.
3) $y=\sin 2x-\cos 2x-5=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-5$. Vì $-\sqrt{2}\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}$ nên $-5-\sqrt{2}\le y\le -5+\sqrt{2}$. Max $=\sqrt{2}-5$ khi $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$; Min $=-5-\sqrt{2}$ khi $2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
4) $y={\cos }^{2}x+\cos x-5$. Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$, xét $f(t)=t^2+t-5={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{21}{4}$ trên $[-1;1]$. Hàm đồng biến với $t\ge -\frac{1}{2}$ nên Min $=f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{21}{4}$ khi $\cos x=-\frac{1}{2}$ tức $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$; Max $=f(1)=-3$ khi $\cos x=1$ tức $x=k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0\le {\sin }^{2}x\le 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $5-3{\sin }^{2}x\in [2;5]>0$, do đó hàm số xác định trên $D=\mathbb{R}$ → a đúng. Ta có $f(-x)=\sqrt{5-3{\sin }^2(-x)}=\sqrt{5-3{\sin }^{2}x}=f(x)$, nên hàm số chẵn, không lẻ → b sai. Giá trị lớn nhất $\max f=\sqrt{5}$ (khi $\sin x=0$), không phải 2 → c sai. Vì $5-3{\sin }^{2}x$ nhận mọi giá trị trong $[2;5]$ nên tập giá trị của $f(x)$ là $[\sqrt{2};\sqrt{5}]$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0\le {\sin }^{2}x\le 1$ nên $5-3{\sin }^{2}x\ge 2>0$ với mọi $x$, hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=f(x)$ nên hàm số chẵn, không phải hàm lẻ.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\sin }^{2}x\in [0;1]$ nên $5-3{\sin }^{2}x\in [2;5]$, giá trị lớn nhất là $\sqrt{5}\approx 2,236\ne 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $5-3{\sin }^{2}x$ nhận mọi giá trị trong $[2;5]$ nên tập giá trị của $f(x)$ là $[\sqrt{2};\sqrt{5}]$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4. Tìm tập xác định:

1) $y=\frac{x+3}{2\sin x-1}$: Hàm số xác định khi $2\sin x-1\ne 0\iff \sin x\ne \frac{1}{2}$. Vì $\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

2) $y=\frac{\cos x+7}{\cos 4x+1}$: Tử số $\cos x+7\ge 6>0$ luôn khác 0. Hàm số xác định khi $\cos 4x+1\ne 0\iff \cos 4x\ne -1\iff 4x\ne \pi +k2\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

3) $y=\tan \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$: Hàm tan xác định khi $x+\frac{3\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

4) $y=\cot 2x-\tan x$: Điều kiện $\cot 2x$ xác định: $2x\ne k\pi \iff x\ne k\frac{\pi }{2}$; $\tan x$ xác định: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Vì $\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\subset \left\{k\frac{\pi }{2}\right\}$, nên điều kiện gộp là $x\ne k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\frac{\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5. Xét tính chẵn lẻ.

1) $y={\sin }^{3}x+\tan x$. TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$ đối xứng qua gốc tọa độ. Với mọi $x\in D$: $y(-x)={\sin }^3(-x)+\tan (-x)=-{\sin }^{3}x-\tan x=-y(x)$. Vậy hàm số là hàm lẻ.

2) $y={\sin }^{2}x+\cos x$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$ đối xứng. $y(-x)={\sin }^2(-x)+\cos (-x)={\sin }^{2}x+\cos x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

3) $y=\frac{\sin 2x}{x}$. TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ đối xứng. $y(-x)=\frac{\sin (-2x)}{-x}=\frac{-\sin 2x}{-x}=\frac{\sin 2x}{x}=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

4) $y=\sin x+\cos x$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$ đối xứng. $y(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x$. Ta có $y(-x)\ne y(x)$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: $y=\sqrt{2}$, $y(-x)=0$) và $y(-x)\ne -y(x)$ (vì $-y(\frac{\pi }{4})=-\sqrt{2}\ne 0$). Vậy hàm số không chẵn không lẻ.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Tìm chu kì các hàm số:
1) $y=\sin 5x$: chu kì $T=\frac{2\pi }{5}$.
2) $y=\cos \frac{2x}{3}$: chu kì $T=\frac{2\pi }{2/3}=3\pi$.
3) $y=\tan \frac{x}{2}$: chu kì $T=\frac{\pi }{1/2}=2\pi$.
4) $y=\cot 6x$: chu kì $T=\frac{\pi }{6}$.

Giải thích: với $y=\sin (bx)$ hoặc $y=\cos (bx)$ chu kì là $T=\frac{2\pi }{|b|}$; với $y=\tan (bx)$ hoặc $y=\cot (bx)$ chu kì là $T=\frac{\pi }{|b|}$. Kiểm tra: $\sin 5(x+2\pi /5)=\sin (5x+2\pi )=\sin 5x$; $\cos \frac{2(x+3\pi )}{3}=\cos (2x/3+2\pi )=\cos (2x/3)$; $\tan \frac{x+2\pi }{2}=\tan (x/2+\pi )=\tan (x/2)$; $\cot 6(x+\pi /6)=\cot (6x+\pi )=\cot 6x$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:

1) $y=6\sin x-1$. Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-6\le 6\sin x\le 6$, do đó $-7\le y\le 5$. Kết luận: $\max y=5$ khi $\sin x=1$ tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$; $\min y=-7$ khi $\sin x=-1$ tức $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) $y=7-9\cos 5x$. Vì $-1\le \cos 5x\le 1$ nên $-9\le -9\cos 5x\le 9$, do đó $-2\le y\le 16$. Kết luận: $\max y=16$ khi $\cos 5x=-1$ tức $5x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}$; $\min y=-2$ khi $\cos 5x=1$ tức $x=\frac{k2\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.

3) $y=\sin 2x-\cos 2x-5=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-5$. Vì $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}$. Kết luận: $\max y=\sqrt{2}-5$ khi $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$; $\min y=-\sqrt{2}-5$ khi $2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

4) $y={\cos }^{2}x+\cos x-5$. Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$, khi đó $y=t^2+t-5={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{21}{4}$ với $t\in [-1;1]$. Hàm số có đỉnh tại $t=-\frac{1}{2}\in [-1;1]$ nên $\min y=-\frac{21}{4}$ khi $\cos x=-\frac{1}{2}$ tức $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$. Giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút: tại $t=1$, $y=1+1-5=-3$; tại $t=-1$, $y=1-1-5=-5$. Vậy $\max y=-3$ khi $\cos x=1$ tức $x=k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Tóm tắt: (1) $\max =5$, $\min =-7$; (2) $\max =16$, $\min =-2$; (3) $\max =\sqrt{2}-5$, $\min =-\sqrt{2}-5$; (4) $\max =-3$, $\min =-\frac{21}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: $y=\cot x$ có $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$ trên $(0;\pi )$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến.
- B sai: $y=\cos x$ có $y^{\prime }=-\sin x>0$ với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này, không nghịch biến.
- C sai: $y=\sin x$ có $y^{\prime }=\cos x>0$ với $x\in (\pi ;2\pi )$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này, không nghịch biến.
- D đúng: khoảng $\left(\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)=\left(-\frac{\pi }{2}+2\pi ;\frac{\pi }{2}+2\pi \right)$, mà $y=\sin x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy mệnh đề đúng là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x$. Trên khoảng $(0;\pi )$ thì $\sin x>0$ nên $y^{\prime }<0$, do đó hàm số nghịch biến trên $(0;\pi )$. Kiểm tra các phương án khác: trên $(-\pi ;0)$ và $(\pi ;2\pi )$ thì $\sin x<0$ nên $y^{\prime }>0$ (đồng biến); trên $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ hàm không đơn điệu. Kết quả khớp với đáp án nguồn C (mã đề 2102, câu 11).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra tính chẵn, lẻ của từng hàm số:
- A: $y=\cos x+5$, ta có $f(-x)=\cos (-x)+5=\cos x+5=f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số chẵn. Đúng.
- B: $y=\sin x-\cos x$, $f(-x)=-\sin x-\cos x\ne f(x)$ và $\ne -f(x)$, không chẵn không lẻ.
- C: $y=\tan x+\cot x$, $f(-x)=-\tan x-\cot x=-f(x)$, hàm số lẻ.
- D: $y=\sin (-x)=-\sin x$, hàm số lẻ.
Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x+5$, khớp với đáp án A trong bảng mã đề 2102.

Gợi ý làm bài:
a) Tìm tập xác định của hàm số dạng cơ bản: $y=\frac{1-\cos 2x}{\sin x}$
Hàm số $y=\frac{1-\cos 2x}{\sin x}$ xác định khi và chỉ khi $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. (0.5đ)
b) Tìm tập giá trị của hàm số có dạng: $y=5{\sin }^{2}2x+2$
$-1\le \sin 2x\le 1$
$\iff 0\le {\sin }^{2}2x\le 1$ (0,25đ)
$\iff 0\le 5{\sin }^{2}2x\le 5$
$\iff 2\le 5{\sin }^{2}2x+2\le 7$
Tập giá trị: $T=[2;7]$ (0,25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan 2x$ xác định khi $\cos 2x\ne 0$, tức $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án C (khớp với bảng đáp án mã đề 2101, câu 16 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn lẻ của từng hàm số:
- A: $y=\sin x-\cos x$; $f(-x)=-\sin x-\cos x\ne f(x)$ và $\ne -f(x)$, không chẵn không lẻ.
- B: $y=\sin (-x)=-\sin x$ là hàm số lẻ, không chẵn.
- C: $y=\tan x+\cot x$; $f(-x)=-\tan x-\cot x=-f(x)$, là hàm số lẻ.
- D: $y=\cos x+5$; $f(-x)=\cos (-x)+5=\cos x+5=f(x)$, là hàm số chẵn.
Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x+5$, khớp với đáp án D trong bảng mã đề 2101.

Gợi ý làm bài:
a)
Điều kiện: $x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b)
$\forall x\in \mathbb{R}$, ta có: $0\le {\sin }^2\left(2x+\frac{\pi }{5}\right)\le 1$

$\Rightarrow 4.0-5\le 4{\sin }^2\left(2x+\frac{\pi }{5}\right)-5\le 4.1-5$

$\Rightarrow -5\le y\le -1$.
Vậy hàm số có tập giá trị là $\left[-5;-1\right]$

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn lẻ: $\sin (-x)=-\sin x$, $\tan (-x)=-\tan x$, $\cot (-x)=-\cot x$ nên $y=\sin x$, $y=\tan x$, $y=\cot x$ đều là hàm số lẻ (các khẳng định A, C, D đúng). Còn $\cos (-x)=\cos x$ nên $y=\cos x$ là hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ. Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét chu kì của từng hàm số: $y=\cos 2x$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$; $y=\tan x$ và $y=\cot x$ có chu kì $T=\pi$; $y=\sin x$ có $\sin (x+2\pi )=\sin x$ với mọi $x$ và không có chu kì dương nào nhỏ hơn $2\pi$, nên chu kì là $2\pi$. Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$ là $y=\sin x$, khớp với đáp án D trong bảng mã đề 2101.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos \sqrt{x}$ xác định khi $\sqrt{x}$ có nghĩa, tức $x\ge 0$. Vậy tập xác định là $D=[0;+\infty )$. Khớp với đáp án D trong bảng (mã đề 1002, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có tập xác định $\mathbb{R}$. Xét từng phát biểu:
- A sai: đồ thị $y=\cos x$ nhận trục tung (không phải trục hoành) làm trục đối xứng vì $\cos (-x)=\cos x$ (hàm chẵn).
- B sai: giá trị lớn nhất của hàm số là $1$, không phải $2$.
- C đúng: trên khoảng $(\pi ;2\pi )$, đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x<0$... xét dấu: với $x\in (\pi ;2\pi )$ thì $\sin x<0$, do đó $y^{\prime }=-\sin x>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này (đúng như đồ thị: từ điểm thấp nhất tại $x=\pi$ tăng lên điểm cao nhất tại $x=2\pi$).
- D sai: đồ thị cắt trục hoành tại vô số điểm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy phát biểu đúng là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có tập giá trị $[-1;1]$ nên giá trị lớn nhất là $1$, không phải $2$ (A sai). Trên $(\pi ;2\pi )$, đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x$; với $x\in (\pi ;2\pi )$ thì $\sin x<0$ nên $y^{\prime }=-\sin x>0$, hàm số đồng biến (B đúng). Đồ thị cắt trục hoành tại vô số điểm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ (C sai). Đồ thị $y=\cos x$ nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng, không phải trục hoành (D sai). Khớp với đáp án nguồn B (bảng đáp án mã đề 1001, câu 1 = B).