Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì $\sin x$ là hàm lẻ ($\sin (-x)=-\sin x$), chỉ có $\cos x$ là hàm chẵn; cả hai đều có chu kì $T=2\pi$ nhưng không phải đều chẵn. b) Đúng theo công thức hạ bậc: $f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$. c) Đúng: $\sin x=\cos x\iff \tan x=1$ (với $\cos x\ne 0$, và các điểm $\cos x=0$ không thỏa) $\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. d) Đúng: $f(x)-g(x)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, mà $3>\sqrt{2}$ nên phương trình vô nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$; chỉ có $\cos x$ là hàm chẵn. Cả hai có chu kì $T=2\pi$ nhưng khẳng định 'đều là hàm chẵn' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, không thể bằng $3$, nên vô nghiệm, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)-1$.
a) Tại $x=\frac{\pi }{2}$: $y=2\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)-1=2\cos \frac{\pi }{6}-1=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-1=\sqrt{3}-1\ne 0$ → sai.
b) Hàm cos xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ → tập xác định là $\mathbb{R}$ → đúng.
c) Vì $-1\le \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $-3\le y\le 1$, tập giá trị $[-3;1]$ → đúng.
d) $y=0\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff x-\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \iff x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $x=2k\pi$. Trên $[0;\pi ]$ có $x=0$ và $x=\frac{2\pi }{3}$: hai nghiệm → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\cos \frac{\pi }{6}-1=\sqrt{3}-1\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm cos xác định trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-1\le \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $y\in [-3;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ cho $x=0$ và $x=\frac{2\pi }{3}$ trên $[0;\pi ]$: hai nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Vào 6 giờ sáng, $t=6$. Thay vào công thức: $B(6)=80+7\sin \left(\frac{\pi \cdot 6}{12}\right)=80+7\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=80+7\cdot 1=87$ (mmHg). Kết quả trùng với đáp án nguồn 87.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả này trùng với đáp án D trong bảng đáp án chính thức (Mã đề 112, Câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả này trùng với đáp án C trong bảng đáp án chính thức (mã đề 111, câu 8).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos 5x\le 1$ với mọi $x$, nên $y=\cos 5x+3\le 1+3=4$. Dấu bằng xảy ra khi $\cos 5x=1$, tức $5x=2k\pi$, $x=\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ nên $y=10\cos 2x+2\le 10\cdot 1+2=12$. Giá trị lớn nhất bằng $12$, đạt được khi $\cos 2x=1$, tức $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số lẻ thỏa mãn $f(-x)=-f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Ta có: $\sin (-x)=-\sin x$ nên $y=\sin x$ là hàm lẻ; $\cos (-x)=\cos x$ nên $y=\cos x$ là hàm chẵn; $\tan (-x)=-\tan x$ nên $y=\tan x$ là hàm lẻ; $\cot (-x)=-\cot x$ nên $y=\cot x$ là hàm lẻ. Vậy có $3$ hàm số lẻ trong bốn hàm đã cho. Phương án C ($3$) khớp với các phương án A. $5$, B. $2$, C. $3$, D. $4$ ở đầu trang $3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2023}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức là $x\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Đáp án B.

Chọn B
Vì $f(-x)=\sin (-x)\cdot \cos (-x)=-\sin x\cdot \cos x=-f(x)\Rightarrow$ lẻ

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\sin x$ trên đoạn $[-2\pi ;2\pi ]$. a) Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, $y^{\prime }=\cos x>0$ nên hàm số đồng biến: đúng. b) Giá trị lớn nhất của $\sin x$ trên đoạn đã cho bằng $1$ (tại $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=-\frac{3\pi }{2}$), không phải $0$: sai. c) $2\sin x-1=0\iff \sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Với $x\in [-2\pi ;2\pi ]$ ta được $x\in \left\{-\frac{11\pi }{6};-\frac{7\pi }{6};\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right\}$: 4 nghiệm phân biệt, đúng. d) Chu kì tuần hoàn của $y=\sin x$ là $T=2\pi$, không phải $4\pi$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ có $y^{\prime }=\cos x>0$ nên hàm số đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-2\pi ;2\pi ]$, $\max y=1$ (tại $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=-\frac{3\pi }{2}$), không phải $0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\frac{1}{2}$ cho 4 nghiệm phân biệt trên $[-2\pi ;2\pi ]$: $x=-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì tuần hoàn của $y=\sin x$ là $T=2\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn lẻ: $\sin (-x)=-\sin x$, $\tan (-x)=-\tan x$, $\cot (-x)=-\cot x$ nên $y=\sin x$, $y=\tan x$, $y=\cot x$ đều là hàm số lẻ (đúng). Còn $\cos (-x)=\cos x$ nên $y=\cos x$ là hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x$ có $\tan (x+\pi )=\tan x$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, và $\pi$ là số dương nhỏ nhất có tính chất này. Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x$ có $\tan (x+\pi )=\tan x$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, và $\pi$ là số dương nhỏ nhất có tính chất này. Vậy chu kì tuần hoàn của hàm số là $\pi$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4\sin \frac{\pi (t-60)}{178}+10$ có giá trị nhỏ nhất khi $\sin \frac{\pi (t-60)}{178}=-1$, tức $\frac{\pi (t-60)}{178}=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=-29+356k$. Với $k=1$ ta được $t=327$, thỏa mãn $0<t\le 365$. Khi đó $y_{\min }=4\cdot (-1)+10=6$. Vậy $m=6$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 2 = 6).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có: tập xác định $D=\mathbb{R}$ (đúng); tập giá trị $[-1;1]$ (đúng); là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$ (đúng); hàm tuần hoàn với chu kì nhỏ nhất $T=2\pi$, không phải $\pi$ (vì $\sin (x+\pi )=-\sin x\ne \sin x$). Vậy khẳng định sai là D, trùng với đáp án của đề (mã 102, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số $y=\cos x$ (đạt cực đại tại $x=0$, đi qua các điểm $\left(\pm \frac{\pi }{2};0\right)$, đạt cực tiểu tại $x=\pm \pi$). Trên khoảng $(0;\pi )$, hàm số giảm từ $1$ xuống $-1$, nên nghịch biến trên $(0;\pi )$, do đó cũng nghịch biến trên $(0;\frac{\pi }{2})$ và $(\frac{\pi }{2};\pi )$. Trên khoảng $(-\pi ;0)$, hàm số tăng từ $-1$ lên $1$, tức là đồng biến, nên mệnh đề 'Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\pi ;0)$' là SAI. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4\sin \frac{\pi (t-60)}{178}+10$ có giá trị lớn nhất khi $\sin \frac{\pi (t-60)}{178}=1$, tức $\frac{\pi (t-60)}{178}=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Với $k=0$ ta được $t-60=89\Rightarrow t=149$, thỏa mãn $0<t\le 365$, $t\in \mathbb{Z}$. Khi đó $y_{\max }=4\cdot 1+10=14$. Vậy $m=14$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 1: 14).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có dạng như đồ thị $y=\sin x$: đi qua gốc tọa độ, đạt cực tiểu tại $x=-\frac{\pi }{2}$ và cực đại tại $x=\frac{\pi }{2}$. Quan sát đồ thị: trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ đồ thị đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Trên $(0;\pi )$ hàm tăng đến $\frac{\pi }{2}$ rồi giảm, nên không đồng biến trên cả khoảng; tương tự sai với $(-\pi ;0)$ (giảm rồi tăng) và $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ (giảm). Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án của đề (mã đề 101, câu 3: B).