Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ (đúng), là hàm số chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$ nên khẳng định 'hàm số lẻ' là sai, tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$ (đúng), và có tập giá trị $[-1;1]$ (đúng). Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức là $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Điều này khớp với đáp án C và với bảng đáp án chính thức (mã đề 101, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=3\sin x+2$.
a) $f(x)=-1\iff \sin x=-\frac{1}{3}$. Các nghiệm âm: $x=-\arcsin \frac{1}{3}+2k\pi$ hoặc $x=\pi +\arcsin \frac{1}{3}+2k\pi$. Nghiệm âm lớn nhất là $x=-\arcsin \frac{1}{3}\approx -0,34\ne -\frac{\pi }{2}$ (vì $-\frac{\pi }{2}$ không thỏa $\sin x=-\frac{1}{3}$). Phát biểu SAI.
b) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$. Phát biểu ĐÚNG.
c) $f(\pi )=3\sin \pi +2=3\cdot 0+2=2$. Phát biểu ĐÚNG.
d) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-1\le f(x)\le 5$; giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ bằng $-1$ (tại $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$), không phải 2. Phát biểu SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất của $\sin x=-\frac{1}{3}$ là $-\arcsin \frac{1}{3}\approx -0,34$, khác $-\frac{\pi }{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(\pi )=3\sin \pi +2=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\min f(x)=3(-1)+2=-1$, không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x$ có $\tan (x+\pi )=\tan x$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, và $\pi$ là số dương nhỏ nhất có tính chất này (vì $\tan (x+T)=\tan x$ kéo theo $T=k\pi$). Vậy chu kì của hàm số $y=\tan x$ là $T=\pi$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-2\le -2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 2$, suy ra $5\le y\le 9$. Vậy $M_1=5$, $M_2=9$, do đó $M_1+M_2=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhiệt độ thấp nhất khi $\sin \left[\frac{\pi }{12}(t-9)\right]=-1$, tức $\frac{\pi }{12}(t-9)=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t-9=-6+24k\Rightarrow t=3+24k$. Với $t\in [0;24)$, chọn $k=0$ nên $t=3$. Vậy nhiệt độ thấp nhất trong ngày là vào lúc 3 giờ đêm, khi đó $h(3)=29-3=26$ độ C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1106, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Khớp với đáp án B (và bảng đáp án mã đề 1105, câu 7 là B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos x$.

b) Đúng: Giải phương trình: $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos x\iff x-\frac{3\pi }{4}=\pm x+2k\pi$. Với dấu '+': $-\frac{3\pi }{4}=2k\pi$ (vô nghiệm nguyên k). Với dấu '−': $2x-\frac{3\pi }{4}=2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy khẳng định đúng.

c) Sai: Hàm số $y=\cos x$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ (vì $y^{\prime }=-\sin x<0$ trên khoảng này), không phải đồng biến.

d) Sai: Vì $-1\le \cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)\le 1$ với mọi $x$, tập giá trị của hàm số là $[-1;1]$, không phải $\mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos x$: trường hợp $x-\frac{3\pi }{4}=-x+2k\pi$ cho $x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$; trường hợp còn lại vô nghiệm. Vậy đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=\cos x$ có $y^{\prime }=-\sin x<0$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên nghịch biến, không đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $y=\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)$ là $[-1;1]$, không phải $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Khớp với đáp án D trong phiếu đáp án (Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-2\le -2\sin x\le 2$, suy ra $1\le y=-2\sin x+3\le 5$. Giá trị lớn nhất đạt được khi $\sin x=-1$, khi đó $y=-2(-1)+3=5$. Vậy GTLN của hàm số bằng $5$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án nguồn (trang 7).

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{3\sin x+2}{\sin x+1}=\frac{3(\sin x+1)-1}{\sin x+1}=3-\frac{1}{\sin x+1}$. Trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ ta có $\sin x\in [0;1]$ nên $\sin x+1\in [1;2]$, suy ra $\frac{1}{\sin x+1}\in \left[\frac{1}{2};1\right]$. Do đó $y=3-\frac{1}{\sin x+1}$ đạt nhỏ nhất $m=3-1=2$ (khi $x=0$) và lớn nhất $M=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ (khi $x=\frac{\pi }{2}$). Vậy $M^2+m^2=\frac{25}{4}+4=\frac{41}{4}$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nhân với 2 ta được $-2\le 2\sin x\le 2$. Đẳng thức xảy ra tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, nên tập giá trị của hàm số $y=2\sin x$ là $T=[-2;2]$. Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

Ta có: $-1\le \cos x\le 1$, $\forall x\in \mathbb{R}$ nên $-1\le y\le 1$ hay tập giá trị của hàm số $y=\cos x$ là $T=[-1;1]$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y={\sin }^{2}x$ là hàm chẵn vì ${\sin }^2(-x)={\sin }^{2}x$. B) $y=2\cos x$ là hàm chẵn vì $2\cos (-x)=2\cos x$. C) $y=\tan x-\sin 2x$: tập xác định đối xứng qua gốc tọa độ và $f(-x)=\tan (-x)-\sin (-2x)=-\tan x+\sin 2x=-(\tan x-\sin 2x)=-f(x)$, nên là hàm lẻ. D) $y=|\cot x|$ là hàm chẵn vì $|\cot (-x)|=|-\cot x|=|\cot x|$. Vậy hàm số lẻ là $y=\tan x-\sin 2x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x+1}{\cos x-1}$ xác định khi $\cos x-1\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=2\cos x+1$.
a) $f(\pi /2)=2\cos (\pi /2)+1=2\cdot 0+1=1\ne 5$ → Sai.
b) $\cos x$ tuần hoàn chu kì $2\pi$ nên $f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=f(x)$; chu kì nhỏ nhất là $2\pi$ → Đúng.
c) $f(x)=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$. Trên $[0;5\pi )$: $x=\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{8\pi }{3},\frac{10\pi }{3},\frac{14\pi }{3}$ (vì $\frac{14\pi }{3}<5\pi$, nghiệm kế tiếp $\frac{16\pi }{3}>5\pi$) → đúng 5 nghiệm → Đúng.
d) $-1\le \cos x\le 1$ nên $\min f(x)=2(-1)+1=-1\ne -3$ → Sai. Khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(\pi /2)=2\cos (\pi /2)+1=1\ne 5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=f(x)$, chu kì $2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=-1/2$ cho 5 nghiệm $\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{8\pi }{3},\frac{10\pi }{3},\frac{14\pi }{3}$ thuộc $[0;5\pi )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất là $2(-1)+1=-1$, không phải $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=2\sin x-1$.
a) $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\sin \frac{\pi }{2}-1=2-1=1$ → Đúng.
b) $f(x+2\pi )=2\sin (x+2\pi )-1=2\sin x-1=f(x)$ với mọi $x$, nên hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$ → Đúng.
c) $f(x)=0\iff \sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in \left[0;\frac{9\pi }{2}\right)$ ta có các nghiệm: $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6},\frac{25\pi }{6}$ (vì $\frac{25\pi }{6}<\frac{27\pi }{6}=\frac{9\pi }{2}$, còn $\frac{29\pi }{6}>\frac{9\pi }{2}$). Vậy có tất cả 5 nghiệm, không phải 4 nghiệm → Sai.
d) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-3\le f(x)\le 1$; giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ bằng $-3$ (khi $\sin x=-1$), không phải $-2$ → Sai.
So sánh với đáp án nguồn (mã đề 1201, Phần II Câu 1: DDSS) khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\cdot 1-1=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )=2\sin (x+2\pi )-1=f(x)$ với mọi $x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\frac{1}{2}$ cho 5 nghiệm thuộc $\left[0;\frac{9\pi }{2}\right)$: $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6},\frac{25\pi }{6}$, không phải 4 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất là $2(-1)-1=-3$, không phải $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x}{2-2\cos x}$ xác định khi mẫu số khác 0: $2-2\cos x\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án B đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ có chu kì $T=2\pi$ vì $\sin (x+2\pi )=\sin x$, $\cos (x+2\pi )=\cos x$. Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ có chu kì $T=\pi$ vì $\tan (x+\pi )=\tan x$, $\cot (x+\pi )=\cot x$. Vậy có 2 hàm số có chu kì $2\pi$, tương ứng đáp án C. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 2103: C).