Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ có chu kì $T=2\pi$. Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ có chu kì $T=\pi$ (nhỏ hơn $2\pi$). Vậy có 2 hàm số có chu kì $2\pi$, khớp với đáp án B.

Ta có: $Maxh(t)\iff \sin \frac{\pi }{12}(t-9)=1$ $\iff \frac{\pi }{12}(t-9)=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ $\iff t=15+24k,k\in \mathbb{Z}$. Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0$ nên $t=15$. $A=a^2+2a+t=a^2+2a+15=(a+1{)}^2+14\ge 14$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $14$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ thỏa mãn $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x$, nên là hàm số chẵn. Ngoài ra $\cos (x+2\pi )=\cos x$ với mọi $x$ và $2\pi$ là chu kì nhỏ nhất, nên hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 7: D).

Ta có: Min $d(t)$ khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1$. $\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \iff t=353+364k$. $k=0$ ta có $t=353$. $A=a^2+2a+t=a^2+2a+353=(a+1{)}^2+352\ge 352$

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên là hàm chẵn. Ngoài ra $\cos (x+2\pi )=\cos x$ với mọi $x$, và $2\pi$ là chu kì nhỏ nhất (vì $\cos (x+\pi )=-\cos x\ne \cos x$ nói chung), nên hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1103, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ thỏa mãn $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x$, nên là hàm số chẵn. Ngoài ra $\cos (x+2\pi )=\cos x$ với mọi $x$ và $2\pi$ là chu kì nhỏ nhất, nên hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(x)=\cos 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$ → a) Sai. Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ và đẳng thức $\cos 2x=1$ xảy ra tại $2x=k2\pi$, nên GTLN của $g(x)$ bằng 1 → b) Đúng. Phương trình $f(x)+g(x)=0$: $\sin x+\cos 2x=0\iff \sin x+1-2{\sin }^{2}x=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0\iff \sin x=1$ hoặc $\sin x=-\frac{1}{2}$. Suy ra $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$; $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$. Phương trình còn có họ nghiệm $\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ nên khẳng định c) (liệt kê thiếu họ nghiệm) là Sai. Với $x\in [0;\pi ]$: họ $\frac{\pi }{2}+k2\pi$ cho $x=\frac{\pi }{2}$; họ $-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ cho $x\in \{\frac{11\pi }{6},...\}$ không thuộc $[0;\pi ]$; họ $\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ cũng không cho nghiệm trong $[0;\pi ]$. Vậy chỉ có 1 nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$, không phải 2 nghiệm → d) Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: S, Đ, S, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\cos 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$ (đó là tập giá trị).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ và $\cos 2x=1$ khi $x=k\pi$, hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x+\cos 2x=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0\iff \sin x=1$ hoặc $\sin x=-\frac{1}{2}$, cho họ nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$. Khẳng định thiếu họ nghiệm $\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;\pi ]$, chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$ (các họ $-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ không cho nghiệm nào trong đoạn này). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, không phải 2 nghiệm.

Ta có: Min $d(t)$ khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1$. $\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \iff t=353+364k$. $k=0$ ta có $t=353$. $A=a^2+2a+t=a^2+2a+353=(a+1{)}^2+352\ge 352$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $352$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos x$ thỏa $\cos (-x)=\cos x$ nên là hàm chẵn. Ngoài ra $\cos (x+2\pi )=\cos x$ với mọi $x$ và $2\pi$ là số dương nhỏ nhất có tính chất này, nên hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$ (không tuần hoàn với chu kì $\pi$ vì $\cos (x+\pi )=-\cos x$). Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 7: D).

Ta có $-1\le \sin x\le 1$ nên hàm số $y=\sin x$ có tập giá trị là $[-1;1]$. Chọn đáp án (C).

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD=3$ (khoảng cách từ mặt nền $y=0$ lên đoạn $AB$), hai điểm $A,B$ nằm trên cổng có tung độ $y=3$. Giải $3\sin \left(\frac{x}{3}\right)+3=3\iff \sin \left(\frac{x}{3}\right)=0\iff \frac{x}{3}=k\pi$. Trong phạm vi cổng (một vòng sóng), lấy $x_A=0$ và $x_B=3\pi$. Vậy chiều rộng cửa $AB=3\pi -0=3\pi$ (mét). Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $S=AB\cdot AD=3\pi \cdot 3=9\pi \approx 28,27$ m².

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định về hàm số $y=\cos x$: (A) Hàm số tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ vì $\cos (x+2\pi )=\cos x$ với mọi $x$ — đúng. (B) Trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x$; với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $\sin x>0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến. Thực tế $y=\cos x$ nghịch biến trên $(0;\pi )$ và đồng biến trên $(\pi ;2\pi )$. Vậy khẳng định B là sai. (C) Vì $\cos (-x)=\cos x$, hàm số là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục $Oy$ — đúng. (D) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ — đúng. Khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 10 (trang 6) là đường sóng hình sin đi qua gốc tọa độ O(0;0), nhận giá trị lớn nhất bằng 1, nhỏ nhất bằng -1, chu kì 2π và đồng thời đi qua các điểm (π;0), (2π;0). Trong các hàm số: y = cos x đi qua điểm (0;1) nên loại; y = tan x và y = cot x có tiệm cận đứng và không bị chặn trên/dưới nên loại. Vậy đồ thị đã cho là của hàm số y = sin x. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, đi qua điểm $(0;1)$, đạt giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=\pi$, chu kỳ $2\pi$ và bị chặn trong $[-1;1]$. Đây là đặc điểm của hàm số $y=\cos x$. Với $y=\sin x$ thì đồ thị đi qua gốc tọa độ và bằng 0 tại $x=\pi$; còn $y=\tan x$, $y=\cot x$ có tiệm cận đứng và không bị chặn trong $[-1;1]$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án của đề (mã đề 1101, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $y=\sin x$ có $\sin (-x)=-\sin x$ nên là hàm lẻ (loại A). $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$ nên là hàm chẵn (đúng). $y=\cot x$ và $y=\tan x$ đều có $f(-x)=-f(x)$ nên là hàm lẻ (loại C, D). Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 209, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$. Xét từng hàm: $y=\sin x$ có $\sin (-x)=-\sin x$ nên là hàm lẻ (loại A). $y=\cot x$ và $y=\tan x$ đều có $f(-x)=-f(x)$ nên là hàm lẻ (loại B, C). $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên là hàm số chẵn. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 132, Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn lẻ: $y={\cot }^{2}x$ là hàm chẵn vì ${\cot }^2(-x)={\cot }^{2}x$. $y=\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$. $y=x\tan x$ là hàm chẵn vì $(-x)\tan (-x)=x\tan x$. $y=\cos x$ là hàm chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$. Vậy hàm số lẻ là $y=\sin x$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: A) $y=\cot x+x$: $f(-x)=-\cot x-x=-f(x)$, hàm lẻ. B) $y={\sin }^{3}x$: $f(-x)={\sin }^3(-x)=-{\sin }^{3}x=-f(x)$, hàm lẻ. C) $y=\tan x$: $\tan (-x)=-\tan x$, hàm lẻ. D) $y=\cos x$: $\cos (-x)=\cos x=f(x)$, hàm chẵn. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (mã đề 101, Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ thỏa mãn $\cos (x+2\pi )=\cos x$ với mọi $x$, nên tuần hoàn với chu kì $2\pi$ → A đúng. B sai vì $y=\sin x$ có chu kì $2\pi$ (không phải $\pi$). C sai vì $y=\cot x$ có chu kì $\pi$ (không phải $2\pi$). D sai vì $y=\tan x$ có chu kì $\pi$ (không phải $2\pi$). Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 102 (câu 5 = A).