Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có $\cos (x+2\pi )=\cos x$ với mọi $x$, nên tuần hoàn với chu kì $2\pi$ → A đúng. B sai vì $y=\sin x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$ (không phải $\pi$). C sai vì $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$. D sai vì $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x\sin x$: $f(-x)=(-x)\sin (-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x)$, nên là hàm chẵn. B) $y=\tan x$: $\tan (-x)=-\tan x$, hàm lẻ. C) $y=1-\sin x$: $f(-x)=1+\sin x\ne f(x)$ và $\ne -f(x)$, không chẵn không lẻ. D) $y=\cos x\sin x=\frac{1}{2}\sin 2x$: hàm lẻ vì $\sin (-2x)=-\sin 2x$. Vậy hàm số chẵn là $y=x\sin x$, khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\cos x$ là hàm chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$. $y=x\sin x$ là hàm chẵn vì $(-x)\sin (-x)=x\sin x$. $y=x+\cos x$ không chẵn không lẻ vì $f(-x)=-x+\cos x\ne \pm f(x)$. $y=x+\sin x$ là hàm lẻ vì $f(-x)=-x+\sin (-x)=-x-\sin x=-(x+\sin x)=-f(x)$. Vậy hàm số lẻ là $y=x+\sin x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\cos x-\sin x}$ xác định khi $\cos x-\sin x\ne 0$, tức $\cos x\ne \sin x$. Giải $\cos x=\sin x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (với $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ nhưng các giá trị này không thỏa $\cos x=\sin x$ nên không cần loại thêm). Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án A và với đáp án chính thức (MD 1112, câu 12: A).

Đáp số: 5,7
Vì hàm số xác định khi $\cos 2x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
Trên đường tròn lượng giác, các điểm biểu diễn những số thực trên tạo thành hình vuông có chu vi $4\sqrt{2}\approx 5,7$

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn lẻ: $\tan (-x)=-\tan x$, $\sin (-x)=-\sin x$, $\cot (-x)=-\cot x$ nên cả ba hàm $y=\tan x$, $y=\sin x$, $y=\cot x$ đều là hàm số lẻ (đúng). Còn $\cos (-x)=\cos x$ nên $y=\cos x$ là hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ. Vậy mệnh đề sai là D, trùng với đáp án nguồn (MD 1112, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn/lẻ của các hàm số lượng giác: $\sin (-x)=-\sin x$ nên $y=\sin x$ là hàm lẻ (A sai); $\tan (-x)=-\tan x$ nên $y=\tan x$ là hàm lẻ (B sai); $\cos (-x)=\cos x$ nên $y=\cos x$ là hàm chẵn (C đúng); $\cot (-x)=-\cot x$ nên $y=\cot x$ là hàm lẻ (D sai). Vậy mệnh đề đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 11, MD 1111: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình dao động: s = 2√2 cos(7t + π/3) (cm), chu kỳ T = 2π/7 ≈ 0,8976 s.
a) Con lắc qua vị trí cân bằng khi s = 0, tức 2 lần mỗi chu kỳ. Số chu kỳ trong 30 giây: 30/(2π/7) = 105/π ≈ 33,42. Số lần qua VTCB: 2·(105/π) ≈ 66,84 → 67 lần. Đúng.
b) |s| lớn nhất khi cos(7t + π/3) = ±1. Lần đầu tiên: 7t + π/3 = π → t = 2π/21 ≈ 0,299 s (hoặc nếu tính biên dương đầu tiên thì t = 5π/21 ≈ 0,748 s). Cả hai đều khác 2/3 giây. Sai.
c) Tại t = 0: s = 2√2·cos(π/3) = √2 ≈ 1,41 cm ≠ 0. Sai.
d) Biên độ dao động là 2√2 cm, đây là khoảng cách xa vị trí cân bằng nhất. Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (ĐSSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ T = 2π/7 ≈ 0,8976 s; trong 30 s có 105/π ≈ 33,42 chu kỳ, mỗi chu kỳ qua VTCB 2 lần → 2·105/π ≈ 66,84 → 67 lần. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
|s| lớn nhất lần đầu khi 7t + π/3 = π → t = 2π/21 ≈ 0,299 s ≠ 2/3 giây. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại t = 0: s = 2√2·cos(π/3) = √2 cm ≠ 0. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Biên độ dao động A = 2√2 cm là khoảng cách lớn nhất tới VTCB. Đúng.

Vì hàm số xác định khi $\sin 3x-1\ne 0\iff \sin 3x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
Trên đường tròn lượng giác, các điểm biểu diễn những số thực trên tạo thành tam giác đều có chu vi $2P=3\sqrt{3}\approx 5,2$
(Lưu ý: trang lời giải in nhầm dòng “Đáp số: 1,3”, nhưng chính lời giải chi tiết cho $2P=3\sqrt{3}\approx 5,2$ và bảng đáp án chung Phần III (trang 9, dòng 4, MD 1111) đều ghi 5,2 nên đáp án chính thức là 5,2.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}$ xác định khi $\sin x-\cos x\ne 0$, tức $\sin x=\cos x\iff \tan x=1$ (khi $\cos x\ne 0$, và trường hợp $\cos x=0$ không thỏa $\sin x=\cos x$) $\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ xác định khi $2x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x\ne \frac{3\pi }{4}+k\pi$, tức $x\ne \frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án C (khớp với đáp án nguồn mã đề 112, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ xác định khi $2x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $2x\ne \frac{3\pi }{4}+k\pi$, suy ra $x\ne \frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)+12$, $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

a) Ngày cuối cùng của tháng 1 là ngày $t=31$: $d(31)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}(-49)\right)+12=12-3\sin \left(\frac{49\pi }{182}\right)$. Với $\frac{49\pi }{182}\approx 0,8456$ rad, $\sin \approx 0,7484$, nên $d(31)\approx 12-2,245=9,75$ giờ. Đúng.

b) $d(t)$ nhỏ nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)=-1\Rightarrow \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=80-91+364k$. Với $k=1$: $t=353$ (thỏa mãn $0<t\le 365$). Ngày thứ 353 của năm không nhuận là ngày $353-334=19$ tháng 12. Đúng.

c) Giá trị lớn nhất của $d(t)$ là $3+12=15$ giờ (khi $t=80+91=171$), không phải 12 giờ. Sai.

d) Ngày đầu năm $t=1$: $d(1)=3\sin \left(-\frac{79\pi }{182}\right)+12=12-3\sin \left(\frac{79\pi }{182}\right)$. Với $\frac{79\pi }{182}\approx 1,3633$ rad, $\sin \approx 0,9786$, nên $d(1)\approx 12-2,936=9,06$ giờ. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(31)=12-3\sin (49\pi /182)\approx 9,75$ giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(t)$ nhỏ nhất khi $t=353$, tức ngày 19/12.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất là $15$ giờ, không phải 12 giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(1)=12-3\sin (79\pi /182)\approx 9,06$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $d(t)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)+12$, $0<t\le 365$.
a) Ngày đầu năm $t=1$: $d(1)=12-3\sin \left(\frac{79\pi }{182}\right)$. Tính $\frac{79\pi }{182}\approx 1,3635$ rad, $\sin \approx 0,9786$, nên $d(1)\approx 12-2,9358=9,0642\approx 9,06$ giờ → đúng.
b) $d(t)$ nhỏ nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)=-1\Rightarrow \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=80-91+364k=-11$ hoặc $t=353$ (với $k=1$). Ngày 353 của năm không nhuận là ngày 19/12 (vì đến hết tháng 11 là 334 ngày, $353-334=19$) → đúng.
c) Giá trị lớn nhất của $d(t)$ là $12+3=15$ giờ, không phải 12 giờ → sai.
d) Ngày cuối tháng 1 là $t=31$: $d(31)=12-3\sin \left(\frac{49\pi }{182}\right)$. $\frac{49\pi }{182}\approx 0,8457$ rad, $\sin \approx 0,7485$, nên $d(31)\approx 12-2,2455=9,7545\approx 9,75$ giờ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(1)=12-3\sin \left(\frac{79\pi }{182}\right)\approx 12-2,9358=9,06$ giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(t)$ nhỏ nhất khi $t=353$, tức ngày 19/12.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất là $12+3=15$ giờ, không phải 12 giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(31)=12-3\sin \left(\frac{49\pi }{182}\right)\approx 9,75$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{k\pi ;k\in \mathbb{Z}\}$. Đáp án trùng với key nguồn: A.

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng — $H(t)=80\iff \sin \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{20}{3}+20k\\ t=\frac{40}{3}+20k\end{array};0\le t\le 20\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=\frac{20}{3}\\ t=\frac{40}{3}\end{array}$. d) Sai — Thời gian mà cabin ở độ cao trên $80m$ so với mặt đất là $\frac{40}{3}-\frac{20}{3}=\frac{20}{3}=6,67$ phút, khác $6,66$ phút trong đề bài.
c) $H(t)=80\iff \sin \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{20}{3}+20k\\ t=\frac{40}{3}+20k\end{array};0\le t\le 20\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=\frac{20}{3}\\ t=\frac{40}{3}\end{array}$
d) Thời gian mà cabin ở độ cao trên $80m$ so với mặt đất là $\frac{40}{3}-\frac{20}{3}=\frac{20}{3}=6,67$ phút, khác $6,66$ phút nên khẳng định Sai. (Đáp án chính thức mã đề 0111, Câu 16: SĐĐS.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án D. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 0111, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$.

a) Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{\pi /182}=364$. Đúng.

b) $d(t)=9\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff t=-11$ hoặc $t=353$ (với $k$ nguyên, $0<t\le 365$). Cả hai ngày đều không thuộc tháng 1 (từ 1 đến 31). Sai.

c) Vì $-1\le \sin \le 1$ nên $9\le d(t)\le 15$, số giờ ánh sáng không vượt quá 15. Đúng.

d) $d(t)$ lớn nhất khi $\frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}\iff t-80=91\iff t=171$. Tính ngày: tháng 1–5 có $31+28+31+30+31=151$ ngày, nên $t=171$ là ngày $171-151=20$ tháng 6, không phải ngày 21 tháng 6. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{\pi /182}=364$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(t)=9$ khi $t=-11$ hoặc $t=353$, không có ngày nào trong tháng 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
$9\le d(t)\le 15$ nên không vượt quá 15.
d) (AI giải đề cho tôi)
Max tại $t=171$, tức ngày 20 tháng 6 chứ không phải 21 tháng 6.

a) Sai. Tại thời điểm nửa đêm $t=0$, mực nước tại cảng là: $h(0)=4\cos \left(\frac{\pi \cdot 0}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+10=12$ (mét).
b) Đúng. Tốc độ biến thiên của mực nước tại thời điểm $t$ là $h^{\prime }(t)=4\cdot \frac{\pi }{6}\cdot \left(-\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)\right)=-\frac{2\pi }{3}\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)$.
c) Đúng. Ta có: $h(t)\ge 4\cdot (-1)+10=6$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-1\iff t=4+12k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $0\le t\le 24$, suy ra $k=0$ hoặc $k=1$, tức $t=4$ giờ và $t=16$ giờ. Vậy mực nước thấp là 6 mét tại hai thời điểm $t_1=4$ giờ và $t_2=16$ giờ.
d) Đúng. $h^{\prime }(t)=0\iff \sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff t=-2+6k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $t\in [0;6]$, suy ra $k=1$, khi đó $t=4$. Vậy phương trình $h^{\prime }(t)=0$ có một nghiệm trên đoạn $[0;6]$ là $t=4$.
a) Sai. Tại thời điểm nửa đêm $t=0$, mực nước tại cảng là: $h(0)=4\cos \left(\frac{\pi \cdot 0}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+10=12$ (mét).
b) Đúng. Tốc độ biến thiên của mực nước tại thời điểm $t$ là $h^{\prime }(t)=4\cdot \frac{\pi }{6}\cdot \left(-\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)\right)=-\frac{2\pi }{3}\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)$.
c) Đúng. Ta có: $h(t)=4\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+10\ge 4\cdot (-1)+10=6$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-1\iff \frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=\pi +k\cdot 2\pi \iff t=4+12k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $0\le t\le 24$, suy ra $k=0$ hoặc $k=1$. Với $k=0$: $t=4$ (giờ); với $k=1$: $t=16$ (giờ). Vậy mực nước thấp là 6 mét tại thời điểm $t_1=4$ giờ và $t_2=16$ giờ.
d) Đúng. Ta có: $h^{\prime }(t)=0\iff -\frac{2\pi }{3}\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=k\pi \iff t=-2+6k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $t\in [0;6]$, suy ra $0\le -2+6k\le 6\Rightarrow k=1$. Với $k=1$: $t=-2+6\cdot 1=4$. Vậy phương trình $h^{\prime }(t)=0$ có một nghiệm trên đoạn $[0;6]$ là $t=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$. a) Sai: vì $\cos 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$ (đó là tập giá trị). b) Đúng: $f(-x)=\frac{1}{2}\cos (-2x)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}=f(x)$, nên hàm số chẵn. c) Sai: $f(x)=1\iff \frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}=1\iff \cos 2x=1\iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, khác với $\left\{k\frac{\pi }{2}\right\}$. d) Sai: $f(x)=\frac{1}{2}\iff \cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$. Trong $[0;2\pi ]$ có 4 nghiệm: $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$, tổng bằng $\frac{16\pi }{4}=4\pi \ne 3\pi$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $\mathbb{R}$ vì $\cos 2x$ xác định với mọi $x$; $[-1;1]$ là tập giá trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=\frac{1}{2}\cos (-2x)+\frac{1}{2}=f(x)$ nên hàm chẵn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=1\iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, không phải $k\frac{\pi }{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=0\iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$; trong $[0;2\pi ]$ có 4 nghiệm $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$, tổng $=4\pi \ne 3\pi$.