Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{1-\cos x}$ xác định khi $1-\cos x\ne 0$, tức $\cos x\ne 1$. Điều này xảy ra khi $x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\sin x$ và $y=\cos x$ có đạo hàm đổi dấu trên các khoảng xác định nên không luôn nghịch biến. $y=\tan x$ có $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ nên luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. $y=\cot x$ có $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$ trên mọi khoảng xác định $(k\pi ;k\pi +\pi )$, nên hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{8\cos x-5}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án B (khớp bảng đáp án mã đề 1102, câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{8\cos x-5}{\sin x}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án B (khớp bảng đáp án mã đề 1101, câu 7 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có các tiệm cận đứng tại $x=k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) và các nhánh đi xuống, đi qua điểm $(\frac{\pi }{4};1)$. Hàm số $y=\cot x$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$, nghịch biến trên từng khoảng, $\cot \frac{\pi }{4}=1$, nên khớp với đồ thị. Trong khi $y=\tan x$ có tiệm cận đứng tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ và đi qua gốc tọa độ; $y=\sin x$, $y=\cos x$ là đồ thị sóng liên tục, không có tiệm cận đứng. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$ với mọi $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sin x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Các hàm $y=\tan 2x$, $y=\tan x$ không xác định khi $\cos x=0$ (tức $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$), còn $y=\cot x$ không xác định khi $\sin x=0$ (tức $x=k\pi$). Vậy hàm có tập xác định là $\mathbb{R}$ là $y=\sin x$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1106).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sin x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Các hàm $y=\cot x$ (khi $\sin x=0$), $y=\tan 2x$ (khi $\cos 2x=0$), $y=\tan x$ (khi $\cos x=0$) đều không xác định tại một số điểm. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1105, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án D của mã đề 1307 trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $h$ đạt giá trị lớn nhất, tức $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=2k\pi \Rightarrow t=12k-2,k\in \mathbb{Z}$. Với $k=1$ ta được thời gian dương nhỏ nhất $t=10$ (h). Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\tan x+1}{1-{\cos }^{2}x}$ xác định khi: (1) $\tan x$ xác định, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$; (2) mẫu số khác 0: $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Kết hợp hai điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ và $x\ne k\pi$, tức $x\ne k\frac{\pi }{2}$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1101, câu 15: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$, nên $y^{\prime }=\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)>0\iff x+\frac{\pi }{4}\in (2k\pi ;\pi +2k\pi )$. Với $k=0$: $x\in \left(-\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)$, trùng với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 1101, Câu 16: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $-3\le 3\cos x\le 3$, suy ra $-4\le 3\cos x-1\le 2$. Vậy $M=2$ (khi $\cos x=1$) và $m=-4$ (khi $\cos x=-1$). Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1102, câu 8).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $-3\le 3\cos x\le 3$, suy ra $-4\le 3\cos x-1\le 2$. Vậy $M=2$ (khi $\cos x=1$) và $m=-4$ (khi $\cos x=-1$). Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án của đề 1101.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 123: Xét tính chẵn lẻ.

a) $y=2\cos 3x$. Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Với mọi $x$: $y(-x)=2\cos (-3x)=2\cos 3x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

b) $y=x+\sin x$, $D=\mathbb{R}$. Ta có $y(-x)=-x+\sin (-x)=-x-\sin x=-(x+\sin x)=-y(x)$. Vậy hàm số là hàm lẻ.

c) $y=x\cot x+\cos x$. Tập xác định $D=\{x\in \mathbb{R}:\sin x\ne 0\}$, đối xứng qua gốc toạ độ. Với mọi $x\in D$: $y(-x)=(-x)\cot (-x)+\cos (-x)=(-x)(-\cot x)+\cos x=x\cot x+\cos x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

d) $y=x^2+\tan |x|$. Tập xác định $D=\{x\in \mathbb{R}:x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, đối xứng qua gốc toạ độ. Với mọi $x\in D$: $y(-x)=(-x{)}^2+\tan |-x|=x^2+\tan |x|=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 124: Xét tính chẵn lẻ.

a) $y=2x\sin x$. Tập xác định $D=\mathbb{R}$ đối xứng. Với mọi $x$: $y(-x)=2(-x)\sin (-x)=(-2x)(-\sin x)=2x\sin x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

b) $y=\cos x+\sin 2x$, $D=\mathbb{R}$. $y(-x)=\cos (-x)+\sin (-2x)=\cos x-\sin 2x$. Ta có $y(-x)\ne y(x)$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: $y=\frac{\sqrt{2}}{2}+1$) và $y(-x)\ne -y(x)$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{2}$: $y(\frac{\pi }{2})=0$, $y(-\frac{\pi }{2})=0\ne 0$? kiểm tra: $y(\frac{\pi }{2})=\cos \frac{\pi }{2}+\sin \pi =0$, $y(-\frac{\pi }{2})=0$, nên $y(-x)=y(x)$ tại điểm đó; nhưng tại $x=\frac{\pi }{4}$: $y(\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}+1\ne y(-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$, và $-y(\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1\ne y(-\frac{\pi }{4})$). Vậy hàm số không chẵn không lẻ.

c) $y=\frac{\cos 2x}{x}$, $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ đối xứng. $y(-x)=\frac{\cos (-2x)}{-x}=\frac{\cos 2x}{-x}=-y(x)$. Vậy hàm số là hàm lẻ.

d) $y={\tan }^{7}2x\cdot \sin 5x$, $D=\{x:\cos 2x\ne 0\}$ đối xứng qua gốc toạ độ. $\tan (-2x)=-\tan 2x$ nên ${\tan }^7(-2x)=-{\tan }^{7}2x$; $\sin (-5x)=-\sin 5x$. Do đó $y(-x)=(-{\tan }^{7}2x)(-\sin 5x)={\tan }^{7}2x\sin 5x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 125: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì.

a) $y=1-\sin 5x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Ta có $\sin 5x$ tuần hoàn với chu kì $T_0=\frac{2\pi }{5}$, nên với mọi $x$:
$$f\left(x+\frac{2\pi }{5}\right)=1-\sin \left(5x+2\pi \right)=1-\sin 5x=f(x).$$
Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{5}$ (là chu kì nhỏ nhất vì $\sin 5x$ có chu kì nhỏ nhất $\frac{2\pi }{5}$).

b) $y={\cos }^{2}x-1$. Dùng công thức hạ bậc:
$$y={\cos }^{2}x-1=\frac{1+\cos 2x}{2}-1=\frac{\cos 2x-1}{2}=-\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}.$$
Vì $\cos 2x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{2}=\pi$, hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$ (chu kì nhỏ nhất, do $\cos 2x$ có chu kì nhỏ nhất $\pi$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 126: Khảo sát sự biến thiên (xét tính đơn điệu và giới hạn tại hai đầu khoảng).

a) $y=\sin x$ trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}\right)$: với mọi $x$ trong khoảng này ta có $\cos x>0$ nên $y^{\prime }=\cos x>0$, hàm số đồng biến trên khoảng. Giới hạn: ${\lim }_{x\to -\pi /4^{+}}\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, ${\lim }_{x\to \pi /3^{-}}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy hàm đồng biến, nhận mọi giá trị trong $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

b) $y=\cos x$ trên $\left(\frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right)$: $y^{\prime }=-\sin x<0$ với mọi $x\in \left(\frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right)$ (vì $\sin x>0$ khi $x\in (\pi /3,\pi )$ và $\sin x<0$ khi $x\in (\pi ,3\pi /2)$, do đó $-\sin x>0$... kiểm tra lại: với $x\in (\pi ,3\pi /2)$, $\sin x<0$ nên $-\sin x>0$). Xét kỹ: trên $\left(\frac{\pi }{3};\pi \right)$, $\sin x>0\Rightarrow y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến; trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$, $\sin x<0\Rightarrow y^{\prime }>0$, hàm đồng biến. Giá trị: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, $\cos \pi =-1$ (giá trị nhỏ nhất, đạt tại $x=\pi$), ${\lim }_{x\to 3\pi /2^{-}}\cos x=0$. Vậy hàm nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{3};\pi \right)$ từ $\frac{1}{2}$ xuống $-1$, rồi đồng biến trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ từ $-1$ lên tiến tới $0$; tập giá trị là $\left[-1;\frac{1}{2}\right)$.

c) $y=\cot \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ trên $\left(-\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2}\right)$: đặt $t=x-\frac{\pi }{6}$ thì $t\in \left(-\frac{11\pi }{12};-\frac{2\pi }{3}\right)\subset (-\pi ;0)$, khoảng này nằm trọn trong một khoảng liên tục của cot nên hàm xác định trên toàn khoảng đã cho. Vì $\cot$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi ,(k+1)\pi )$, hàm số nghịch biến trên $\left(-\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2}\right)$. Giới hạn: khi $x\to -{\frac{3\pi }{4}}^{+}$, $t\to -{\frac{11\pi }{12}}^{+}$, $\cot \left(-\frac{11\pi }{12}\right)=\cot \frac{\pi }{12}=2+\sqrt{3}$; khi $x\to -{\frac{\pi }{2}}^{-}$, $t\to -{\frac{2\pi }{3}}^{-}$, $\cot \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Vậy hàm nghịch biến, nhận mọi giá trị trong $\left(\frac{1}{\sqrt{3}};2+\sqrt{3}\right)$.

d) $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$: đặt $t=x+\frac{\pi }{3}$, $t\in \left(\frac{\pi }{12};\frac{5\pi }{6}\right)$. Hàm tan không xác định khi $t=\frac{\pi }{2}$, tức $x=\frac{\pi }{6}\in \left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$, nên hàm số không xác định tại $x=\frac{\pi }{6}$. Trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{6}\right)$ và $\left(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right)$, do $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}>0$, hàm số đồng biến. Giới hạn: khi $x\to -{\frac{\pi }{4}}^{+}$, $y\to \tan \frac{\pi }{12}=2-\sqrt{3}$; khi $x\to {\frac{\pi }{6}}^{-}$, $y\to +\infty$; khi $x\to {\frac{\pi }{6}}^{+}$, $y\to -\infty$; khi $x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}$, $y\to \tan \frac{5\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Vậy hàm đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{6}\right)$ với tập giá trị $(2-\sqrt{3};+\infty )$, và đồng biến trên $\left(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right)$ với tập giá trị $\left(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 127: Tìm tập xác định.

a) $y=\cos x+\sin x$: cả $\sin x$ và $\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.

b) $y=\frac{1+\tan x}{\sin x}$: cần $\tan x$ xác định tức $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, và mẫu $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$ (loại cả $x=k\pi$ và $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$).

c) $y=\cot \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$: hàm $\cot u$ xác định khi $\sin u\ne 0$, tức $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

d) $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$: cần $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\iff x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm chẵn thỏa $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$. Xét từng hàm:
- A: $f(-x)=\cos (-x+\frac{\pi }{3})=\cos (x-\frac{\pi }{3})\ne \cos (x+\frac{\pi }{3})$ nói chung, không chẵn.
- B: $f(-x)=|\sin (-x)|=|\sin x|=f(x)$, hàm chẵn.
- C: $f(-x)=1-\sin (-x)=1+\sin x\ne f(x)$, không chẵn.
- D: $f(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x\ne f(x)$, không chẵn.
Vậy hàm chẵn là $y=|\sin x|$.