Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn lẻ: $\sin (-x)=-\sin x$ nên $y=\sin x$ là hàm lẻ; $\cos (-x)=\cos x$ nên $y=\cos x$ là hàm chẵn; $\tan (-x)=-\tan x$ và $\cot (-x)=-\cot x$ nên $y=\tan x$, $y=\cot x$ đều là hàm lẻ. Do đó các hàm $y=\sin x$, $y=\cot x$, $y=\tan x$ đều là hàm số lẻ → phát biểu đúng là D. A sai vì $\cos x$ chẵn; B sai vì $\cos x$ không lẻ; C sai vì cả ba đều lẻ chứ không chẵn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos x$ là hàm chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$, nên khẳng định '$y=\cos x$ là hàm số lẻ' ở phương án A là sai. Các hàm $y=\sin x$, $y=\tan x$, $y=\cot x$ đều là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$, $\tan (-x)=-\tan x$, $\cot (-x)=-\cot x$, nên B, C, D đúng. Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A. $y=-2\cos x$: $f(-x)=-2\cos (-x)=-2\cos x=f(x)$, là hàm chẵn. B. $y=-2\sin x$: $f(-x)=2\sin x=-f(x)$, hàm lẻ. C. $y=2\sin (-x)=-2\sin x$: hàm lẻ. D. $y=\sin x-\cos x$: $f(-x)=-\sin x-\cos x\ne \pm f(x)$, không chẵn không lẻ. Vậy hàm chẵn là $y=-2\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $D=\mathbb{R}$ vì $2\cos x-3\le -1<0$ với mọi $x$. Ta có $f(-x)=\frac{\sin (-2x)}{2\cos (-x)-3}=\frac{-\sin 2x}{2\cos x-3}=-f(x)$. Vậy hàm số là hàm lẻ, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\sin 2x$ có chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ (tuần hoàn với chu kỳ $\pi$). $y=\cos x$ có chu kỳ $T=2\pi$ (không thỏa). $y=\tan x$ và $y=\cot x$ đều có chu kỳ $T=\pi$ (thỏa). Vậy có 3 hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T=\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm với tính chất $f(x+k\pi )=f(x)$, $\forall x\in \mathbb{R}$, $k\in \mathbb{Z}$ (tức hàm tuần hoàn với chu kỳ $\pi$):
- $y=\tan x$: $\tan (x+k\pi )=\tan x$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, thỏa mãn.
- $y=\sin 2x$: $\sin 2(x+k\pi )=\sin (2x+2k\pi )=\sin 2x$, thỏa mãn.
- $y=\sin x$: $\sin (x+k\pi )=(-1{)}^k\sin x$, không luôn bằng $\sin x$ (ví dụ $k=1$), không thỏa mãn.
- $y=\cot x$: $\cot (x+k\pi )=\cot x$, thỏa mãn.
Vậy có 3 hàm số thỏa mãn, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ cơ bản của $y=\cos bx$, $y=\tan bx$, $y=\cot bx$ lần lượt là $\frac{2\pi }{|b|}$, $\frac{\pi }{|b|}$, $\frac{\pi }{|b|}$. Xét từng hàm: (1) $y=\cos 2x$ có chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ → tuần hoàn với chu kỳ $\pi$. (2) $y=\sin x$ có chu kỳ $T=2\pi \ne \pi$. (3) $y=\tan 2x$ có chu kỳ $T=\frac{\pi }{2}\ne \pi$. (4) $y=\cot 4x$ có chu kỳ $T=\frac{\pi }{4}\ne \pi$. Vậy chỉ có 1 hàm số tuần hoàn với chu kỳ $\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\cos x$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $\cos x>0$, xảy ra trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Trên các khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$ thì $\cos x<0$ nên hàm số nghịch biến. Do đó đáp án là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A) $y=\tan x$ có $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, nên hàm số đồng biến, không nghịch biến → khẳng định A sai. B) Trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$, $\cos x$ tăng từ $0$ đến $1$ (vì $y^{\prime }=-\sin x>0$ khi $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$) → đúng. C) Trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$, $y^{\prime }=\cos x>0$ nên $y=\sin x$ đồng biến → đúng. D) $y=\cot x$ có $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$ trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên nghịch biến → đúng. Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì $y=\cot x$ nghịch biến trên $(0;\pi )$ do $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$. B sai vì $y=\sin x$ nghịch biến trên $(\pi ;\frac{3\pi }{2})$ nhưng đồng biến trên $(\frac{3\pi }{2};2\pi )$, nên không nghịch biến trên toàn khoảng $(\pi ;2\pi )$. C sai vì $y^{\prime }=-\sin x$ đổi dấu trên $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ (âm khi $x>0$, dương khi $x<0$), nên hàm không đơn điệu trên khoảng này. D đúng vì $y^{\prime }=\cos x>0$ với mọi $x\in (\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2})$, vậy $y=\sin x$ đồng biến trên khoảng đó.

(AI giải đề cho tôi)
A sai vì $y=\tan x$ có chu kì $\pi$. B sai vì $y=\cos x$ có chu kì $2\pi$. C đúng vì $y^{\prime }=\cos x>0$ với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này. D sai vì $y=\cot x$ chỉ nghịch biến trên từng khoảng $(k\pi ;(k+1)\pi )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (hàm không xác định tại $x=k\pi$).

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ thì $2x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Trên khoảng này, $\sin 2x$ đồng biến nên $y=-\sin 2x$ nghịch biến; $\cos 2x$ nghịch biến nên $y=-1+\cos 2x$ đồng biến. Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$: $y=\sin x$ đồng biến (đạo hàm $\cos x>0$); $y=\cos x$ nghịch biến vì $y^{\prime }=-\sin x<0$ với mọi $x\in (0;\frac{\pi }{2})$; $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng xác định; $y=-\cot x$ đồng biến vì $y^{\prime }=\frac{1}{{\sin }^{2}x}>0$. Vậy hàm nghịch biến trên $(0;\frac{\pi }{2})$ là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}\right)\subset \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$: hàm $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên đồng biến trên khoảng đã cho. Hàm $y=\cos x$ nghịch biến trên $(0;\pi )$ và đồng biến trên $(-\pi ;0)$ nên không đồng biến trên toàn khoảng (khoảng chứa điểm 0). Hàm $y=\cot 2x$ nghịch biến trên mọi khoảng xác định. Hàm $y=\cos 2x$: với $x\in \left(-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}\right)$ thì $2x\in \left(-\frac{2\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right)$ chứa điểm $0$ nơi cos đổi chiều biến thiên, nên không đồng biến. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\cos 2x$ có tập giá trị $[-1;1]$, nên loại phương án C, D (chứa giá trị $\pm 2$). Tính giá trị tại các điểm: $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\cos (-\pi )=-1$; $f(0)=\cos 0=1$; $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \pi =-1$; $f(\pi )=\cos 2\pi =1$; $f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\cos 3\pi =-1$. Xét đạo hàm $y^{\prime }=-2\sin 2x$: trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ có $\sin 2x<0$ nên $y^{\prime }>0$ (đồng biến từ $-1$ lên $1$); trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ có $\sin 2x>0$ nên $y^{\prime }<0$ (nghịch biến từ $1$ xuống $-1$); trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ có $\sin 2x<0$ nên $y^{\prime }>0$ (tăng từ $-1$ lên $1$); trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ có $\sin 2x>0$ nên $y^{\prime }<0$ (giảm từ $1$ xuống $-1$). Vậy bảng biến thiên: $y$ từ $-1$ tăng lên $1$ tại $x=0$, giảm xuống $-1$ tại $x=\frac{\pi }{2}$, tăng lên $1$ tại $x=\pi$, giảm xuống $-1$ tại $x=\frac{3\pi }{2}$. Đây đúng là bảng ở phương án A (khớp với hình trong tài liệu).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tại $x=0$ hàm đạt giá trị lớn nhất $y=2$; tại $x=\pm \pi$ hàm đạt giá trị nhỏ nhất $y=0$; tại $x=\frac{\pi }{2}$ có $y=1$. Kiểm tra các phương án: $y=\cos x+1$ cho $y(0)=2$, $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$, $y(\pi )=0$ — khớp hoàn toàn. $y=2-\sin x$ cho $y(0)=2$ nhưng $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$, $y\left(-\frac{\pi }{2}\right)=3$ (không đối xứng như đồ thị, min tại $\frac{\pi }{2}$ chứ không tại $\pi$). $y=2\cos x$ có giá trị nhỏ nhất $-2$, không khớp. $y={\cos }^{2}x+1$ có giá trị nhỏ nhất $1$ (tại $x=\frac{\pi }{2}$), không khớp. Vậy hàm số là $y=\cos x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (Câu 60): đồ thị đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $x=\pm \pi$, cắt trục hoành tại $x=\pm \frac{\pi }{2}$, chu kỳ $2\pi$. Kiểm tra $y=\cos x$: $\cos 0=1$, $\cos (\pm \pi )=-1$, $\cos \left(\pm \frac{\pi }{2}\right)=0$ — khớp hoàn toàn. Loại A vì $1+\sin 2x$ dao động quanh $y=1$ với chu kỳ $\pi$; loại C vì $-\sin x$ có $y(0)=0$; loại D vì $-\cos x$ có $y(0)=-1$. Vậy đồ thị là hàm số $y=\cos x$.

Lời giải: Hàm số $y=2\sin x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x+\sin 5x+\cos x$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Các thành phần $\sin 5x$ và $\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cot x$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định của $y=\cot x$ là $\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, do đó khẳng định A (nói TXĐ là $\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$) là sai. Các khẳng định B, C đúng vì $\sin x,\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$; khẳng định D đúng vì $y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.