Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án A. Dấu âm trước $\tan x$ không ảnh hưởng đến tập xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cot 2x$ xác định khi $\sin 2x\ne 0$, tức $2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kiểm tra các phương án khác: $y=\cot x$ có TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$; $y=\tan x$ có TXĐ $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$; $y=\tan 2x$ có TXĐ $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right\}$. Đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2\sin x+1}{1-\cos x}$ xác định khi mẫu số khác 0: $1-\cos x\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-3\cos x}{\sin x}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $\sin x\ne 0$. Điều này tương đương với $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x+1}{\sin x-2}$ xác định khi $\sin x-2\ne 0$, tức $\sin x\ne 2$. Vì với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $\sin x\le 1<2$ nên $\sin x-2\ne 0$ luôn đúng. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\cos x}{\sin x-1}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $\sin x\ne 1$. Giải $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi \right\}$, tương ứng với phương án D. Lưu ý: $\sin x=1$ chỉ xảy ra tại $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (không phải $+k\pi$), nên loại phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-2\le 2\sin x\le 2$, do đó $-1\le 2\sin x+1\le 3$. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=2\sin x+1$ là $3$, đạt được khi $\sin x=1$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, và đẳng thức xảy ra (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$ cho $y=1$, $x=-\frac{\pi }{4}$ cho $y=-1$), nên tập giá trị của hàm số $y=\sin 2x$ là $[-1;1]$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-1\le -\sin x\le 1$, suy ra $1\le 2-\sin x\le 3$. Vậy $M=3$, $m=1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right]$ ta có $2x\in \left[\frac{\pi }{3};\pi \right]$, do đó $\sin 2x$ đạt giá trị lớn nhất bằng $1$ khi $2x=\frac{\pi }{2}$, tức $x=\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right]$. Vậy $m=3+2\cdot 1=5$. Kiểm tra các đáp án: A: $3<5<6$ đúng; B: $m^2=25\ne 16$; C: $4<5<5$ sai; D: $5\ne 3+\sqrt{3}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\in \left(\frac{5\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\right)$, hàm $y=\sin x$ giảm từ $\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (không đạt) xuống $-1$ tại $x=\frac{3\pi }{2}$ (thuộc khoảng, nên đạt được), rồi tăng trở lại tới $\sin \frac{7\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (không đạt). Vậy tập giá trị là $\left[-1;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 90: a) $g(x)=\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$, nên mệnh đề 'hàm chẵn' sai. b) Hai đồ thị cắt nhau khi $\cos x=\sin x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$; trong $(0;2\pi )$ có $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{5\pi }{4}$, đúng hai điểm → đúng. c) $y=f(x)+g(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ nên GTLN bằng $\sqrt{2}$, không phải $2$ → sai. d) $y=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ đạt GTNN $-\sqrt{2}$ khi $x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\sin x$ là hàm lẻ vì $g(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-g(x)$, không phải hàm chẵn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=\sin x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$; trong $(0;2\pi )$ có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{4},x=\frac{5\pi }{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ nên GTLN bằng $\sqrt{2}\approx 1,41$, không phải $2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ đạt GTNN khi $x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\cos x$.
a) Vì $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x$, hàm số là hàm chẵn → đúng.
b) Trên khoảng $\left(-\frac{3\pi }{2};-\pi \right)$, $y^{\prime }=-\sin x$; tại $x=-\frac{5\pi }{4}$, $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến (đúng theo đồ thị: $\cos \left(-\frac{3\pi }{2}\right)=0$ giảm xuống $\cos (-\pi )=-1$) → sai.
c) Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $1$ tại $x=0$ (thuộc khoảng), không phải $0$ → sai.
d) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}\iff x=\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi$. Với $\arccos \frac{2}{3}\approx 0,84$, các nghiệm trong $(-2\pi ;2\pi )$ là $\pm 0,84$ và $\pm (2\pi -0,84)\approx \pm 5,44$, tất cả đều thuộc khoảng → đúng 4 nghiệm phân biệt.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (-x)=\cos x$ nên hàm số chẵn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\pi \right)$, $y^{\prime }=-\sin x<0$ (ví dụ tại $x=-\frac{5\pi }{4}$), hàm số nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất trên khoảng là $1$ tại $x=0$, không phải $0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=\frac{2}{3}$ có 4 nghiệm phân biệt $\pm \arccos \frac{2}{3}$ và $\pm \left(2\pi -\arccos \frac{2}{3}\right)$ đều thuộc $(-2\pi ;2\pi )$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $y=\cos 2x$ là $[-1;1]$, do đó $a=-1$, $b=1$. Tổng $T=a+2b=-1+2\cdot 1=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ của $y=\sin 3x$ là $T=\frac{2\pi }{3}=\frac{2}{3}\pi$, nên $a=2,b=3$ (phân số tối giản). Khi đó $a^2-b^2=4-9=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin 2x+2$ có tập xác định $\mathbb{R}$. Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên $1\le y\le 3$. Do đó $\min y=1$, $\max y=3$, tổng bằng $1+3=4$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin 2025x\le 1$ nên $y=3\sin 2025x+5\le 3\cdot 1+5=8$. Giá trị lớn nhất bằng $8$, đạt được khi $\sin 2025x=1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{1+\cos 2x}$ xác định khi $1+\cos 2x\ge 0$, tức $\cos 2x\ge -1$. Điều này đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì giá trị của $\cos 2x$ luôn nằm trong $[-1;1]$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn lẻ của từng hàm số:
- A: $y=\cos x+5$, TXĐ là $\mathbb{R}$ và $y(-x)=\cos (-x)+5=\cos x+5=y(x)$, nên là hàm số chẵn.
- B: $y=\tan x+\cot x$, ta có $\tan (-x)=-\tan x$, $\cot (-x)=-\cot x$ nên $y(-x)=-y(x)$, là hàm số lẻ.
- C: $y=\sin (-x)=-\sin x$ là hàm số lẻ.
- D: $y=\sin x-\cos x$: $y(-x)=-\sin x-\cos x\ne \pm y(x)$, không chẵn không lẻ.
Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x+5$.