Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ nghịch biến trên các khoảng $(2k\pi ;\pi +2k\pi )$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được khoảng $(0;\pi )$. Kiểm tra các phương án khác: trên $(\pi ;2\pi )$ hàm số đồng biến; trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số đồng biến; trên $(-\pi ;0)$ hàm số đồng biến. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (A) Sai vì $y=\cot x$ nghịch biến trên $(0;\pi )$ (đạo hàm $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$). (B) Đúng vì $y=\sin x$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$, với $k=1$ ta được $\left(\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$. (C) Sai vì $y=\sin x$ đồng biến trên $(\pi ;2\pi )$ (tương ứng $\left(-\pi ;0\right)$ dịch chuyển). (D) Sai vì $y=\cos x$ đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ (đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x>0$ trên khoảng này). Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5: Xét từng khẳng định. A đúng: $\tan x$ chu kì $\pi$, $\sin x$ chu kì $2\pi$ nên tổng có chu kì $2\pi$ (và $\tan (x+2\pi )+\sin (x+2\pi )=\tan x+\sin x$). B đúng: $\cos (x+2\pi )=\cos x$. C đúng: $\cot (x+\pi )+\tan (x+\pi )=\cot x+\tan x$, nên hàm tuần hoàn với chu kì $\pi$. D sai: $\sin (x+\pi )=-\sin x\ne \sin x$ (với $\sin x\ne 0$), nên $y=\sin x$ có chu kì cơ bản $2\pi$ chứ không phải $\pi$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6: Xét từng khẳng định. A) $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, mà $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right)\subset \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right)$, A sai. B) $y=\cos x$ nghịch biến trên $(2k\pi ;(2k+1)\pi )$, đặc biệt trên $(0;\pi )$. Vì $\left(\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)\subset (0;\pi )$ nên $y=\cos x$ nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)$, B đúng. C) $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên không thể nghịch biến trên $\left(0;\frac{2\pi }{3}\right)$, C sai. D) $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng xác định của nó nên không nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)$, D sai. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ thì $2x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Trên $(0;\frac{\pi }{2})$, hàm $\sin t$ đồng biến nên $y=-\sin 2x$ nghịch biến; hàm $\cos t$ nghịch biến nên $y=-1+\cos 2x$ cũng nghịch biến. Vậy cả hai hàm số đều nghịch biến, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn của từng hàm số:
- A: $f(x)=x\sin x$, $f(-x)=(-x)\sin (-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x)$, nên hàm chẵn.
- B: $y=\tan x$ là hàm lẻ vì $\tan (-x)=-\tan x$.
- C: $f(-x)=1-\sin (-x)=1+\sin x\ne f(x)$ và $\ne -f(x)$, hàm không chẵn không lẻ.
- D: $y=\cos x\sin x$ là hàm lẻ vì $\cos (-x)\sin (-x)=-\cos x\sin x$.
Vậy hàm số chẵn là $y=x\sin x$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\tan x}{\sin x-1}$ xác định khi $\tan x$ xác định và mẫu khác 0. Điều kiện $\tan x$ xác định: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Điều kiện mẫu khác 0: $\sin x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi$, đây là tập con của các điểm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ nên không làm thay đổi kết quả. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{1-\cos x}+\cot x$ xác định khi $1-\cos x\ge 0$ (luôn đúng vì $\cos x\le 1$) và $\cot x$ xác định, tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ;k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\cos x$, $y^{\prime }=-\sin x$. Trên $(-\pi ;0)$: $\sin x<0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến. Trên $(0;\pi )$: $\sin x>0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến. Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có $y^{\prime }=\cos x$. Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thì $\cos x>0$ nên hàm số đồng biến; trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ thì $\cos x<0$ nên hàm số nghịch biến. Do đó mệnh đề đúng là phương án D. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ hàm số nghịch biến; B sai vì trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số nghịch biến; C sai vì trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ hàm số đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
a) tan x xác định khi cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + kπ, nên D = ℝ\{π/2 + kπ | k ∈ ℤ}: đúng. b) f(π/3) = tan(π/3) − π/3 = √3 − π/3; f(−π/3) = −√3 + π/3. Hai giá trị trái dấu nhau nên f(π/3) ≠ f(−π/3): sai. c) f(−x) = tan(−x) − (−x) = −tan x + x = −(tan x − x) = −f(x): đúng, hàm số lẻ. d) Vì f(−x) = −f(x) nên hàm số là hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O chứ không đối xứng qua trục Oy: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
tan x xác định khi cos x ≠ 0 ⟺ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ, nên D = ℝ\{π/2 + kπ | k ∈ ℤ}.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(π/3) = √3 − π/3 ≈ 0,685; f(−π/3) = −√3 + π/3 ≈ −0,685. Hai giá trị trái dấu nên f(π/3) ≠ f(−π/3).
c) (AI giải đề cho tôi)
f(−x) = tan(−x) + x = −tan x + x = −(tan x − x) = −f(x), hàm số là hàm lẻ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì f(−x) = −f(x), hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O, không đối xứng qua trục Oy.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f(x)=2\cos x+1$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$: đúng. b) $f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=2\cos x+1=f(x)$ với mọi $x$, nên $f$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$: đúng. c) $g(x)=\sin x+\tan x$ cần $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Đề phát biểu $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{3}+k\pi \right\}$ là sai (ví dụ $x=\frac{\pi }{2}$ thuộc tập theo đề nhưng $\tan \frac{\pi }{2}$ không xác định). d) $g(x+2\pi )=\sin (x+2\pi )+\tan (x+2\pi )=\sin x+\tan x=g(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, nên $g$ là hàm tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$; khẳng định '$g$ không tuần hoàn' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\cos x+1$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=f(x)$ với mọi $x$, nên $f$ tuần hoàn chu kỳ $2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x$ yêu cầu $\cos x\ne 0$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, không phải $\frac{\pi }{3}+k\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x+2\pi )=\sin x+\tan x=g(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, nên $g$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: Tìm tập xác định.

a) $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ xác định khi $\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\ne 0$, tức $2x-\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff 2x\ne \frac{2\pi }{3}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) $y=\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\ne 0$, tức $x+\frac{\pi }{3}\ne k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{3}+k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{3}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c) $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

d) $y=\frac{\tan 3x}{\cos x}$ xác định khi $\tan 3x$ xác định và $\cos x\ne 0$:
- $\cos 3x\ne 0\iff 3x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$;
- $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.
Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left(\left\{\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}\right)$. Lưu ý $\frac{\pi }{2}+k\pi =\frac{\pi }{6}+\frac{(3k+1)\pi }{3}$ nên tập thứ hai đã chứa trong tập thứ nhất, do đó $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=f(x)=\tan x+2\sin x$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Với mọi $x\in D$ thì $-x\in D$ (vì $\cos (-x)=\cos x\ne 0$), nên tập xác định đối xứng qua gốc tọa độ.

Ta có:
$$f(-x)=\tan (-x)+2\sin (-x)=-\tan x-2\sin x=-(\tan x+2\sin x)=-f(x).$$

Vậy hàm số $y=\tan x+2\sin x$ là hàm số lẻ.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có $-2\le 2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\le 2$, suy ra $-3\le 2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)-1\le 1$.
- Giá trị lớn nhất: $y_{\max }=1$, đạt được khi $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=1\iff x-\frac{\pi }{3}=k2\pi \iff x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- Giá trị nhỏ nhất: $y_{\min }=-3$, đạt được khi $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=-1\iff x-\frac{\pi }{3}=\pi +k2\pi \iff x=\frac{4\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Vậy $\max y=1$ khi $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $\min y=-3$ khi $x=\frac{4\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19: Cho $f(x)=3{\sin }^{3}x$; $g(x)=-5\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$.

a) Tập xác định:
- Hàm $f(x)=3{\sin }^{3}x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D_f=\mathbb{R}$.
- Hàm $g(x)=-5\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ cũng xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D_g=\mathbb{R}$.

b) Tính chẵn lẻ:
- Xét $f(x)=3{\sin }^{3}x$: tập xác định $D_f=\mathbb{R}$ đối xứng qua gốc toạ độ. Ta có $f(-x)=3{\sin }^3(-x)=3(-\sin x{)}^3=-3{\sin }^{3}x=-f(x)$. Vậy $f(x)$ là hàm số lẻ.
- Xét $g(x)=-5\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$: tập xác định $D_g=\mathbb{R}$ đối xứng qua gốc toạ độ. Ta có $g(-x)=-5\cos \left(-2x+\frac{\pi }{3}\right)$. So sánh với $g(x)=-5\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ và $-g(x)=5\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$: nói chung $g(-x)\ne g(x)$ và $g(-x)\ne -g(x)$ (ví dụ tại $x=0$: $g(0)=-5\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{5}{2}$, còn $g(-0)=g(0)$, nhưng xét $x=\frac{\pi }{6}$: $g\left(\frac{\pi }{6}\right)=-5\cos \frac{2\pi }{3}=\frac{5}{2}$, còn $g\left(-\frac{\pi }{6}\right)=-5\cos 0=-5\ne \frac{5}{2}$ và $\ne -\frac{5}{2}$). Vậy $g(x)$ không chẵn và không lẻ (hàm không chẵn không lẻ).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1$, tức là $\frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $t-80=-91+364k$, tức $t=-11+364k$. Vì $0<t\le 365$ và $t\in \mathbb{Z}$, với $k=1$ ta được $t=353$ (với $k=0$ thì $t=-11$ không thỏa mãn). Vậy ngày thứ $353$ của năm (khoảng ngày 19 tháng 12) là ngày thành phố $T$ có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất, khi đó $d(353)=12-3=9$ giờ. Bạn An nên chọn đi vào ngày thứ $353$ của năm.

Ta có tập xác định là $\cos x\ne 0\iff x\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Ta có với mọi $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ và $f(x)$ là hàm số chẵn khi và chỉ khi: $$\{\begin{array}{l}f(-x)=f(x)\\ \forall x,(-x)\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}\end{array}$$ Xét f(-x) $=\frac{{\sin }^{2020n}(-x)+2020}{\cos (-x)}$. Ta luôn có: $\sin (-x)=-\sin x$; Do $2020n$ luôn là số chẵn với mọi số nguyên $n$, nên ${\sin }^{2020n}(-x)={\sin }^{2020n}x$ và $\cos (-x)=\cos x\iff f(-x)=\frac{{\sin }^{2020n}x+2020}{\cos x}$. Vậy $f(-x)=f(x)$. Suy ra hàm số là một hàm số chẵn

(AI giải đề cho tôi)
Sà lan qua gầm cầu khi tại mọi điểm của khối hàng (nằm trong khoảng $[-w/2;w/2]$ với $w$ là chiều rộng) chiều cao cầu $y\ge 6$. Giải $\frac{8\sqrt{3}}{3}\cos \frac{x}{12}+2=6\Rightarrow \cos \frac{x}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{x}{12}=\pm \frac{\pi }{6}\Rightarrow x=\pm 2\pi$. Vậy chiều rộng tối đa là $4\pi \approx 12,566$ m. Để chắc chắn qua được, chiều rộng phải nhỏ hơn $12,56$ m (nếu lấy 12,56 đến 13 m thì có thể vượt quá $4\pi \approx 12,566$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị tốc độ $v(x)$ trên đoạn đường 3 km, giá trị nhỏ nhất của tốc độ là đáy thấp nhất của đồ thị, ứng với $v=70$ (km/h) (giá trị 160 là cực đại, 130 là giá trị tại một số điểm). Vậy tốc độ nhỏ nhất là 70 km/h.