Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm số cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-3}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $x-3\ne 0\iff x\ne 3$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Mã đề 302, Câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số theo biến $x$ yêu cầu mỗi giá trị của $x$ tương ứng với duy nhất một giá trị của $y$. Với $y^2=2x-1$, với mỗi $x>\frac{1}{2}$ có hai giá trị $y=\pm \sqrt{2x-1}$, nên đây không phải hàm số theo biến $x$. Các phương án A, B, D đều có dạng $y$ biểu diễn duy nhất theo $x$, là hàm số. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 1, Mã đề 301: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng giá trị của hàm số, cột $x=3$ tương ứng với $f(3)=-4$. Vậy giá trị của hàm số tại $x=3$ là $-4$, khớp với đáp án A và với đáp án của đề (Mã đề 301, Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-3}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $x-3\ne 0\iff x\ne 3$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Kết quả trùng với đáp án B trong đề và bảng đáp án (Câu 4: B).

Đáp án chính thức: ĐA: 1.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số là quan hệ trong đó mỗi giá trị của $x$ chỉ tương ứng với đúng một giá trị của $y$. Xét từng phương án: A) $y=2025x^3-5x+1$ là đa thức, mỗi $x$ cho duy nhất một $y$ → là hàm số. C) $y=(2-x)(3x-1)=-3x^2+7x-2$ là đa thức → là hàm số. D) $y=\frac{2x-1}{x+3}$ với $x\ne -3$, mỗi $x$ cho duy nhất một $y$ → là hàm số. B) $y^2=x$ suy ra $y=\pm \sqrt{x}$, ví dụ với $x=1$ có $y=1$ hoặc $y=-1$: một giá trị $x$ tương ứng hai giá trị $y$ → không phải hàm số. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 2222: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng, cột $x=1$ tương ứng $f(1)=7$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

Hướng dẫn chấm: ĐK: $\{\begin{array}{l}-x^2+4x-3\ge 0\\ x-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1<x<3\\ x\ne 2\end{array}$. Vậy $D=(1;3)\setminus \{2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x^2+y^2=4$, tại $x=0$ có $y=\pm 2$ (hai giá trị $y$ ứng với cùng một $x$), nên $y$ không phải là hàm số của $x$. Các công thức $y=\sqrt{x}$, $y=x^2$, $y=2x+1$ đều cho mỗi $x$ một giá trị $y$ duy nhất. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 111, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=kx$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $k<0$. Trong các phương án: $y=x$ có $k=1>0$ (đồng biến), $y=-2x$ có $k=-2<0$ (nghịch biến), $y=\frac{1}{2}x$ và $y=2x$ có $k>0$ (đồng biến). Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $y=-2x$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 243, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm số xác định với mọi x (x≥0 dùng -2x+1, x<0 dùng x³+2x) nên D=ℝ: Đúng. b) f(1)=-2·1+1=-1: Đúng. c) Với x=-1<0, f(-1)=(-1)³+2·(-1)=-3≠3 nên M(-1;3) không thuộc đồ thị: Sai. d) Trên (0;+∞), f(x)=-2x+1 có hệ số góc -2<0 nên nghịch biến: Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai nhánh đều xác định trên toàn bộ tập số thực nên D=ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì 1≥0 nên f(1)=-2·1+1=-1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì -1<0 nên f(-1)=(-1)³+2(-1)=-3≠3, do đó M(-1;3) không thuộc đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;+∞) hàm số là f(x)=-2x+1, hàm bậc nhất hệ số góc -2<0 nên nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức $y=x^3+3x^2-1$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Các hàm còn lại là phân thức: A và C yêu cầu $x\ne 0$, D yêu cầu $x\ne 1$, nên tập xác định không phải $\mathbb{R}$. Đáp án khớp với mã đề 243, câu 8: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x$ có hệ số góc $a=1>0$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Các hàm $y=-2x$ và $y=-\frac{1}{2}x$ có hệ số âm nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$; hàm $y=\sqrt{x-1}$ chỉ xác định trên $[1;+\infty )$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Khớp với đáp án D trong bảng mã đề 132.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Cả hai nhánh xác định với mọi x nên D = R: đúng. b) f(1) = 2·1 + 1 = 3 ≠ 1: sai. c) Với x > 0, f(x) = 2x + 1 là hàm bậc nhất hệ số dương nên đồng biến trên (0; +∞): sai. d) Với x = -1 < 0, f(-1) = -(-1)³ + 2(-1) = 1 - 2 = -1, nên M(-1; -1) thuộc đồ thị: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai nhánh 2x+1 (x ≥ 0) và -x³+2x (x < 0) đều xác định với mọi giá trị x tương ứng, hợp lại là R.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì 1 ≥ 0 nên f(1) = 2·1 + 1 = 3 ≠ 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0; +∞), f(x) = 2x + 1 có hệ số góc 2 > 0 nên hàm đồng biến, không nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì -1 < 0 nên f(-1) = -(-1)³ + 2(-1) = 1 - 2 = -1, trùng tung độ của M(-1; -1).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tập xác định của từng hàm số: A) $y=\sqrt{x-1}$ xác định khi $x-1\ge 0$, tức $x\ge 1$, tập xác định $[1;+\infty )\ne \mathbb{R}$. B) $y=\frac{2}{x}$ xác định khi $x\ne 0$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}\ne \mathbb{R}$. C) $y=\frac{x+2}{x-1}$ xác định khi $x-1\ne 0$, tức $x\ne 1$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}\ne \mathbb{R}$. D) $y=-x^4+3x^2-1$ là đa thức, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, tập xác định là $\mathbb{R}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (mã đề 132, câu 4: D).

Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1.

a) Tồn tại. Chọn $f(n)=n+1$ với mọi $n\in \mathbb{Z}$. Rõ ràng $f$ là song ánh từ $\mathbb{Z}$ vào $\mathbb{Z}$ (nghịch đảo $f^{-1}(m)=m-1$). Khi đó với mọi $n\in \mathbb{Z}$:
$$f(2f(n))=f(2(n+1))=f(2n+2)=(2n+2)+1=2n+3.$$
Vậy thỏa mãn yêu cầu.

Kết luận: Tồn tại, chẳng hạn $f(n)=n+1$.

b) Không tồn tại. Giả sử ngược lại có song ánh $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(2f(n))=2n+3$ với mọi $n\in \mathbb{N}$. Vì $f$ là song ánh nên khi $n$ chạy khắp $\mathbb{N}$, $f(n)$ chạy khắp $\mathbb{N}$, do đó tập $\{2f(n):n\in \mathbb{N}\}$ đúng bằng tập tất cả các số chẵn trong $\mathbb{N}$. Suy ra
$$f(\text{tập caˊc soˆˊ cha˘˜n})=\{2n+3:n\in \mathbb{N}\},$$
tức là $f$ đưa toàn bộ tập các số chẵn (một tập vô hạn) một-một lên tập $\{2n+3\}$ (các số lẻ bắt đầu từ $3$ hoặc $5$ tùy cách quy ước $\mathbb{N}$).

Xét phần còn lại của tập xác định: tập các số lẻ trong $\mathbb{N}$, cũng là một tập vô hạn. Vì $f$ là đơn ánh và các giá trị $f(m)$ với $m$ chẵn đã chiếm trọn tập $\{2n+3\}$, nên với mọi $m$ lẻ, $f(m)$ không thể thuộc $\{2n+3\}$; do đó
$$f(\text{tập caˊc soˆˊ lẻ})\subseteq \mathbb{N}\setminus \{2n+3:n\in \mathbb{N}\}.$$
Phần bù này chỉ gồm các số chẵn đã bị "loại khỏi hình ảnh bởi ràng buộc trên" — cụ thể chỉ là hữu hạn phần tử đầu tiên (ví dụ nếu $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ thì $\{2n+3\}=\{5,7,9,\dots \}$ và phần bù là $\{1,2,3,4\}$; nếu $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ thì $\{2n+3\}=\{3,5,7,\dots \}$ và phần bù là $\{0,1,2\}$). Vậy tập vô hạn các số lẻ phải được $f$ (đơn ánh) đưa vào một tập hữu hạn — điều này mâu thuẫn với tính đơn ánh của $f$ (vô hạn phần tử khác nhau không thể có vô hạn giá trị đôi một khác nhau trong một tập hữu hạn).

Kết luận: Không tồn tại song ánh $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(2f(n))=2n+3,\forall n\in \mathbb{N}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $-x^2+2x+3\ge 0⟺x^2-2x-3\le 0⟺(x-3)(x+1)\le 0⟺-1\le x\le 3$. Vậy tập xác định là $[-1;3]$.

Giả sử tồn tại hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ký hiệu $P(x_0,y_0)$ là kết quả thu được khi thay $x=x_0;y=y_0$ trong điều kiện đã cho.
Giả sử $f(a)=f(b)$. So sánh $P(x,a)$ và $P(x,b)$ ta có $a=b$, hay $f$ là đơn ánh. (0.5 điểm)

$P(x,f(x)):f(2x+f(f(x)))=f(3f(x)),\forall x\in \mathbb{R}$.
Mà $f$ là đơn ánh nên ta suy ra $f(f(x))+2x=3f(x),\forall x\in \mathbb{R}$, hay
$$f(f(x))=3f(x)-2x,\forall x\in \mathbb{R}(\ast )$$ (1 điểm)

$P(x,0):f(2x+f(0))+f(x)=f(3f(x)).$
So sánh với $P(x,y)$ ta được
$$f(2x+f(y))-y=f(2x+f(0)),\forall x\in \mathbb{R}(\ast \ast )$$ (1 điểm)

Thế $x=0$ vào $(\ast \ast )$, ta có $f(f(y))-y=f(f(0)),\forall y\in \mathbb{R}$.
Kết hợp điều này với $(\ast )$, ta thu được $3f(y)-3y=f(f(0)),\forall y\in \mathbb{R}$.
Như vậy, $f(y)=y+c,\forall y\in \mathbb{R}$, trong đó $c=f(f(0))/3$. Thay vào phương trình hàm ban đầu, ta thấy $f(x)=x+c$ là một nghiệm hàm khi và chỉ khi
$$2x+y+c+c+x+c-y=3(x+c)+c,$$
với mọi số thực $x,y$, nghĩa là khi và chỉ khi $c=0$.
Vậy, bài toán có nghiệm hàm duy nhất là $f(x)=x$ với mọi $x$. (0.5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $x-1\ne 0\iff x\ne 1$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 7: A).