Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

Lời giải

Ta có: $\widehat{ACB}=180^{\circ }-\left(\widehat{CBA}+\widehat{CAB}\right)=180^{\circ }-\left(45^{\circ }+62^{\circ }\right)=73^{\circ }$. (0.25đ)

Áp dụng định lý sin $\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{AC}{\sin \widehat{CBA}}\Rightarrow \frac{40}{\sin 73^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 62^{\circ }}\Rightarrow AC=\frac{40.\sin 62^{\circ }}{\sin 73^{\circ }}\approx 36,9m$. (0.25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ với góc $B=60^{\circ }$, $AB=c=5$, $BC=a=8$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=89-80\cdot \frac{1}{2}=89-40=49$. Suy ra $AC=7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Phần III, Câu 4, mã đề 101: 7).

Lời giải

Ta có: $\widehat{ACB}=180^{\circ }-\left(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}\right)=180^{\circ }-\left(40^{\circ }+60^{\circ }\right)=80^{\circ }$. (0.25đ)

Áp dụng định lý sin $\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{AC}{\sin \widehat{CBA}}\Rightarrow \frac{45}{\sin 80^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 60^{\circ }}\Rightarrow AC=\frac{45.\sin 60^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}\approx 39,6m$.

(0.25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC, góc C = 180° - 75° - 60° = 45°. Theo định lí sin: AC/sin B = AB/sin C, nên AC = 5·sin60°/sin45° = 5·(√3/2)/(√2/2) = 5√6/2. Khớp với đáp án A và bảng đáp án (mã đề 102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: AB = 40·2 = 80 hải lí, AC = 30·2 = 60 hải lí, góc BAC = 60°. Theo định lí cosin: BC² = 80² + 60² − 2·80·60·cos60° = 6400 + 3600 − 4800 = 5200, nên BC = √5200 ≈ 72,11 ≈ 72 hải lí. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$ với hai cạnh $AC=30$, $BC=50$ và góc xen giữa $\hat{C}=75^{\circ }$ là $S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin C=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 50\cdot \sin 75^{\circ }=750\cdot \sin 75^{\circ }$. Vì $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0,9659$, nên $S\approx 750\cdot 0,9659\approx 724,4$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot \sin C=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 50\cdot \sin 75^0=750\cdot \sin 75^0$. Vì $\sin 75^0=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0,9659$, nên $S\approx 750\cdot 0,9659\approx 724,4$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$: $\hat{C}=180^{\circ }-75^{\circ }-60^{\circ }=45^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $AC=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}=\frac{5\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{6}}{2}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: $AB=40\cdot 2=80$ hải lí, $AC=30\cdot 2=60$ hải lí, góc $A=60^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 60^{\circ }=6400+3600-2\cdot 80\cdot 60\cdot \frac{1}{2}=5200$, nên $BC=\sqrt{5200}\approx 72,11\approx 72$ hải lí. Khớp với đáp án B (bảng đáp án mã đề 101, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $AB=5$, $AC=8$, $BC=7$.
a) Theo định lí cosin: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{25+49-64}{70}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\ne \frac{1}{12}$ → Sai.
b) Diện tích $S=10\sqrt{3}$ (xem c), nên $R=\frac{abc}{4S}=\frac{5\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 10\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ → Đúng.
c) $p=\frac{5+8+7}{2}=10$, $S=\sqrt{10\cdot 5\cdot 2\cdot 3}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$ → Đúng.
d) Cạnh lớn nhất là 8, vì $8^2=64<5^2+7^2=74$ nên tam giác nhọn → Đúng. Khớp đáp án mã đề 102: a)S - b)Đ - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{1}{7}\ne \frac{1}{12}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{280}{40\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$p=10$, $S=\sqrt{10\cdot 5\cdot 2\cdot 3}=10\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$8^2=64<74=5^2+7^2$ nên tam giác nhọn.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi tam giác: $p=\frac{23+27+32}{2}=41$ (m). Theo công thức Heron, diện tích $S=\sqrt{41(41-23)(41-27)(41-32)}=\sqrt{41\cdot 18\cdot 14\cdot 9}=\sqrt{92988}\approx 304,94{\text{m}}^2$. Chi phí trồng cỏ: $304,94\times 65000\approx 19821000$ đồng $\approx 19,82$ triệu đồng, làm tròn đến hàng đơn vị là $20$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (20).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=5, AC=8, BC=7. a) Theo định lí cosin: cos B = (AB²+BC²−AC²)/(2·AB·BC) = (25+49−64)/70 = 10/70 = 1/7 ≠ 1/12 → Sai. b) cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (25+64−49)/80 = 1/2 > 0, và cos B = 1/7 > 0, cos C = (AC²+BC²−AB²)/(2·AC·BC) = (64+49−25)/112 = 11/14 > 0 nên tam giác nhọn → Đúng. c) p = (5+8+7)/2 = 10, S = √(10·5·2·3) = √300 = 10√3 → Đúng. d) R = abc/(4S) = (5·8·7)/(4·10√3) = 7/√3 = 7√3/3 → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)S, b)Đ, c)Đ, d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos B = (AB²+BC²−AC²)/(2·AB·BC) = (25+49−64)/70 = 1/7 ≠ 1/12.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos A = 1/2 > 0, cos B = 1/7 > 0, cos C = 11/14 > 0 nên cả ba góc nhọn.
c) (AI giải đề cho tôi)
p = 10, S = √(10·5·2·3) = 10√3.
d) (AI giải đề cho tôi)
R = abc/(4S) = 280/(40√3) = 7√3/3.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi: $p=\frac{23+27+32}{2}=41$ (m). Theo công thức Heron: $S=\sqrt{41(41-23)(41-27)(41-32)}=\sqrt{41\cdot 18\cdot 14\cdot 9}=\sqrt{92988}\approx 304,94{\text{m}}^2$. Số tiền mua cỏ: $304,94\times 65000\approx 19821100$ đồng $\approx 19,8$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng đơn vị: $20$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (20).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=2R$ với $A=\widehat{BAC}=120^{\circ }$, $BC=a$. Suy ra $2R=\frac{a}{\sin 120^{\circ }}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$, nên $R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=7, AC=8, BC=9. a) Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{49+64-81}{112}=\frac{32}{112}=\frac{2}{7}$ → Đúng. b) $\sin A=\sqrt{1-\frac{4}{49}}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}=12\sqrt{5}\ne 24\sqrt{5}$ → Sai. c) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{9}{2\cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}}=\frac{21}{2\sqrt{5}}=\frac{21\sqrt{5}}{10}\ne \sqrt{5}$ → Sai. d) Đường cao ứng với cạnh BC: $h=\frac{2S}{BC}=\frac{24\sqrt{5}}{9}=\frac{8\sqrt{5}}{3}$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (DSSD cho mã đề 1002).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{7^2+8^2-9^2}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{2}{7}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=\frac{3\sqrt{5}}{7}$ nên $S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}=12\sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{9}{2\sin A}=\frac{21\sqrt{5}}{10}\ne \sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h=\frac{2S}{BC}=\frac{24\sqrt{5}}{9}=\frac{8\sqrt{5}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cdot \cos 120^{\circ }=61+30=91$. Vậy $BC=\sqrt{91}\approx 9,5394\approx 9,54$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 2 Phần III: 9,54).

Ta có
$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }}=\sqrt{3};S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (0,25 điểm).
$$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AH\cdot BC\iff \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}AH.\sqrt{3}\iff AH=1$$ (0,25 điểm).

Học sinh làm các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí sin đúng là $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, nên phát biểu B với mẫu $\cos B$ là sai. A đúng theo định lí côsin, C là công thức Heron, D là công thức diện tích đúng. Đáp án B khớp với mã đề 1002.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=14, AC=13, BC=15.
a) Theo định lí cosin: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (196+169−225)/364 = 140/364 = 5/13 ≠ 5/12 → Sai.
b) sin A = 12/13 nên S = ½·AB·AC·sin A = ½·14·13·(12/13) = 84 ≠ 39 → Sai.
c) R = abc/(4S) = (14·13·15)/(4·84) = 2730/336 = 65/8 ≈ 8,125 ≠ 4 → Sai.
d) Đường cao ứng với cạnh AB: h = 2S/AB = 168/14 = 12 → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (SSDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
cos A = (14²+13²−15²)/(2·14·13) = 140/364 = 5/13 ≠ 5/12.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin A = 12/13, S = ½·14·13·12/13 = 84 ≠ 39.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = (14·13·15)/(4·84) = 65/8 ≈ 8,125 ≠ 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
h_AB = 2S/AB = 168/14 = 12.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $MNP$: $N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2-2\cdot MN\cdot MP\cdot \cos \widehat{NMP}=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }=4+9-12\cdot \frac{1}{2}=7$. Vậy $NP=\sqrt{7}\approx 2,6458\approx 2,65$ (làm tròn đến hàng phần trăm). Kết quả trùng với đáp án nguồn 2,65.