Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 25 chọn đáp án B.

Mặt cầu $(S)$ có phương trình chuẩn dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b;c)$.
Từ phương trình đã cho ta có tâm là $I_2(3;-5;-2)$.

Chọn đáp án B.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 34 chọn đáp án B.

Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến $(C)$, $d=d(O;(P))$ là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$.
Ta có $r=\sqrt{R^2-d^2}$. Chu vi đường tròn $(C)$ nhỏ nhất khi bán kính $r$ nhỏ nhất, tương đương với $d$ lớn nhất.
Vì $M\in (P)$ nên $d=d(O;(P))\le OM=4$.
Do đó $d$ đạt giá trị lớn nhất bằng $OM=4$ khi $OM\perp (P)$.
Khi đó, chu vi đường tròn nhỏ nhất là $2\pi r=6\pi \Rightarrow r=3$.
Khối nón có đỉnh $O$, đáy là đường tròn $(C)$ có chiều cao $h=OM=4$ và bán kính đáy $r=3$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2\cdot 4=12\pi .$

Chọn đáp án B.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 39 chọn đáp án A.



Thiết diện qua trục của hình nón $(N)$ là tam giác cân $ABC$ với $AB=AC=l=10$, $BC=2r=12$.
Khối cầu $(S)$ tiếp xúc với đáy và các đường sinh nên hình tròn lớn của mặt cầu là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
Chiều cao của hình nón: $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
Diện tích tam giác $ABC$ là:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48.$
Nửa chu vi tam giác $ABC$ là:
$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{10+10+12}{2}=16.$
Bán kính mặt cầu là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$:
$R=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{48}{16}=3.$
Thể tích khối cầu $(S)$ bằng:
$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi .$

Chọn đáp án A.

Chọn C.
Thể tích của khối cầu là:
$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4\pi (2a{)}^3}{3}=\frac{32\pi a^3}{3}.$

Chọn A.
Gọi $I(x_I;y_I;z_I)$ là tâm mặt cầu đường kính $AB$, khi đó $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$:
$x_I=\frac{x_A+x_B}{2}=2,y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=1,z_I=\frac{z_A+z_B}{2}=1⟹I(2;1;1).$
Bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{(2-2{)}^2+(1-3{)}^2+(1-1{)}^2}=2$.

Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA=SB=SC=a\sqrt{2}$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, tức trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$. Khi đó tính khoảng cách từ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SACD$ đến các đỉnh, ta tìm được bán kính $R=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Tâm của mặt cầu là trung điểm $I$ của $AB$: $I(1;-1;-2)$. Bán kính $R=IA=\sqrt{(1-1{)}^2+(-1-0{)}^2+(-2+4{)}^2}=\sqrt{0+1+4}=\sqrt{5}$. Phương trình mặt cầu: $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+2{)}^2=5$.

Vì $A,B$ có tọa độ dương nên tâm mặt cầu $I(R;R;R)$ nằm trong góc phần tám thứ nhất. Đoạn thẳng $AB$ nằm trong $(S)$ khi và chỉ khi hai đầu mút $A,B$ nằm trong $(S)$, tức là $I{A}^2\le R^2$ và $I{B}^2\le R^2$. Xét điều kiện $I{B}^2\le R^2⟺(R-2{)}^2+(R-3{)}^2+(R-4{)}^2\le R^2⟺2R^2-18R+29\le 0⟺\frac{9-\sqrt{23}}{2}\le R\le \frac{9+\sqrt{23}}{2}\approx 6,89$. Giá trị nguyên lớn nhất của $R$ là 6.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;0)$ và bán kính $R=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+0^2-(-4)}=3$.

Thể tích khối cầu bán kính $R=6$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3=288\pi$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $R_1=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $△SAB$ đều là $R_2=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Do $(SAB)\perp (ABCD)$ theo giao tuyến $AB=a$ nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R=\sqrt{R_1^2+R_2^2-\frac{A{B}^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{4}}=a\sqrt{\frac{7}{12}}$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=\frac{7\pi a^2}{3}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 9 chọn đáp án A.

Tập hợp tâm các mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của đường tròn đó (trục của đường tròn). Do trên trục có vô số điểm, nên có vô số mặt cầu chứa đường tròn đã cho.

Chọn đáp án A.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 15 chọn đáp án C.

Phương trình mặt cầu $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$.
Từ $(x+2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=9$, ta có tâm $I(-2;0;1)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$.

Chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 39 chọn đáp án A.

Bán kính đường tròn $(C)$ là $r=\frac{8\pi }{2\pi }=4\text{ cm}$.
Khoảng cách từ tâm mặt cầu $O$ đến mặt phẳng $(P)$ là $d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\text{ cm}$.
Tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn bán kính $r=4\text{ cm}$ nên cạnh tam giác là $a=r\sqrt{3}=4\sqrt{3}\text{ cm}$.
Diện tích tam giác $ABC$: $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(4\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$.
Khoảng cách lớn nhất từ điểm $D\in (S)$ đến $(P)$ là $h_{\max }=R+d=5+3=8\text{ cm}$.
Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $ABCD$ là:
$V_{\max }=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h_{\max }=\frac{1}{3}\cdot 12\sqrt{3}\cdot 8=32\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$.

Chọn đáp án A.

Thể tích của khối cầu bán kính $R=2$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 2^3=\frac{32\pi }{3}$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;3;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{(-1{)}^2+3^2+(-2{)}^2-(-11)}=\sqrt{1+9+4+11}=5$.

Trong $△ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{BAC}=120^{\circ }\Rightarrow \widehat{ABC}=30^{\circ }$, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $R_{\text{đaˊy}}=\frac{AC}{2\sin 30^{\circ }}=a$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng là $R=\sqrt{R_{\text{đaˊy}}^2+{\left(\frac{A{A}^{\prime }}{2}\right)}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=8\pi a^2$.

Tâm của mặt cầu là trung điểm $I$ của $AB$: $I(-1;1;0)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(1-(-3){)}^2+(0-2{)}^2+(-2-2{)}^2}}{2}=\frac{\sqrt{16+4+16}}{2}=3$. Phương trình mặt cầu: $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=9$.

Diện tích mặt cầu có bán kính $r=2R$ là $S=4\pi r^2=4\pi (2R{)}^2=16\pi R^2$.

Tứ giác $ABCE$ là hình vuông cạnh 1, tam giác $CDE$ vuông cân tại $C$ với $CD=CE=\sqrt{2},DE=1$. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CDE$, ta tìm được bán kính $R=\frac{\sqrt{11}}{2}⟹S_{mc}=4\pi R^2=11\pi$.