Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

a) Sai: Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;1)$ và bán kính $R=3$.
b) Đúng: $IA=\sqrt{2^2+(-4{)}^2+4^2}=6>R=3$ nên $A$ nằm ngoài mặt cầu.
c) Đúng: $\overrightarrow{IT}=(-1;-2;2)$, mặt phẳng tiếp xúc tại $T(-2;0;3)$ có phương trình $x+2y-2z+8=0$.
d) Sai: $\overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{IA}=R^2=9⟺2(x+1)-4(y-2)+4(z-1)=9⟺2x-4y+4z-3=0$.

Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(P)$ tại điểm cố định $K$ với $KA=9$, $KB=4$. Do $(S)$ đi qua $A,B$ và tiếp xúc với $(P)$ tại $H$ nên $K{H}^2=KA\cdot KB=36⟹KH=6$. Vậy $H$ luôn thuộc đường tròn tâm $K$ bán kính $r=6$ trong mặt phẳng $(P)$.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.
Với $I(1;0;-2)$ và $R=4$, ta có:
$$(x-1{)}^2+y^2+(z+2{)}^2=4^2=16.$$

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Bán kính mặt cầu là $R=ON=\sqrt{0^2+0^2+3^2}=3$.
Phương trình mặt cầu tâm $N(0;0;3)$, bán kính $R=3$ là:
$$x^2+y^2+(z-3{)}^2=3^2⟺x^2+y^2+z^2-6z+9=9⟺x^2+y^2+z^2-6z=0.$$

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Đường kính khối cầu là $2a$ nên bán kính $R=a$.
Thể tích khối cầu là:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4\pi a^3}{3}.$$

Chọn A.
Tam giác $ACD$ vuông tại $D$, nội tiếp đường tròn đường kính $AC=a\sqrt{2}$, bán kính đáy $R_d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Cạnh bên $SA\perp (ACD)$ nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ACD$ là:
$$R=\sqrt{R_d^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}}=a.$$

Chọn B.
Đường kính khối cầu là $2a\Rightarrow$ bán kính $R=a$. Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi a^3$.

Chọn D.
Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Vì các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau $60^{\circ }$ nên $SO\perp (ABCD)$.
Đáy có đường chéo $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\Rightarrow OA=\frac{5}{2}$.
Trong tam giác vuông $SOA$:
$$SO=OA\tan 60^{\circ }=\frac{5\sqrt{3}}{2},SA=\frac{OA}{\cos 60^{\circ }}=5.$$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
$$R=\frac{S{A}^2}{2SO}=\frac{25}{2\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$$
Thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)}^3=\frac{500\sqrt{3}}{27}\pi .$$

Công thức tính thể tích khối cầu bán kính $R$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.
Chọn A.

Mặt cầu và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối:
- Không có điểm chung ($d>R$).
- Có đúng 1 điểm chung, mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu ($d=R$).
- Cắt nhau theo một đường tròn, có vô số điểm chung ($d<R$).
Do đó số điểm chung giữa mặt cầu và mặt phẳng không thể là 2.
Chọn C.

Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $I$, khi đó $CD$ là đường kính của mặt cầu nên tam giác $CBD$ vuông tại $B\Rightarrow BD\perp BC$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}$.
Mặt khác: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IC}$, và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}$.
Do đó: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IC})\cdot (\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC})=A{I}^2-I{C}^2=I{A}^2-R^2$.
Chọn A.

Để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật, ta xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy (là giao điểm của hai đường chéo mỗi đáy).
Khi đó tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là trung điểm của đoạn nối hai tâm đáy và cũng chính là trung điểm của đường chéo chính $A^{\prime }C$.
Chọn B.

Xét tứ diện đều $S.ABC$ cạnh $a$. Gọi $H$ là trọng tâm $\Delta ABC$, ta có $SH\perp (ABC)$.
$AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều:
$R=\frac{S{A}^2}{2SH}=\frac{a^2}{2\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}}=\frac{3a}{2\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều là:
$S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{a\sqrt{6}}{4}\right)}^2=4\pi \cdot \frac{6a^2}{16}=\frac{3\pi a^2}{2}$.
Chọn A.

Chọn B.
Khối cầu có bán kính $R=1$. Thể tích là:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4\pi }{3}.$$

Chọn C.
Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=3^2$ nên bán kính $R=3$.

Chọn D.
Tứ giác $AECD$ là hình chữ nhật nên $CE\perp AB$ và $CE=2$. Tam giác $BCE$ vuông tại $E$ có $EB=1,CE=2\Rightarrow BC=\sqrt{5}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCE$ là $R_d=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.BCE$ là $R=\sqrt{R_d^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2+d^2}=\frac{\sqrt{14}}{2}$.
Diện tích mặt cầu là $S_{mc}=4\pi R^2=14\pi$.

Chọn D.
Thể tích khối cầu bán kính $R=3\text{ cm}$ là:
$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi {\text{ cm}}^3$.

Chọn D.
Gọi $R$ là bán kính đường tròn giao tuyến và $d=d(O,(\alpha ))=\frac{r}{3}$.
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi tâm cầu, tâm đường tròn giao tuyến và một điểm trên đường tròn:
$R=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{r^2-{\left(\frac{r}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{8r^2}{9}}=\frac{2r\sqrt{2}}{3}$.

Chọn A.
Gọi $R_{day}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy $ABC$.
Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$:
$2R_{day}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ }}=\frac{2a\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4a\Rightarrow R_{day}=2a$.
Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên vuông góc với đáy.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
$R=\sqrt{R_{day}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{(2a{)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{4a^2+\frac{3a^2}{4}}=\sqrt{\frac{19a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{19}}{2}$.

Chọn C.
Đường tròn $(C)$ có tâm $O$ và bán kính $r=\frac{AB}{2}=2$.
$H$ đối xứng với $O$ qua $A$ nên $A$ là trung điểm $OH$, suy ra $OH=2OA=2\cdot 2=4$.
Mặt cầu $(S_0)$ đi qua đường tròn $(C)$ nên tâm $I$ của mặt cầu phải nằm trên trục của đường tròn $(C)$ (đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$).
Do đó $OI\perp (P)$.
Mặt khác theo giả thiết $SH\perp (P)$ nên $OI\parallel SH$.
Trong mặt phẳng $(SH,OI)$ chứa $H,O,S,I$:
Kẻ $IK\perp SH$ tại $K$, ta có tứ giác $OIKH$ là hình chữ nhật (vì $\widehat{IOH}=\widehat{IKH}=\widehat{SHO}=90^{\circ }$).
Đặt $OI=x$ ($x>0$), ta có $HK=OI=x$ và $IK=OH=4$.
Vì $SH=4$ nên $SK=|SH-HK|=|4-x|$.
Bán kính mặt cầu $R$ thỏa mãn:
- Với điểm thuộc $(C)$: $R^2=I{A}^2=O{I}^2+O{A}^2=x^2+2^2=x^2+4$.
- Với điểm $S$: $R^2=I{S}^2=I{K}^2+S{K}^2=4^2+(4-x{)}^2=16+(x-4{)}^2$.
Do đó ta có phương trình:
$x^2+4=16+x^2-8x+16\iff 8x=28\iff x=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}$.
Bán kính mặt cầu là:
$R^2={\left(\frac{7}{2}\right)}^2+4=\frac{49}{4}+4=\frac{65}{4}$.
Diện tích mặt cầu là:
$S=4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{65}{4}=65\pi$.