Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Diện tích hình tròn lớn bằng $\pi R^2=4\pi \Rightarrow R=2$.
Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 2^3=\frac{32\pi }{3}$.
Chọn A.

Diện tích mặt cầu bán kính $R^{\prime }=2R$ là: $S=4\pi (R^{\prime }{)}^2=4\pi (2R{)}^2=16\pi R^2$.
Chọn C.

Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm $I(2;1;1)$ đến mặt phẳng $(P)$:
$R=d(I,(P))=\frac{|2\cdot 2-1+2\cdot 1+1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2$.
Phương trình mặt cầu tâm $I(2;1;1)$ bán kính $R=2$ là:
$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=4$.
Chọn C.

Chọn B.
Phương trình mặt cầu $(S):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$. Do đó tâm của $(S)$ là $I(-1;4;3)$.

Chọn B.
Ta có $△ADC=△BDC$ (c-c-c) nên $\widehat{BDC}=\widehat{ADC}=90^{\circ }$.
Khi đó $△EDA=△EDB$ (c-g-c) nên $EA=EB$.
Mà $△AEB$ vuông tại $E$ nên $EA=EB=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong các tam giác vuông:
$ED=\sqrt{E{B}^2-B{D}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.
$DC=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Suy ra $EC=ED+DC=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Vì $E{C}^2=\frac{3a^2}{2}=E{A}^2+A{C}^2$ nên tam giác $EAC$ vuông tại $A$. Tương tự tam giác $EBC$ vuông tại $B$.
Xét tứ diện $EABC$ có hai đỉnh $A$ và $B$ cùng nhìn cạnh $EC$ dưới một góc vuông, do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là trung điểm của $EC$.
Bán kính mặt cầu là $R=\frac{EC}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.
Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{6}}{4}\right)}^3=\frac{3\pi a^3\sqrt{6}}{8}$.

Hình trụ có bán kính đáy $r$, đường cao $h=O{O}^{\prime }=2r$, thể tích $V_T=\pi r^{2}h=2\pi r^3$.
Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy tại $O$ và $O^{\prime }$ nên có đường kính bằng $O{O}^{\prime }=2r\Rightarrow$ bán kính mặt cầu là $R=r$.
Thể tích khối cầu là $V_C=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi r^3$.
Tỉ số $\frac{V_C}{V_T}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3}=\frac{2}{3}$.
Chọn D.

Diện tích của mặt cầu bán kính $R=a$ là $S=4\pi R^2=4\pi a^2$.
Chọn C.

Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$ là $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.
Với $I(1;0;2)$ và $R=2$, ta có: $(x-1{)}^2+y^2+(z-2{)}^2=4$.
Chọn A.

Phương pháp: Đường tròn lớn của mặt cầu bán kính $R$ có bán kính $r=R$.
Cách giải: Chu vi đường tròn lớn là $C=2\pi R$.
Chọn D.

Phương pháp: Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp qua trục đường tròn ngoại tiếp đáy và mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
Cách giải: Tính $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 120^{\circ }}=a\sqrt{7}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{đ\acute{a}y}=\frac{BC}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{a\sqrt{21}}{3}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R=\sqrt{R_{đ\acute{a}y}^2+{\left(\frac{A{A}^{\prime }}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{30}a}{3}$.
Chọn A.

Phương pháp: Tìm tâm $H$ và bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến $(C)$. Chiếu điểm $A$ lên mặt phẳng $(\alpha )$ được điểm $A^{\prime }$. Điểm $M$ xa nhất khi $M,H,A^{\prime }$ thẳng hàng.
Cách giải: Tâm mặt cầu $I(0;2;-3)$, hình chiếu của $I$ lên $(\alpha )$ là $H(-1;1;-3)$. Tìm hình chiếu của $A$ lên $(\alpha )$ và viết phương trình đường thẳng qua $H$, từ đó tìm được tọa độ điểm $M$ có hoành độ bằng $-4$.
Chọn B.

Chọn B.
Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$, suy ra $R^2=16\Rightarrow R=4$.

Chọn B.
Tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng $MN$:
$$I\left(\frac{0+2}{2};\frac{-1-1}{2};\frac{2+2}{2}\right)=I(1;-1;2).$$
Độ dài đường kính $MN=\sqrt{(2-0{)}^2+(-1-(-1){)}^2+(2-2{)}^2}=2$.
Bán kính mặt cầu là $R=\frac{MN}{2}=1$.
Phương trình mặt cầu là: $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=1$.

Chọn D.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;4;6)$ và bán kính $R=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$.
Ta có $I{A}^2=(-2-2{)}^2+(0-4{)}^2+(-2-6{)}^2=96\Rightarrow IA=4\sqrt{6}$.
Các tiếp điểm từ $A$ đến $(S)$ tạo thành đường tròn $(\omega )$ có tâm $H$ trên đoạn $IA$.
Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng chứa $(\omega )$ là:
$$IH=\frac{R^2}{IA}=\frac{24}{4\sqrt{6}}=\sqrt{6}.$$
Bán kính đường tròn $(\omega )$ là $r_{\omega }=\sqrt{R^2-I{H}^2}=\sqrt{24-6}=3\sqrt{2}$.
Để đường tròn $({\omega }^{\prime })$ có bán kính bằng $r_{\omega }$ thì khoảng cách từ $M$ đến $I$ phải bằng $IA$:
$$IM=IA=4\sqrt{6}.$$
Vì $M$ nằm trong mặt phẳng chứa $(\omega )$, mặt phẳng này cách $I$ một khoảng $IH=\sqrt{6}$, nên $M$ thuộc đường tròn giao tuyến có tâm $H$ và bán kính:
$$r=\sqrt{I{M}^2-I{H}^2}=\sqrt{96-6}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$$

Hình chiếu vuông góc của $I(1;-1;2)$ lên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$, nên bán kính mặt cầu là $R=IH=\sqrt{0^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{5}$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=5$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;-3)$ và bán kính $R=5$. Điểm $A(2;2;1)$ có $IA=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=5=R$ nên $A\in (S)$. Vì $AB,AC,AD$ là ba dây cung đôi một vuông góc của mặt cầu $(S)$ nên hình hộp chữ nhật dựng trên ba cạnh $AB,AC,AD$ nội tiếp mặt cầu $(S)$, có đường chéo từ $A$ đi qua tâm $I$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}⟹\overrightarrow{IG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{IA}$. Do đó mặt phẳng $(BCD)$ luôn đi qua điểm cố định $G$ với $IG=\frac{1}{3}R=\frac{5}{3}$. Khoảng cách từ $I$ đến $(BCD)$ thỏa mãn $d(I,(BCD))\le IG=\frac{5}{3}$ (dấu bằng xảy ra khi $(BCD)\perp IG$). Vậy $\frac{m}{n}=\frac{5}{3}⟹m\cdot n=15$.

Diện tích của mặt cầu có bán kính $R$ bằng $4\pi R^2$.

Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=d(A,(P))=\frac{|6\cdot 3-3\cdot (-1)+2\cdot 4-6|}{\sqrt{6^2+(-3{)}^2+2^2}}=\frac{23}{7}$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-4{)}^2=\frac{529}{49}$.

Chọn A.
Thể tích khối cầu là:
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi .$$

Chọn A.
Từ phương trình mặt cầu $(S):x^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=9$, suy ra bán kính của nó là $R=\sqrt{9}=3$.