Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Chọn C.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $x+y+z=1$ với 1 vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(1;1;1)$.
Ta có $\overrightarrow{BC}=(0;-1;1)$. Một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_2=[{\vec{n}}_1,\overrightarrow{BC}]=(2;-1;-1)$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $(P)$ là $2x-y-z+1=0$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC$, $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$, ta có $H\left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ và $IH$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Như vậy phương trình đường thẳng $IH$ là $\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=\frac{1}{2}-t\\ z=\frac{1}{2}-t\end{array}$.
Gọi $I\left(2t;\frac{1}{2}-t;\frac{1}{2}-t\right)\in IH$, ta có:
$$IA=IB\iff (2t-1{)}^2+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2=(2t{)}^2+{\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2$$
$$\iff t=\frac{1}{6}\iff I\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right).$$
Khi đó khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(Q)$ bằng:
$$d(I,(Q))=\frac{|2\cdot \frac{1}{3}-3\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+1|}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{14}}.$$

Chọn A.
Diện tích mặt cầu có bán kính $R=3a$ là $S=4\pi R^2=4\pi (3a{)}^2=36\pi a^2$.

Chọn D.
Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm $I$ tới điểm $M$:
$R=IM=\sqrt{(2-2{)}^2+(3-(-1){)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{0+16+9}=\sqrt{25}=5$.

Chọn D.
Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z=0$. Giao tuyến của $(S)$ và $(Oxy)$ là đường tròn $(C)$ trong mặt phẳng $(Oxy)$:
$x^2+y^2+(-2{)}^2=16\iff x^2+y^2=12$, tâm $O(0;0)$ và bán kính $r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
Gọi $M(x;y)$ thuộc $(Oxy)$ sao cho góc giữa hai tiếp tuyến từ $M$ tới $(C)$ bằng $60^{\circ }$.
- Trường hợp 1: Góc giữa hai tia tiếp tuyến bằng $60^{\circ }$, khi đó $\sin 30^{\circ }=\frac{r}{OM}\Rightarrow OM=\frac{r}{\sin 30^{\circ }}=2r=4\sqrt{3}\Rightarrow x^2+y^2=48$.
Phương trình $x^2+y^2=48$ không có nghiệm nguyên nào.
- Trường hợp 2: Góc giữa hai tia tiếp tuyến bằng $120^{\circ }$ (góc tạo bởi hai đường tiếp tuyến bằng $60^{\circ }$), khi đó $\sin 60^{\circ }=\frac{r}{OM}\Rightarrow OM=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\Rightarrow x^2+y^2=16$.
Các nghiệm nguyên của $x^2+y^2=16$ là $(\pm 4;0)$ và $(0;\pm 4)$ (gồm 4 điểm).
Vậy có tất cả 4 điểm thỏa mãn.

Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $3\sqrt{2}$ nên $OA=OB=OC=OD=3$, $SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=4\Rightarrow S(0;0;4),B(3;0;0),C(0;3;0),D(-3;0;0),A(0;-3;0)$.
a) Đúng: $C(0;3;0),D(-3;0;0)$.
b) Sai: Mặt cầu đường kính $SC$ có bán kính $R=\frac{SC}{2}=\frac{5}{2}\Rightarrow R^2=\frac{25}{4}\ne 25$.
c) Sai: $M\left(-\frac{3}{2};0;2\right)\Rightarrow BM=\sqrt{{\left(-\frac{9}{2}\right)}^2+0^2+2^2}=\frac{\sqrt{97}}{2}\ne 2\sqrt{6}$.
d) Đúng: Điểm đối xứng với $A$ qua $(SBD)$ là $C$, nên $|EG-EA|=|EG-EC|\le GC$, đạt GTLN khi $E=GC\cap (SBD)$ chính là trung điểm $M\left(-\frac{3}{2};0;2\right)$ của $SD$.

Gọi $M(1;0;1)$ là trung điểm của $AB$ ($M{A}^2=6$). Cả $M,I_1,I_2$ và tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ đều nằm trong mặt phẳng trung trực của $AB$, đồng thời $\widehat{M{I}_{1}I}=\widehat{M{I}_{2}I}=90^{\circ }$ nên $MI$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp $△M{I}_1{I}_2$.
Ta có $M{I}_1=M{I}_2=\sqrt{5}$, $I_1{I}_2=2\sqrt{2}\Rightarrow \cos \widehat{I_{1}M{I}_2}=\frac{1}{5}\Rightarrow \sin \widehat{I_{1}M{I}_2}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.
Do đó $MI=\frac{I_1{I}_2}{\sin \widehat{I_{1}M{I}_2}}=\frac{5}{\sqrt{3}}\Rightarrow R=\sqrt{M{I}^2+M{A}^2}=\sqrt{\frac{25}{3}+6}=\sqrt{\frac{43}{3}}\approx 3,79$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ viết lại dưới dạng $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=16$, nên mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{16}=4$.

Tâm $H$ của đường tròn giao tuyến là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu $I(3;-2;1)$ lên mặt phẳng $(\alpha )$, nên $H$ thuộc đường thẳng đi qua $I(3;-2;1)$ và vuông góc với $(\alpha )$ (có véctơ chỉ phương ${\vec{n}}_{\alpha }=(2;-2;-1)$), có phương trình chính tắc là $\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}$.

Chọn B.
Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2\Rightarrow R=\sqrt{\frac{S}{4\pi }}=\sqrt{\frac{16\pi }{4\pi }}=2$.

Chọn A.
Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.
Ta có $R^2=4\Rightarrow R=2$.

Chọn C.
Bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{(1-1{)}^2+(0-2{)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{0+4+1}=\sqrt{5}$.
Suy ra $R^2=5$.
Phương trình của mặt cầu $(S)$ là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=5$.

Chọn D.
Gọi $R_d$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Theo định lý sin trong tam giác $ABC$: $2R_d=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{3a}{\sin 120^{\circ }}=\frac{3a}{\sqrt{3}/2}=2\sqrt{3}a\Rightarrow R_d=\sqrt{3}a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:
$R=\sqrt{R_d^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}a{)}^2+a^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp là $S=4\pi R^2=4\pi (2a{)}^2=16\pi a^2$.

Chọn A.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, ta có $SO\perp (ABCD)$ và $SO=a\sqrt{2}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp $R=\frac{S{A}^2}{2SO}$.
Đáy có $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow S{A}^2=S{O}^2+O{A}^2=2a^2+\frac{a^2}{2}=\frac{5a^2}{2}$.
$R=\frac{5a^2/2}{2a\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}a}{8}$.
Tâm $I$ của mặt cầu nằm trên $SO$ với $SI=R\Rightarrow OI=SO-R=a\sqrt{2}-\frac{5\sqrt{2}a}{8}=\frac{3\sqrt{2}a}{8}$.
Khoảng cách từ $I$ đến $(SCD)$ được tính theo tỉ lệ khoảng cách từ $O$ đến $(SCD)$:
$d(I,(SCD))=\frac{a\sqrt{10}}{15}$.

a) Đúng: $AB=\sqrt{(2+1{)}^2+0^2+(-4{)}^2}=5\text{ km}$.
b) Đúng: Mặt cầu tâm $I(1;2;4)$, bán kính $R=4$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-4{)}^2=16$.
c) Sai: $IA=\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{6}\approx 4,9\text{ km}>4\text{ km}$.
d) Đúng: Khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $AB$ là $d(I,AB)=\frac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AI}]|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{\sqrt{500}}{5}=2\sqrt{5}\approx 4,47\text{ km}>4\text{ km}$.

Chọn C.
Diện tích mặt cầu bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=4\pi R^2$.

Chọn B.
Viết lại phương trình mặt cầu:
$$(x+1{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=7+1^2+0^2+1^2=9.$$
Vậy bán kính của mặt cầu là $R=\sqrt{9}=3$.

Chọn C.
Gọi $S.ABCD$ là khối chóp tứ giác đều, $H$ là tâm đáy $ABCD$, $SH=h$ là chiều cao khối chóp ($0<h<18$).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp $R=9$. Gọi $A^{\prime }$ là đỉnh đối diện của $S$ trên đường kính mặt cầu, ta có:
$$A{H}^2=SH\cdot H{A}^{\prime }=h(2R-h)=h(18-h).$$
Đáy $ABCD$ là hình vuông có $AC=2AH$, diện tích đáy là:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}A{C}^2=2A{H}^2=2h(18-h).$$
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{2}{3}{h}^2(18-h).$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương $\frac{h}{2},\frac{h}{2},18-h$:
$$\frac{h}{2}\cdot \frac{h}{2}\cdot (18-h)\le {\left(\frac{\frac{h}{2}+\frac{h}{2}+18-h}{3}\right)}^3=6^3=216.$$
Suy ra: $h^2(18-h)\le 4\cdot 216=864$.
Vậy thể tích lớn nhất là: $V_{\max }=\frac{2}{3}\cdot 864=576$ (đạt được khi $\frac{h}{2}=18-h\iff h=12$).

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;-2)$ và bán kính $R=1$.
Ta có $OI=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{9}=3$.
Khoảng cách lớn nhất từ $O$ đến điểm $M$ trên mặt cầu là:
$O{M}_{\max }=OI+R=3+1=4$.
Chọn D.

Tâm của mặt cầu $(S):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ là $I(a;b;c)=(1;-2;-1)$.
Chọn C.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R=3$.
Ta có $OM=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}>R=3$, hoặc nếu điểm $M$ nằm trong hay ngoài mặt cầu:
Chu vi đường tròn thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm $O$ đến mặt phẳng $(P)$ lớn nhất, tức là $OH=OM\Rightarrow (P)\perp OM$ tại $M$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;2;3)$ nhận $\overrightarrow{OM}=(1;2;3)$ làm véctơ pháp tuyến có phương trình:
$1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0\iff x+2y+3z-14=0.$
Chọn A.