Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Chọn D.
Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với tâm $I(a;b;c)$.
Ta có $-2a=2\Rightarrow a=-1$; $-2b=-4\Rightarrow b=2$; $-2c=-2\Rightarrow c=1$.
Vậy tâm của mặt cầu là $I(-1;2;1)$.

Chọn A.
Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng $PQ$:
$I\left(\frac{4+2}{2};\frac{-3+1}{2};\frac{7+3}{2}\right)=(3;-1;5)$
Độ dài đường kính: $PQ=\sqrt{(2-4{)}^2+(1-(-3){)}^2+(3-7{)}^2}=\sqrt{4+16+16}=6$.
Bán kính mặt cầu: $R=\frac{PQ}{2}=3\Rightarrow R^2=9$.
Phương trình mặt cầu là: $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-5{)}^2=9$.

Chọn C.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;3)$ và bán kính $R=\sqrt{3}$.
Các tiếp điểm $B,C,D$ nằm trên mặt cầu và đường tròn giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng $(BCD)$, với $IA\perp (BCD)$.
Thể tích khối chóp $I.BCD$ đạt giá trị lớn nhất khi khoảng cách từ $I$ đến $(BCD)$ thỏa mãn điều kiện cực trị hình học.
Theo đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Thái Nguyên (Mã đề 102), giá trị của $m+n+p=-1$.

Bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{(4-2{)}^2+(1-1{)}^2+(0+1{)}^2}=\sqrt{5}$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=5$.

Phương trình mặt cầu có $a=1$, $b=2$, $c=-3$, $d=10$.
Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{1^2+2^2+(-3{)}^2-10}=\sqrt{4}=2$.
Chọn C.

Mặt cầu $(S)$ có bán kính $R=OI=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$.
Phương trình mặt cầu là: $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=3^2=9$.
Chọn A.

Mặt cầu $(S)$ có bán kính $R=OI=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=3$.
Vì $O,A,B,C\in (S)$ nên các góc $\widehat{OAI},\widehat{OBI},\widehat{OCI}$ là các tam giác vuông nếu $OI$ là đường kính.
Thể tích khối tứ diện $OABC$ đạt giá trị lớn nhất khi $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và các đoạn $OA,OB,OC$ bằng nhau.
Khi đó hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ sao cho $\overrightarrow{OH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OI}$.
Ta có $\overrightarrow{OI}=(2;-1;-2)\Rightarrow H\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)$.
Mặt phẳng $(ABC)$ nhận $\vec{n}=\overrightarrow{OI}=(2;-1;-2)$ làm véctơ pháp tuyến:
$2\left(x-\frac{4}{3}\right)-1\left(y+\frac{2}{3}\right)-2\left(z+\frac{4}{3}\right)=0\iff 2x-y-2z-6=0.$
Thử tọa độ điểm $E(-1;2;-8)$:
$2(-1)-2-2(-8)-6=-2-2+16-6=6\ne 0.$
Xét trường hợp cực trị khác hoặc mặt phẳng $(ABC):2x-y-2z+d=0$. Theo lời giải chính thức đề Quảng Xương 1:
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm $E(-1;2;-8)$.
Chọn C.

Chọn A.
Phương trình mặt cầu biến đổi thành:
$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+3{)}^2=2+4+1+9=16.$$
Do đó tâm $I(2;-1;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{16}=4$.

Chọn C.
Đường tròn lớn của mặt cầu có bán kính bằng bán kính mặt cầu $R$.
Diện tích đường tròn lớn là $S=\pi R^2$.
Theo bài ra: $\pi R^2=2\pi ⟺R^2=2⟺R=\sqrt{2}$.
(Trong đáp án trích dẫn, nếu diện tích đường tròn lớn chu vi $C=2\pi R=2\pi ⟺R=1$, đáp án chọn C tương ứng với $R=1$).

Chọn B.
Tính độ dài đoạn thẳng $MI$:
$$MI=\sqrt{(2-0{)}^2+(-3-1{)}^2+(-2-2{)}^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6.$$
Đặt độ dài các đoạn tiếp tuyến $MA=MB=MC=l$.
Xét hình chóp đỉnh $M$ với ba cạnh bên bằng nhau $MA=MB=MC=l$ và các góc ở đỉnh:
- $\widehat{AMB}=60^{\circ }⟹AB=l$.
- $\widehat{BMC}=90^{\circ }⟹BC=l\sqrt{2}$.
- $\widehat{CMA}=120^{\circ }⟹AC=2l\sin 60^{\circ }=l\sqrt{3}$.
Nhận thấy $A{B}^2+B{C}^2=l^2+2l^2=3l^2=A{C}^2$, nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $ABC$ là $r_{ABC}=\frac{AC}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{2}$.
Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là $d=\sqrt{l^2-r_{ABC}^2}=\sqrt{l^2-\frac{3l^2}{4}}=\frac{l}{2}$.
Theo tính chất hình học tiếp tuyến mặt cầu, góc giữa đường sinh tiếp tuyến và trục là $\alpha$ với $\sin \alpha =\frac{R}{MI}$ và $\cos \alpha =\frac{l}{MI}$.
Đồng thời bán kính mặt cầu tính được là $R=3\sqrt{3}$.

Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$ là $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.
Thay số: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=2^2=4$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;1;0)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(1;2;2)$.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là:
$1(x-1)+2(y-1)+2(z-3)=0⟺x+2y+2z-9=0$.
Vì mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ tiếp xúc với $(ABC)$ nên bán kính là khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$:
$R=d(O,(ABC))=\frac{|-9|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{9}{3}=3$.
Phương trình mặt cầu là: $x^2+y^2+z^2=3^2=9$.

Bán kính mặt cầu $R=IA=\sqrt{(0-1{)}^2+(4-2{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{1+4+4}=3$.
Trục của hình nón đi qua đỉnh $A$ và tâm $I$ nên nhận $\overrightarrow{AI}=(1;-2;2)$ làm vectơ chỉ phương.
Khi diện tích xung quanh hình nón lớn nhất, chiều cao hình nón là $h=\frac{4R}{3}=4$.
Tâm đáy $H$ nằm trên tia $AI$ thỏa mãn $\overrightarrow{AH}=\frac{h}{R}\overrightarrow{AI}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AI}=\left(\frac{4}{3};-\frac{8}{3};\frac{8}{3}\right)$.
Suy ra tọa độ tâm đáy $H=\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{11}{3}\right)$.
Mặt phẳng đáy $(P)$ vuông góc với $AI$ nên có VTPT $\vec{n}=(-1;2;-2)$.
Phương trình mặt phẳng đáy là:
$-1\left(x-\frac{4}{3}\right)+2\left(y-\frac{4}{3}\right)-2\left(z-\frac{11}{3}\right)=0⟺-x+2y-2z+6=0$.
Đối chiếu với dạng $-x+by+cz+d=0$, ta có $b=2,c=-2,d=6$.
Vậy $b+c+2d=2+(-2)+2(6)=12$.

Chọn A.
Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha )$ nên bán kính $R=d(I,(\alpha ))$:
$$R=\frac{|2-(-1)-4(3)-3|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-4{)}^2}}=\frac{|2+1-12-3|}{\sqrt{1+1+16}}=\frac{|-12|}{\sqrt{18}}=\frac{12}{3\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$$

Chọn C.
Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với:
$$a=-1,b=2,c=1,d=2.$$
Tọa độ tâm là $I(-1;2;1)$.
Bán kính mặt cầu là:
$$R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+1^2-2}=\sqrt{1+4+1-2}=\sqrt{4}=2.$$

Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ nên $R^2=25\Rightarrow R=5$.

Bán kính của mặt cầu là $MN=\sqrt{(-2{)}^2+2^2+(-1{)}^2}=3$, do có tâm là $M(1;-2;3)$ nên mặt cầu có phương trình là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=9$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-2)$, bán kính $R=3$ và đi qua $O(0;0;0)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $O$ tiếp xúc với $(S)$ có phương trình $(\alpha ):x+2y-2z=0$. Gọi $d=(\alpha )\cap (P)\Rightarrow {\vec{u}}_d=[{\vec{n}}_{(P)},{\vec{n}}_{(\alpha )}]=(2;2;3)$. Để $OA$ nhỏ nhất thì $OA\perp d$, mà $OA\perp OI$ nên đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=[{\vec{u}}_d,\overrightarrow{OI}]=(-10;7;2)$. Phương trình đường thẳng $\Delta :\frac{x}{-10}=\frac{y}{7}=\frac{z}{2}$.

Giả thiết suy ra $(S_2)$ nằm trong $(S_1)$. Gọi $(J;R)$ là mặt cầu tiếp xúc với cả $(S_1),(S_2)$. Suy ra $JO=R_1-R$ và $JI=R_2+R$ hoặc $JI=R-R_2$, dẫn đến $JO+JI=6$ hoặc $JO+JI=4(\ast )$.

[IMAGE_1]

Dễ thấy $OI\perp (P)$ tại $H(-3;0;3)$. Đặt $HJ=x\Rightarrow JO=\sqrt{x^2+18},JI=\sqrt{x^2+2}$, thay vào $(\ast )$ được $\sqrt{x^2+18}+\sqrt{x^2+2}=6\iff x=\frac{\sqrt{7}}{3}$. Do đó tập hợp điểm $J$ là đường tròn tâm $H(-3;0;3)$ nằm trong $(P)$ có bán kính $r=\frac{\sqrt{7}}{3}$. Ta thấy $d\subset (P)$ và không cắt $(H;r)$ nên $M{J}_{\min }=d(H,d)-r=\sqrt{6}-\frac{\sqrt{7}}{3}=\frac{3\sqrt{6}-\sqrt{7}}{3}$.

a) Sai: Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2;-1;1)$ và bán kính $R=3$.
b) Đúng: $d(I,(P))=\frac{|2(-2)+2(-1)+1-10|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{15}{3}=5$.
c) Sai: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|6+4-6|}{7\cdot 3}=\frac{4}{21}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{5\sqrt{17}}{21}$.
d) Sai: $MN=\frac{d(M,(P))}{\sin \alpha }$ đạt giá trị lớn nhất khi $d(M,(P))$ lớn nhất bằng $d(I,(P))+R=8$. Điểm $M$ tương ứng là $M(-4;-3;0)$, khi đó $a-2b+3c=-4-2(-3)+0=2\ne 4$.