Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

**Chọn B**

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu, $r=3\text{ cm}$ là bán kính thiết diện, $d=4\text{ cm}$ là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.
Ta có: $R=\sqrt{r^2+d^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ cm}$.

Ta có $R^2=I{M}^2=16+0+9=25$, nên phương trình của $(S)$ là $x^2+y^2+(z+3{)}^2=25$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 2101).

a) Sai vì $IA=1>R=\frac{1}{2}$. b) Sai vì giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{41}{12}\ne 5$. c) Đúng. d) Đúng vì $AB=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$ (theo đáp án chính thức Trang 11, Mã đề 2101).

Bốn điểm $A,B,C,D$ là bốn đỉnh của hình lập phương cạnh $2$ nên mặt cầu ngoại tiếp có tâm $I(1;1;1)$ và bán kính $R=\sqrt{3}\approx 1,73$ (theo đáp án chính thức Trang 12, Mã đề 2101).

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;3)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Ta có $IA=\sqrt{4^2+(-4{)}^2+0^2}=4\sqrt{2}=2R$.
Gọi $C$ là điểm trên đoạn $IA$ thỏa mãn $IC=\frac{1}{4}IA\Rightarrow C(1;-1;3)$. Khi đó $IC=\sqrt{2}=\frac{R}{2}$.
Xét hai tam giác $\Delta IAM$ và $\Delta IMC$, ta có:
$\hat{I}$ chung và $\frac{IA}{IM}=\frac{IM}{IC}=2\Rightarrow \Delta IAM\backsim \Delta IMC\Rightarrow MA=2MC$.
Suy ra $P=MA-2MB=2MC-2MB=2(MC-MB)$.
Để $MA-2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ thì $MC=MB$, suy ra $M$ thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $BC$.
Ta có $B(1;-1;7)$ và $C(1;-1;3)$, trung điểm của $BC$ là $K(1;-1;5)$ và $\overrightarrow{BC}=(0;0;-4)$.
Phương trình mặt phẳng trung trực $(P)$ của $BC$ là $z-5=0$.
Khoảng cách từ tâm $I(0;0;3)$ đến mặt phẳng $(P)$ là $h=d(I,(P))=|3-5|=2$.
Khi đó tập hợp $M$ là đường tròn giao tuyến có bán kính:
$R_1=\sqrt{R^2-h^2}=\sqrt{8-2^2}=2$.

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với tâm $I(a;b;c)$.

Ta có $-2a=-2\Rightarrow a=1$; $-2b=4\Rightarrow b=-2$; $-2c=-6\Rightarrow c=3$. Vậy tâm $I(1;-2;3)$.

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Suy ra tâm $I(-1;2;-3)$. Chọn D.

Bán kính đường tròn thiết diện là $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$. Chu vi đường tròn là $C=2\pi r=2\pi \cdot 8=16\pi$. Chọn B.

Mặt phẳng đi qua tâm cắt khối cầu theo hình tròn lớn có diện tích $S=\pi R^2=9\pi \Rightarrow R=3$. Diện tích của mặt cầu là $S=4\pi R^2=4\pi (3^2)=36\pi$. Chọn B.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;1)$ và bán kính $R=2$. Khoảng cách $IM=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1<R$, nên điểm $M$ nằm trong mặt cầu. Ta có $MA\cdot MB=R^2-I{M}^2=4-1=3$. Áp dụng BĐT AM-GM: $T=MA+4MB\ge 2\sqrt{MA\cdot 4MB}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$. Dấu bằng xảy ra khi $MA=4MB$. Kết hợp $MA\cdot MB=3\Rightarrow 4M{B}^2=3\Rightarrow MB=\frac{\sqrt{3}}{2},MA=2\sqrt{3}$. Tuy nhiên khi $M$ nằm giữa $A$ và $B$ trên đường kính, đoạn $AB$ lớn nhất bằng $2R=4$. Khi $T$ đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng $AB$ bằng 4. Chọn A.

Mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ làm đường tròn lớn nên tâm mặt cầu là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;0;0)$, $\overrightarrow{BC}=(0;3;0)$. Vì $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Suy ra bán kính mặt cầu là $R=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3^2+3^2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Vậy diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2=18\pi$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ nên bán kính là:
$R=d(I,(P))=\frac{|2\cdot 1+(-2)+2(-1)+5|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{3}{3}=1$.
Phương trình mặt cầu $(S)$ là: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=1$.

Gọi $I$ là tâm mặt cầu $(S)\Rightarrow I\in (Q)$ là mặt phẳng trung trực của $AB$:
$\{\begin{array}{l}\text{qua }M\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2};2\right)\\ \text{VTPT }\overrightarrow{AB}=(1;3;2)\end{array}\Rightarrow (Q):x+3y+2z-16=0$.
Vậy $I\in d$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng: $\{\begin{array}{l}x+3y+2z-16=0\\ x+2y+z-7=0\end{array}$.
Cho $x=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=-2\\ z=11\end{array}\Rightarrow C(0;-2;11)\in d$ và cho $x=1\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=-3\\ z=12\end{array}\Rightarrow D(1;-3;12)\in d$.
Đường thẳng $d$: $\{\begin{array}{l}\text{qua }C(0;-2;11)\\ \text{VTCP }\overrightarrow{CD}=(1;-1;1)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2-t\\ z=11+t\end{array}\Rightarrow I(t;-2-t;11+t)$.
Bán kính $R=IA=\sqrt{(1-t{)}^2+(4+t{)}^2+(10+t{)}^2}=\sqrt{3\left[{\left(t+\frac{13}{3}\right)}^2+\frac{182}{9}\right]}\ge \frac{\sqrt{546}}{3}$ khi $t=-\frac{13}{3}$.
Vậy $R_{\min }=\frac{\sqrt{546}}{3}$.

Tâm $I(2;1;1)$ và $J(2;1;5)$ có $IJ=4$. Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc ngoài với hai mặt cầu đi qua điểm cố định $M(2;1;9)$ nằm trên đường nối tâm $IJ$. Lập phương trình chùm mặt phẳng qua $M$ tiếp xúc với hai mặt cầu, ta tìm được khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ thỏa mãn $\frac{9-\sqrt{15}}{2}\le d(O,(P))\le \frac{9+\sqrt{15}}{2}$. Suy ra $M+m=9$. Chọn B.

Mặt cầu $(S_1)$ có tâm $I_1(1;2;3)$, bán kính $R_1=1$. Mặt cầu $(S_2)$ có tâm $I_2(-3;2;0)$, bán kính $R_2=3$. Khoảng cách hai tâm: $I_1{I}_2=\sqrt{(-4{)}^2+0^2+(-3{)}^2}=5$. Vì $I_1{I}_2>R_1+R_2=4$ nên hai mặt cầu ở ngoài nhau. Khi đó $A{B}_{\max }=I_1{I}_2+R_1+R_2=5+1+3=9$. Chọn A.

Ta có $\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3}={\left(\frac{R_1}{R_2}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$. Chọn A.

Phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x+2z+4=0$ có $a=2,b=0,c=-1$ nên tâm của mặt cầu là $I(2;0;-1)$.

Thể tích của khối cầu bán kính $R=3$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi$.

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I$ là trung điểm của $AB⟹I(1;1;-2)$ và bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(-2{)}^2+4^2+2^2}}{2}=\sqrt{6}$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=6$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$ và bán kính $R=3$. Ta có $IM=\sqrt{(4-1{)}^2+(2-2{)}^2+(3+1{)}^2}=5>R$, nên điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$. Phương tích của điểm $M$ đối với mặt cầu $(S)$ là $MA\cdot MB=I{M}^2-R^2=5^2-3^2=16$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $M{A}^2+4M{B}^2\ge 2\sqrt{M{A}^2\cdot 4M{B}^2}=4MA\cdot MB=4\cdot 16=64$. Dấu bằng xảy ra khi $MA=2MB⟺MB=2\sqrt{2},MA=4\sqrt{2}$ (thỏa mãn $AB=MA-MB=2\sqrt{2}<2R=6$). Vậy giá trị nhỏ nhất của $M{A}^2+4M{B}^2$ bằng $64$.