Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mệnh đề, phủ định, điều kiện cần/đủ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng câu: (1) 'Ở đây đẹp quá!' là câu cảm thán, không phải mệnh đề. (2) 'Phương trình $x^2-3x+1=0$ vô nghiệm' là mệnh đề toán học (sai vì $\Delta =9-4=5>0$ nên có nghiệm, nhưng vẫn là mệnh đề). (3) '16 không là số nguyên tố' là mệnh đề toán học (đúng). (4) 'Hai phương trình $x^2-4x+3=0$ và $x^2-\sqrt{x+3}+1=0$ có nghiệm chung' là mệnh đề toán học (phát biểu có thể xác định đúng/sai). (5) 'Số $\pi$ có lớn hơn 3 hay không?' là câu hỏi, không phải mệnh đề. (6) 'Italia vô địch Worldcup 2006' là mệnh đề nhưng không phải mệnh đề toán học. (7) 'Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau' là mệnh đề toán học (sai nhưng vẫn là mệnh đề). (8) 'Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau' là mệnh đề toán học (sai vì hình thang có hai đường chéo vuông góc không phải hình thoi, nhưng vẫn là mệnh đề). Vậy các câu (2), (3), (4), (7), (8) là mệnh đề toán học, tổng cộng 5 câu. Kết quả khớp với đáp án nguồn là 5.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (A) Phương trình $x^2+7x-2=0$ có $a=1>0$, $c=-2<0$ nên tích hai nghiệm $ac<0$, hai nghiệm trái dấu → đúng. (B) $6\sqrt{2}$ là số vô tỷ (vì $\sqrt{2}$ vô tỷ) → sai. (C) 17 là số lẻ → sai. (D) $x^2+x+7=0$ có $\Delta =1-28=-27<0$ nên vô nghiệm → sai. Vậy mệnh đề đúng là A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét mệnh đề đảo của từng phương án:
- A. Mệnh đề đảo: 'Nếu $a+b$ chia hết cho $c$ thì $a$, $b$ cùng chia hết cho $c$' — sai, ví dụ $a=1,b=2,c=3$: $a+b=3$ chia hết cho 3 nhưng $a$, $b$ không chia hết cho 3.
- B. Mệnh đề đảo: 'Nếu một số nguyên chia hết cho 2 và 3 thì nó chia hết cho 6' — đúng, vì $\gcd (2,3)=1$ nên nếu $2\mid n$ và $3\mid n$ thì $6\mid n$.
- C. Mệnh đề đảo: 'Nếu có ít nhất một trong hai số $x$, $y$ dương thì $x+y>0$' — sai, ví dụ $x=5,y=-10$ thì $x+y=-5<0$.
- D. Mệnh đề đảo: 'Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt thì $a$, $c$ trái dấu' — sai, ví dụ $x^2-3x+2=0$ có hai nghiệm phân biệt nhưng $a=1$, $c=2$ cùng dấu.
Vậy chỉ có mệnh đề ở phương án B có mệnh đề đảo đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề (dấu "2.5" trong đề hiểu là tích $2\cdot 5$, phù hợp với vế tiền đề $\sqrt{23}<5$):
- A: Vế trái $-\pi <-2$ đúng (vì $\pi \approx 3,14>2$). Vì $\pi >2>0$ nên bình phương hai vế của $\pi >2$ cho ${\pi }^2>4$, do đó vế phải ${\pi }^2<4$ sai. Hai vế khác giá trị chân lý nên mệnh đề tương đương A sai. (Lỗi điển hình: bình phương hai vế của bất đẳng thức $-\pi <-2$ với hai vế đều âm.)
- B: $\pi <4$ đúng; vì $\pi >0$ nên bình phương hai vế bảo toàn chiều: ${\pi }^2<16$ đúng. Vậy B đúng.
- C: $\sqrt{23}<5$ đúng; nhân hai vế với $2>0$: $2\sqrt{23}<2\cdot 5=10$ đúng. Vậy C đúng.
- D: $\sqrt{23}<5$ đúng; nhân hai vế với $-2<0$ phải đổi chiều: $-2\sqrt{23}>-2\cdot 5=-10$ đúng. Vậy D đúng.
Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện đủ của "$x>1$" là mệnh đề $P$ sao cho $P\Rightarrow (x>1)$ đúng. Xét: $x>0$ không kéo theo $x>1$ (ví dụ $x=0,5$); $x\ge 1$ không kéo theo $x>1$ (ví dụ $x=1$); $x<1$ không kéo theo $x>1$. Với $x\ge 2$ thì luôn có $x>1$, nên $x\ge 2$ là điều kiện đủ của "$x>1$". Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $A\Rightarrow B$ có thể phát biểu là: 'Nếu $A$ thì $B$', '$A$ kéo theo $B$', '$A$ là điều kiện đủ để có $B$', hoặc '$B$ là điều kiện cần để có $A$'. Do đó phát biểu '$A$ là điều kiện cần để có $B$' (tương ứng $B\Rightarrow A$) không thể dùng để phát biểu $A\Rightarrow B$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì với $x=0$ ta có $0^2=0$, không thỏa $x^2>0$. b) Đúng, ví dụ $a=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$ thì $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}=a^2$. c) Đúng vì $n^2+n+2=n(n+1)+2$, trong đó $n(n+1)$ là tích hai số nguyên liên tiếp nên chẵn, cộng thêm 2 vẫn chẵn, do đó chia hết cho 2. d) Sai vì trong ba số nguyên liên tiếp $n,n+1,n+2$ luôn có một số chia hết cho 3, ví dụ với $n=1$: $1\cdot 2\cdot 3=6$ chia hết cho 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phản ví dụ $x=0$: $0^2=0$ không lớn hơn 0, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn $a=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$, khi đó $a^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=a$, nên mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$n^2+n+2=n(n+1)+2$; $n(n+1)$ là tích hai số nguyên liên tiếp nên chẵn, do đó $n(n+1)+2$ chẵn, chia hết cho 2 với mọi $n\in \mathbb{Z}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong ba số liên tiếp $n,n+1,n+2$ luôn có một bội của 3, ví dụ $n=1$ thì $1\cdot 2\cdot 3=6$ chia hết cho 3, nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\sqrt{6}$ là số vô tỉ (không viết được dưới dạng phân số $\frac{p}{q}$ với $p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0$), nên mệnh đề '$\sqrt{6}$ không phải là số vô tỉ' SAI. b) Phương trình $x^2+3x+5=0$ có $\Delta =9-20=-11<0$ nên vô nghiệm, mệnh đề ĐÚNG. c) Đồ thị hàm số $y=x^2$ là parabol nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng, đỉnh tại $O(0;0)$, mệnh đề ĐÚNG. d) Tích hai số: $\sqrt{7+\sqrt{48}}\cdot \sqrt{7-\sqrt{48}}=\sqrt{49-48}=1$, hai số đều dương và tích bằng 1 nên chúng là hai số nghịch đảo của nhau, mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{6}$ là số vô tỉ nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =9-20=-11<0$ nên phương trình vô nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=x^2$ là parabol đỉnh $O(0;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tích hai số bằng $\sqrt{49-48}=1$ nên chúng nghịch đảo của nhau.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: với x=1, y=2 thì x+y=3≠1, nên mệnh đề ∀x,∀y: x+y=1 sai. b) Đúng: chọn x=y=1 thì x+y=2. c) Đúng: chọn x=1 thì y=1·y đúng với mọi y∈ℝ. d) Đúng: với mọi a∈ℝ, chọn b=a/3 thì a=3b.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì tồn tại x=1, y=2 với x+y=3≠1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì x=y=1 cho x+y=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì x=1 thỏa y=xy với mọi y.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì b=a/3 luôn tồn tại trong ℝ.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 34: a) Đúng. Nếu tam giác có một góc bằng tổng hai góc còn lại, gọi góc đó là $\alpha$, hai góc còn lại là $\beta ,\gamma$ thì $\alpha =\beta +\gamma$ và $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ nên $2\alpha =180^{\circ }$, $\alpha =90^{\circ }$: tam giác vuông. Chiều ngược hiển nhiên đúng. b) Đúng. Tam giác có 2 cạnh bằng nhau là tam giác cân; nếu góc ở đỉnh bằng $60^{\circ }$ thì hai góc đáy bằng $(180^{\circ }-60^{\circ })/2=60^{\circ }$; nếu góc ở đáy bằng $60^{\circ }$ thì góc còn lại cũng bằng $60^{\circ }$. Vậy tam giác đều. Chiều ngược hiển nhiên đúng. c) Sai. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau, nhưng ngược lại không đúng: ví dụ tam giác vuông cân với hai cạnh góc vuông bằng 2 và tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng 1 và 4 đều có diện tích 2 nhưng không bằng nhau. d) Đúng. Hình chữ nhật có 4 góc vuông nên có 3 góc vuông. Ngược lại, tứ giác có 3 góc vuông thì tổng 4 góc bằng $360^{\circ }$ nên góc thứ tư cũng vuông, tứ giác là hình chữ nhật.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc bằng tổng hai góc còn lại thì bằng $90^{\circ }$, nên tam giác vuông; chiều ngược hiển nhiên đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác cân có một góc $60^{\circ }$ thì ba góc đều bằng $60^{\circ }$, ba cạnh bằng nhau, là tam giác đều; chiều ngược đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích bằng nhau không kéo theo bằng nhau: tam giác vuông cân cạnh góc vuông 2 và tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 1 và 4 cùng có diện tích 2 nhưng không bằng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tứ giác có 3 góc vuông thì góc thứ tư cũng vuông (tổng 4 góc bằng $360^{\circ }$), nên là hình chữ nhật; chiều ngược hiển nhiên đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu:
- A: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau $⟺$ hình chữ nhật, nên đây là điều kiện cần và đủ. Đúng.
- B: Tam giác có một góc 60° chưa chắc đều (ví dụ tam giác có các góc 60°, 50°, 70°). Góc 60° chỉ là điều kiện cần chứ không phải điều kiện đủ để tam giác đều. Phát biểu SAI.
- C: Nếu $a$ chia hết cho 6 thì $a$ chia hết cho 3, nên "$a$ chia hết cho 3" là điều kiện cần để "$a$ chia hết cho 6". Đúng.
- D: Với mọi $n\in \mathbb{N}$, $6n$ luôn là số chẵn, nên mệnh đề "nếu $3n-5$ lẻ thì $6n$ chẵn" luôn đúng; do đó "$3n-5$ lẻ" là điều kiện đủ để "$6n$ chẵn". Đúng.
Vậy phát biểu sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét mệnh đề đảo của từng phương án:
- A. Mệnh đề đảo: 'Nếu $a^2=b^2$ thì $a=b$' — sai, ví dụ $a=1,b=-1$ thì $a^2=b^2$ nhưng $a\ne b$.
- B. Mệnh đề đảo: 'Nếu một phương trình bậc hai vô nghiệm thì phương trình đó có $\Delta <0$' — đúng, vì với phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$: nếu $\Delta =0$ thì có nghiệm kép, nếu $\Delta >0$ thì có hai nghiệm phân biệt, nên vô nghiệm $\iff \Delta <0$.
- C. Mệnh đề đảo: 'Nếu một số chia hết cho 3 thì chia hết cho 6' — sai, ví dụ số 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6.
- D. Mệnh đề đảo: 'Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh' — sai, hai góc bằng nhau chưa chắc đối đỉnh.
Vậy chỉ có mệnh đề ở phương án B có mệnh đề đảo đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề E: “Nếu số nguyên có chữ số tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 5” có dạng $P\Rightarrow Q$ với $P$: “số nguyên có chữ số tận cùng bằng 0”, $Q$: “số nguyên chia hết cho 5”. Mệnh đề tương đương với $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề đảo ngược (contrapositive): $\overline{Q}\Rightarrow \overline{P}$, tức “Nếu số nguyên không chia hết cho 5 thì không có tận cùng bằng 0”. Đây chính là phương án B. (Lưu ý: số chia hết cho 5 có thể tận cùng bằng 0 hoặc 5, nên A sai; C và D là các mệnh đề khác không tương đương.)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $Q$: "$a+b<2$", $R$: "một trong hai số $a$ và $b$ nhỏ hơn 1". Mệnh đề $P$: $Q\Rightarrow R$. Mệnh đề tương đương: "$Q$ là điều kiện đủ để $R$" (cách phát biểu A) hoặc "$R$ là điều kiện cần để $Q$".
- A: "Điều kiện đủ để một trong hai số nhỏ hơn 1 là $a+b<2$" nghĩa là $Q\Rightarrow R$, đúng, tương đương $P$.
- B: "Điều kiện cần để một trong hai số nhỏ hơn 1 là $a+b<2$" nghĩa là $R\Rightarrow Q$, sai (ví dụ $a=0,b=5$: một số nhỏ hơn 1 nhưng $a+b=5>2$).
- C: "Điều kiện đủ để $a+b<2$ là một trong hai số nhỏ hơn 1" nghĩa là $R\Rightarrow Q$, sai như trên.
- D: Sai vì B, C đều sai.
Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $P\Rightarrow Q$: 'Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau'. Khi đó $P$ (hai tam giác bằng nhau) là điều kiện đủ để có $Q$ (hai tam giác có diện tích bằng nhau). Vậy phát biểu đúng là: 'Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau'. Phương án C sai vì đó là chiều ngược lại ($Q\Rightarrow P$); B sai vì đây không phải điều kiện cần và đủ; D sai vì đảo chiều.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P\iff Q$ đúng nên $P$ và $Q$ cùng đúng hoặc cùng sai, do đó $\overline{P}\iff \overline{Q}$ cũng đúng. Xét từng khẳng định: A nói $\overline{P}\iff \overline{Q}$ đúng — đúng. B nói $\overline{Q}\iff P$ sai — đúng, vì nếu $\overline{Q}\iff P$ đúng thì $\overline{Q}\iff Q$ đúng, vô lý. C nói $\overline{P}\iff \overline{Q}$ sai — đây là khẳng định SAI vì mệnh đề này thực chất đúng. D nói $\overline{P}\iff Q$ sai — đúng, vì $\overline{P}$ và $Q$ luôn khác giá trị chân lý. Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A đúng: Tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì cân (hai đường trung tuyến bằng nhau kéo dài gặp nhau tạo tam giác đồng dạng cho hai cạnh bên bằng nhau), tam giác cân có một góc $60^{\circ }$ thì đều; ngược lại tam giác đều có hai đường trung tuyến bằng nhau và góc $60^{\circ }$.
- B đúng: Đây chính là định lý Pythagoras và định lý đảo.
- C đúng: Tứ giác có 3 góc vuông thì góc thứ tư cũng vuông (tổng bốn góc bằng $360^{\circ }$), nên là hình chữ nhật; ngược lại hiển nhiên đúng.
- D sai: Hai tam giác đồng dạng và có một góc bằng nhau thì góc đó tự động bằng nhau do đồng dạng, nhưng hai tam giác vẫn có thể có tỉ số đồng dạng $k\ne 1$ (ví dụ hai tam giác vuông cân với cạnh huyền 1 và 2), khi đó chúng không bằng nhau. Vậy điều kiện này chỉ cần chứ không đủ.
Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $P$: "$n$ là một số nguyên tố lớn 3", $Q$: "$n^2+20$ là một hợp số". Mệnh đề đã cho là $P\Rightarrow Q$. Mệnh đề tương đương có thể phát biểu: "$P$ là điều kiện đủ để có $Q$" hoặc "$Q$ là điều kiện cần để có $P$". Xét các phương án: A nói điều kiện cần và đủ (tương đương $P\iff Q$) – sai. B: "Điều kiện đủ để $n^2+20$ là hợp số là $n$ nguyên tố lớn 3" tức $P\Rightarrow Q$ – đúng. C: "Điều kiện cần để $n^2+20$ là hợp số là $n$ nguyên tố lớn 3" tức $Q\Rightarrow P$ – sai. D: "$n^2+20$ hợp số là điều kiện đủ để $n$ nguyên tố lớn 3" tức $Q\Rightarrow P$ – sai. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A: Với $n=3$: $3^2+11\cdot 3+2=9+33+2=44$ chia hết cho $11$, nên mệnh đề đúng.
- B: Với $n$ chẵn thì $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; với $n$ lẻ thì $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Vậy $n^2+1$ không bao giờ chia hết cho $4$, mệnh đề SAI.
- C: Số $5$ là số nguyên tố và chia hết cho $5$, mệnh đề đúng.
- D: $2n^2-8=0\iff n=\pm 2\in \mathbb{Z}$, mệnh đề đúng.
Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A: Với $n=4$: $4^2+17\cdot 4+1=16+68+1=85=17\cdot 5$, chia hết cho 17 → đúng.
- B: Nếu $n$ chẵn thì $n^2+1$ lẻ, không chia hết cho 4; nếu $n$ lẻ thì $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$, cũng không chia hết cho 4. Vậy không tồn tại $n\in \mathbb{N}$ để $n^2+1$ chia hết cho 4 → mệnh đề SAI.
- C: Số 13 là số nguyên tố và chia hết cho 13 → đúng.
- D: $x=2\in \mathbb{Z}$ thỏa $x^2-4=0$ → đúng.
Vậy mệnh đề sai là B.