(AI giải đề cho tôi)
Ký hiệu (m+n)⋮(f(m)+f(n)) nghĩa là m+n chia hết cho f(m)+f(n), tức f(m)+f(n)∣m+n với mọi m,n∈N∗.
a) Với m=n=1: 2f(1)∣2⇒f(1)=1.
Với m=n=2: 2f(2)∣4⇒f(2)∈{1,2}. Với cặp (1,2): f(1)+f(2)=1+f(2)∣3, nên f(2)+1∈{1,3}⇒f(2)=2.
Với m=n=3: 2f(3)∣6⇒f(3)∈{1,3}. Cặp (1,3): 1+f(3)∣4, cả hai giá trị đều thỏa. Cặp (2,3): 2+f(3)∣5⇒f(3)+2∈{1,5}⇒f(3)=3.
Vậy f(3)=3.
b) Ta chứng minh f(n)=n với mọi n bằng quy nạp mạnh.
• f(1)=1 như trên.
• Giả sử f(k)=k với mọi k<n. Với cặp (n,n): 2f(n)∣2n⇒f(n)∣n, nói riêng f(n)≤n.
Với mọi m<n, theo giả thiết quy nạp f(m)=m, nên điều kiện cho cặp (n,m) là
f(n)+m∣n+m.
Suy ra f(n)+m∣(n+m)−(f(n)+m)=n−f(n) với mọi m=1,2,…,n−1.
Chọn m=n−1: f(n)+n−1∣n−f(n). Nhưng f(n)+n−1>n−f(n)⟺2f(n)>1, luôn đúng. Nếu n−f(n)>0 thì một ước dương không thể lớn hơn số bị chia, mâu thuẫn. Vậy n−f(n)=0, tức f(n)=n.
• Kiểm tra: hàm f(n)=n thỏa f(m)+f(n)=m+n∣m+n. Vậy hàm duy nhất là f(n)=n.
Kết luận: a) f(3)=3; b) f(n)=n với mọi n∈N∗.