Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=x^2+x+C$. Với $F(1)=1+1+C=1$ suy ra $C=-1$, nên $F(x)=x^2+x-1$. Do đó $F(-1)=1-1-1=-1$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3\cos xdx=3\sin x+C$ và $\int \frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx=-\frac{1}{x}+C$ (với $x>0$). Vậy $\int f(x)dx=3\sin x-\frac{1}{x}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(3\sin x-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=3\cos x+\frac{1}{x^2}=f(x)$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề về tính chất của nguyên hàm. A và C đúng do tính tuyến tính: nguyên hàm của tổng (hiệu) hai hàm liên tục bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm. B đúng vì $\int dx=x+C$. Xét D: với $k=0$, vế trái $\int 0dx=C$ là một họ nguyên hàm với hằng số tùy ý, còn vế phải $0\cdot \int f(x)dx=0$ chỉ là một hàm cụ thể, không còn dạng họ nguyên hàm. Do đó mệnh đề D phát biểu 'với mọi hằng số $k$' là sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn của mã đề 2463: D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2-5\sin x$, nên $f(x)=\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=2x+5\cos x+C$. Vì $f(0)=10$ nên $0+5+C=10\Rightarrow C=5$, do đó $f(x)=2x+5\cos x+5$.
a) Đúng: $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int (2-5\sin x)\mathrm{d}x=2x+5\cos x+C$.
b) Sai: ${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }(2x+5\cos x+5)\mathrm{d}x={\left[x^2+5\sin x+5x\right]}_0^{\pi }={\pi }^2+5\pi \approx 25,56\ne 5$.
c) Sai: $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$ (họ nguyên hàm), không đẳng thức với $f(x)$ cụ thể.
d) Đúng: từ $f(0)=10$ suy ra $C=5$, nên $f(x)=2x+5\cos x+5$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (2-5\sin x)\mathrm{d}x=2x+5\cos x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\pi }(2x+5\cos x+5)\mathrm{d}x={\pi }^2+5\pi \approx 25,56\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$, là họ nguyên hàm chứ không bằng $f(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2x+5\cos x+C$ và $f(0)=10\Rightarrow C=5$, nên $f(x)=2x+5\cos x+5$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\int (2x+e^x)dx=x^2+e^x+C$. Với $F(0)=1+C=2024$ suy ra $C=2023$. Do đó $F(1)=1+e+2023=2024+e\approx 2026,72$, làm tròn đến hàng đơn vị là $2027$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2-5\cos x$. a) Sai: nguyên hàm của $f^{\prime }(x)$ là $f(x)+C$, thiếu hằng số $C$. b) Đúng: $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int (2-5\cos x)\mathrm{d}x=2x-5\sin x+C$. c) Sai: từ b), $f(x)=2x-5\sin x+C$; với $f(0)=9$ suy ra $C=9$, vậy $f(x)=2x-5\sin x+9$, không phải $2x+5\sin x+5$. d) Sai: ${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }(2x-5\sin x+9)\mathrm{d}x={\left[x^2+5\cos x+9x\right]}_0^{\pi }={\pi }^2-5-5+9\pi ={\pi }^2+9\pi -10\approx 28,14\ne 5$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f^{\prime }(x)$ là $f(x)+C$, phát biểu thiếu hằng số $C$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int (2-5\cos x)\mathrm{d}x=2x-5\sin x+C$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2x-5\sin x+C$ và $f(0)=9\Rightarrow C=9$, nên $f(x)=2x-5\sin x+9\ne 2x+5\sin x+5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\pi }(2x-5\sin x+9)\mathrm{d}x={\pi }^2+9\pi -10\approx 28,14\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=x^2+e^x+C$. Vì $F(0)=1+C=2024$ nên $C=2023$. Do đó $F(-1)=1+e^{-1}+2023=2024+e^{-1}\approx 2024,368\approx 2024$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề về tính chất nguyên hàm: A và D đúng theo tính chất tuyến tính của tích phân bất định (tích phân của tổng/hiệu bằng tổng/hiệu các tích phân). B đúng vì $\int dx=x+C$. Mệnh đề C phát biểu $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ với mọi hằng số $k$ là sai, vì với $k=0$: vế trái $\int 0dx=C$ (họ nguyên hàm với hằng số tùy ý), còn vế phải $0\cdot \int f(x)dx=0$ (không còn hằng số tùy ý), hai vế không tương đương. Tính chất này chỉ đúng khi $k\ne 0$. Vậy mệnh đề sai là C, khớp với đáp án mã đề 1458 (trang 14, cột câu 7).

Ta có: $F(x)=\int f(x)dx=\int (4x^3+1)dx=x^4+x+C$. Theo giả thiết $F(0)=1$ nên $C=1\Rightarrow F(1)=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(e^x+1{)}^2=e^{2x}+2e^x+1$. Do đó $\int f(x)dx=\int e^{2x}dx+2\int e^{x}dx+\int dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2e^x+x+C$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 2 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int (\sin x+\cos x)dx=-\cos x+\sin x+C$. Với $F(0)=-1+C=2\Rightarrow C=3$, nên $F(x)=-\cos x+\sin x+3$. Do đó $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}+3=0+1+3=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tính nguyên hàm từng thành phần: $\int 7x^{6}dx=x^7$; $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|$; $\int \frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx=-\frac{1}{x}$; $\int (-2)dx=-2x$. Vậy $\int f(x)dx=x^7+\ln |x|-\frac{1}{x}-2x+C$. Khớp với đáp án A (đáp án nguồn: Mã đề 102, câu 9 = A). Loại B vì dấu của $\frac{1}{x}$ sai; loại C vì thiếu giá trị tuyệt đối trong $\ln$; loại D vì thiếu hằng số $C$.

Ta có: $F(x)=\int f(x)dx=\int (4x^3+1)dx=x^4+x+C$. Theo giả thiết $F(0)=1$ nên $C=1\Rightarrow F(1)=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int (\sin x+\cos x)dx=-\cos x+\sin x+C$. Với $F(0)=2$: $-\cos 0+\sin 0+C=-1+C=2\Rightarrow C=3$. Vậy $F(x)=-\cos x+\sin x+3$ và $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}+3=0+1+3=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tính từng phần: $\int 7x^{6}dx=x^7+C$; $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$; $\int \frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C$; $\int (-2)dx=-2x+C$. Vậy họ nguyên hàm là $x^7+\ln |x|-\frac{1}{x}-2x+C$. Khớp với đáp án C (đáp án nguồn cũng là C). Loại A vì thiếu giá trị tuyệt đối trong $\ln$; loại B vì dấu của $\frac{1}{x}$ sai; loại D vì thiếu hằng số $+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(e^x+1{)}^2=e^{2x}+2e^x+1$. Do đó $\int f(x)dx=\int e^{2x}dx+2\int e^{x}dx+\int dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2e^x+x+C$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \frac{dx}{2x+1}=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$ vì ${\left(\frac{1}{2}\ln |2x+1|\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{2x+1}=\frac{1}{2x+1}$. Vậy đáp án A. Lưu ý D sai vì thiếu giá trị tuyệt đối (nguyên hàm phải xác định trên cả $2x+1<0$).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu về nguyên hàm của $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$:
- Phát biểu 1: SAI. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F(x)+C$ cũng là nguyên hàm, nên $f(x)$ có vô số nguyên hàm.
- Phát biểu 2: ĐÚNG. Theo định nghĩa, $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)$.
- Phát biểu 3: ĐÚNG. Tính chất tuyến tính: $\int a\cdot f(x)dx=a\int f(x)dx$ với $a\ne 0$.
- Phát biểu 4: SAI. Ta có $\int (a+f(x))dx=\int adx+\int f(x)dx=ax+\int f(x)dx$, chứ không phải $a+\int f(x)dx$ (nguyên hàm của hằng số $a$ là $ax$, không phải $a$).
Vậy chỉ có 2 phát biểu đúng (phát biểu 2 và 3), chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.

m) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$, nên mệnh đề SAI.

n) Nguyên hàm đúng phải là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$. Với $F(x)=x^2-x-\ln x$ thì $F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$, nên mệnh đề SAI.

o) Họ nguyên hàm đúng là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên mệnh đề SAI.

p) Với $x>0$: $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln x+C$. Từ $F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Khi đó $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, nên mệnh đề SAI.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: cả bốn mệnh đề đều Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, nên SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$; nguyên hàm đúng là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, nên SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$, suy ra $F(2)=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, nên SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.

i) Đúng: chia tử cho mẫu, $\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$.

j) Sai: hàm $F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, trong khi tập xác định của $f$ là $x\ne 0$. Nguyên hàm của $f(x)$ phải có dạng $x^2+x+\ln |x|+C$ để xác định trên cả hai khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$.

k) Đúng: $\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$ (trên mỗi khoảng xác định).

l) Đúng: $F(x)=x^2+x+\ln |x|+C$, với $x>0$: $F(1)=1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$. Khi đó $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phép chia đa thức: (2x^2+x+1)/x = 2x+1+1/x.
b) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=x^2+x+ln x chỉ xác định với x>0, không phải nguyên hàm của f trên toàn tập xác định x≠0; nguyên hàm tổng quát cần ln|x|.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫(2x+1+1/x)dx = x^2+x+ln|x|+C.
d) (AI giải đề cho tôi)
F(1)=1+1+0+C=3 ⇒ C=1; F(2)=4+2+ln2+1=7+ln2.