Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int \left(e^x+2e^{-x}-2x\right)dx=e^x-2e^{-x}-x^2+C$. Điều kiện $F(0)=1$: $1-2-0+C=1\Rightarrow C=2$. Vậy $F(x)=e^x-2e^{-x}-x^2+2$, tương ứng đáp án A. Kiểm tra đạo hàm: $F^{\prime }(x)=e^x+2e^{-x}-2x=f(x)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $P$ là trung điểm $AC$, $Q$ là trung điểm $AB$ nên $PQ$ là đường trung bình, suy ra $PQ\parallel BC$. Vì $BC\subset (SBC)$ và $PQ\not\subset (SBC)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $PQ\parallel (SBC)$. Do đó khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 518, Câu 6: C).

Chọn B
$F(x)=\int \left(e^x+2\sin x\right)dx=e^x-2\cos x+C$.
$F(0)=20\iff 1-2+C=20\iff C=21$.
Vậy: $F(x)=e^x-2\cos x+21$.

Chọn A
$F(x)=\int f(x)\mathrm{d}x=\int \left(-3x^2+4x+2\right)\mathrm{d}x=-x^3+2x^2+2x+C$.
$F(1)=2\iff C+3=2\iff C=-1$.
Vậy $F(-1)=1+2-2-1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-x^3+2x^2+2x+C$. Với $F(1)=2$: $-1+2+2+C=2\Rightarrow C=-1$, nên $F(x)=-x^3+2x^2+2x-1$. Khi đó $F(-1)=1+2-2-1=0$. Kết quả khớp với đáp án D trong bảng mã đề 1202.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int (e^x+2\sin x)dx=e^x-2\cos x+C$. Với $F(0)=1-2+C=20$ suy ra $C=21$. Vậy $F(x)=e^x-2\cos x+21$, khớp đáp án C (bảng đáp án mã đề 1202, câu 10 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét f(x)=2sin x+√3x trên [0;π]. a) f(0)=2sin0+0=0, f(π)=2sinπ+√3π=√3π → đúng. b) F(x)=-2cos x+(√3/2)x²+2026 có F'(x)=2sin x+√3x... kiểm tra: F'(x)=2sin x+√3·x? Thực tế F'(x)=2sin x+√3x = f(x) → đúng. c) f'(x)=2cos x+√3, không phải -2cos x+√3 → sai. d) f'(x)=2cos x+√3=0 ⇒ cos x=-√3/2 ⇒ x=5π/6 thuộc [0;π]. f(5π/6)=2·(1/2)+√3·5π/6=1+5√3π/6. So sánh f(0)=0, f(π)=√3π≈5,44, còn 1+5√3π/6≈5,53 là lớn nhất → đúng. Khớp đáp án mã đề 1202: ĐĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(0)=2sin0+√3·0=0 và f(π)=2sinπ+√3π=√3π.
b) (AI giải đề cho tôi)
F'(x)=2sin x+√3x=f(x), vậy F(x)=-2cos x+(√3/2)x²+2026 là một nguyên hàm của f(x).
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=2cos x+√3 (đạo hàm của 2sin x là 2cos x), không phải -2cos x+√3.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=2cos x+√3=0 ⇒ cos x=-√3/2 ⇒ x=5π/6. f(5π/6)=1+5√3π/6≈5,53 > f(π)=√3π≈5,44 > f(0)=0, nên GTLN trên [0;π] là 1+5√3π/6.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int (e^x+2\sin x)dx=e^x-2\cos x+C$. Điều kiện $F(0)=1-2+C=20\Rightarrow C=21$. Vậy $F(x)=e^x-2\cos x+21$, khớp đáp án C (đáp án nguồn cũng là C).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-x^3+2x^2+2x+C$. Với $F(1)=2$: $-1+2+2+C=2\Rightarrow C=-1$. Suy ra $F(-1)=1+2-2-1=0$. Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 1201 (Câu 8: D).

a) Ta có: $\int f(x)dx=\int (x+\cos x)dx=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$. Vậy a) sai.

b) Ta có $F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2}{2}-\sin x+5\right)}^{\prime }=x-\cos x\ne f(x)$ nên b) sai.

c) Ta có $f^{\prime }(x)=1-\sin x$ nên c) đúng.

d) Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $G(x)=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$.

Vì $G(0)=1$ nên $0+\sin 0+C=1\Rightarrow C=1$. Suy ra $G(\pi )=\frac{{\pi }^2}{2}+\sin \pi +1=\frac{{\pi }^2}{2}+1$. Vậy d) đúng.
a) Ta có: $\int f(x)dx=\int (x+\cos x)dx=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$. Vậy a) sai.
b) Ta có $F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2}{2}-\sin x+5\right)}^{\prime }=x-\cos x\ne f(x)$ nên b) sai.
c) Ta có $f^{\prime }(x)=1-\sin x$ nên c) đúng.
d) Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $G(x)=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$.

Vì $G(0)=1$ nên $0+\sin 0+C=1\Rightarrow C=1$. Suy ra $G(\pi )=\frac{{\pi }^2}{2}+\sin \pi +1=\frac{{\pi }^2}{2}+1$

Vậy d) đúng.

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=9^x$ là $F(x)=\frac{9^x}{\ln 9}+C=\frac{9^x}{2\ln 3}+C$.

a) Ta có $f^{\prime }(x)=1+\cos x$ nên a) sai.

b) Ta có $F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2}{2}-\cos x-2\right)}^{\prime }=x+\sin x=f(x)$ nên b) đúng.

c) Ta có: $\int f(x)dx=\int (x+\sin x)dx=\frac{x^2}{2}-\cos x+C$. Vậy c) đúng.

d) Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $G(x)=\frac{x^2}{2}-\cos x+C$.

Vì $G(0)=1$ nên $0-\cos 0+C=1\Rightarrow C=2$. Suy ra $G(\pi )=\frac{{\pi }^2}{2}-\cos \pi +2=\frac{{\pi }^2}{2}+3$. Vậy d) đúng.
a) Ta có $f^{\prime }(x)=1+\cos x$ nên a) sai.
b) Ta có $F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2}{2}-\cos x-2\right)}^{\prime }=x+\sin x=f(x)$ nên b) đúng.
c) Ta có: $\int f(x)dx=\int (x+\sin x)dx=\frac{x^2}{2}-\cos x+C$. Vậy c) đúng.
d) Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $G(x)=\frac{x^2}{2}-\cos x+C$.

Vì $G(0)=1$ nên $0-\cos 0+C=1\Rightarrow C=2$. Suy ra $G(\pi )=\frac{{\pi }^2}{2}-\cos \pi +2=\frac{{\pi }^2}{2}+3$

Vậy d) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^3+4x$:
a) $G^{\prime }(x)=x^3+4x=f(x)$, nên $G(x)=\frac{1}{4}{x}^4+2x^2+2025$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Đúng.
b) ${\int }_0^2[1+f(x)]dx={\int }_0^2(1+x^3+4x)dx={\left[x+\frac{x^4}{4}+2x^2\right]}_0^2=2+4+8=14$. Đúng.
c) $F(x)=\frac{x^4}{4}+2x^2+C$; $F(0)=C=2$ nên $F(x)=\frac{x^4}{4}+2x^2+2$, do đó $F(2)=4+8+2=14\ne 41$. Sai.
d) ${\int }_0^{2}f(x)dx={\left[\frac{x^4}{4}+2x^2\right]}_0^2=4+8=12$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$G^{\prime }(x)=x^3+4x=f(x)$ nên $G$ là một nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^2(1+x^3+4x)dx=2+4+8=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\frac{x^4}{4}+2x^2+2$ nên $F(2)=4+8+2=14\ne 41$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^2(x^3+4x)dx=4+8=12$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)$, không phải $f^{\prime }(x)=F(x)$. b) Đúng: $\int (3x^2+1)dx=x^3+x+C$. c) Đúng: $F(0)=C=1$ nên $F(2)=8+2+1=11$. d) Sai: phương trình hoành độ giao điểm $3x^2+1=6x+10\iff 3x^2-6x-9=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Trên $[-1;3]$, đường thẳng nằm trên parabol nên diện tích $S={\int }_{-1}^3(-3x^2+6x+9)dx={\left[-x^3+3x^2+9x\right]}_{-1}^3=27-(-5)=32\ne 12$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm thỏa $F^{\prime }(x)=f(x)$, không phải $f^{\prime }(x)=F(x)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int (3x^2+1)dx=x^3+x+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(0)=C=1$ nên $F(2)=8+2+1=11$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm tại $x=-1,3$; $S={\int }_{-1}^3(-3x^2+6x+9)dx=32\ne 12$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F^{\prime }(x)=\frac{1}{2x}$ nên $F(x)=\frac{1}{2}\ln x+C$ (với $x>0$). Vì $F(1)=1$ nên $\frac{1}{2}\ln 1+C=1\Rightarrow C=1$, do đó $F(x)=1+\frac{1}{2}\ln x$. Suy ra $F(4)=1+\frac{1}{2}\ln 4=1+\ln 2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=e^x(2e^{2x}-3)=2e^{3x}-3e^x$. Do đó $\int f(x)dx=\int (2e^{3x}-3e^x)dx=\frac{2e^{3x}}{3}-3e^x+C$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=3^x$.
a) Ta có $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$, không phải $3^x\ln 3+C$ → sai.
b) $\int \left(3^x-e^x\right)dx=\frac{3^x}{\ln 3}-e^x+C$ → đúng.
c) $3^x{e}^x=(3e{)}^x$, nên $\int (3e{)}^{x}dx=\frac{(3e{)}^x}{\ln (3e)}+C=\frac{3^x{e}^x}{1+\ln 3}+C$ → đúng.
d) $F^{\prime }(x)=f(x)=3^x$, nên $F^{\prime }({\log }_{9}5)=3^{{\log }_{9}5}=3^{\frac{1}{2}{\log }_{3}5}=5^{1/2}=\sqrt{5}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$, không phải $3^x\ln 3+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int (3^x-e^x)dx=\frac{3^x}{\ln 3}-e^x+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3^x{e}^x=(3e{)}^x$ nên nguyên hàm là $\frac{(3e{)}^x}{\ln (3e)}+C=\frac{3^x{e}^x}{1+\ln 3}+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=3^x$ nên $F^{\prime }({\log }_{9}5)=3^{{\log }_{9}5}=3^{\frac{1}{2}{\log }_{3}5}=\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức nhân đôi: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, nên $f(x)=4{\sin }^{2}x=2-2\cos 2x$. Khi đó $\int f(x)\mathrm{d}x=\int (2-2\cos 2x)\mathrm{d}x=2x-\sin 2x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(2x-\sin 2x+C{)}^{\prime }=2-2\cos 2x=4{\sin }^{2}x=f(x)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$. Do đó $\int f(x)\mathrm{d}x=\int \cos 2x\mathrm{d}x=\frac{\sin 2x}{2}+C$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích: $2\sin x\cos 3x=\sin 4x+\sin (x-3x)=\sin 4x-\sin 2x$, nên $f(x)=4\sin x\cos 3x=2\sin 4x-2\sin 2x$. Khi đó $\int f(x)\mathrm{d}x=2\cdot \left(-\frac{\cos 4x}{4}\right)-2\cdot \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right)+C=-\frac{\cos 4x}{2}+\cos 2x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\frac{\cos 4x}{2}+\cos 2x\right)=2\sin 4x-2\sin 2x=4\sin x\cos 3x$. Đáp án A.